专题3-6 导数综合大题：零点与求参及不等式证明-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14793" 【题型一】零点求参1：基础型（一个零点型） PAGEREF _Tc14793 1
\l "_Tc21113" 【题型二】零点求参2：拔高型（两个零点型） PAGEREF _Tc21113 4
\l "_Tc29341" 【题型三】零点求参3：综合型（3个零点型） PAGEREF _Tc29341 7
\l "_Tc5066" 【题型四】讨论零点个数1：基础型（无参讨论） PAGEREF _Tc5066 10
\l "_Tc10983" 【题型五】讨论零点个数2：有参讨论型 PAGEREF _Tc10983 12
\l "_Tc14162" 【题型六】讨论零点个数3：给参数范围证明型 PAGEREF _Tc14162 15
\l "_Tc6076" 【题型七】零点不等式1：基础型 PAGEREF _Tc6076 18
\l "_Tc13486" 【题型八】零点不等式2：比值代换型 PAGEREF _Tc13486 20
\l "_Tc30132" 【题型九】零点不等式3：零点与极值点型（难点） PAGEREF _Tc30132 23
\l "_Tc13251" 【题型十】零点不等式4：加新参数 PAGEREF _Tc13251 26
\l "_Tc23588" 【题型十一】三角函数中的零点 PAGEREF _Tc23588 28
\l "_Tc18823" 二、真题再现 PAGEREF _Tc18823 31
\l "_Tc25403" 三、模拟检测 PAGEREF _Tc25403 37
综述：本专题是结合2022年高考全国甲乙卷导数大题题型而总结的训练专题
【题型一】零点求参1：基础型（一个零点型）
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，且.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若只有一个零点，求的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)
【分析】（1）用导数法直接求解即可；
（2），令，再分与两种情况讨论，即可求解
(1)当时，，，
易知在上单调递增，且，所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
(2)，令，
（1）当时，则，，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；故，
则，在单调递增，又时，；时，；
所以此时在只有一个零点；
（2）当时，则，恒成立，在单调递增，
且，，又，则，
故存在，使得，
当时，，当时，，因为当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，取得极小值，由得，则，
当时，等号成立，
由，可得，解得，
综合第一问可知，当时，只有一个零点；
综上，若只有一个零点，则的取值范围是
【变式演练】
1.（2022·山西太原·三模（理））已知函数.
(1)若函数的图像与直线相切，求实数a的值；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)（0，）
【分析】(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a的方程组，解之即可；
(2)由二次函数和指数函数的性质知当时不符合题意，故，利用分离参数法可得
，根据导数研究函数的单调性，结合图形即可得出结果.
(1)，设切点为，则∴
时，显然不成立，∴消去a得
∴；
(2)令，即有且只有一个解，当时，显然不成立，
∴，令，∴与有且只有一个交点，
∵，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又当时，→0，当
当时，，当时，
如图所示，
综上，a的取值范围是.
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意，分和两种情况讨论处理．
(1)
，令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．
(2)由（1）可知．
①若，则，即，可得，
设，在上单调递减
所以至多有一解且，则，代入解得．
②若，则，即，可得，
结合①可得，因为，，
所以在存在一个零点．
当时，，
所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意
综上所述：．
【题型二】零点求参2：拔高型（两个零点型）
【典例分析】
（2022·贵州·六盘水市第五中学高三期末（文））设函数，其中是自然对数的底数，.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，整理得，又，故只需，
分离参数，即可求解.
(2)先讨论，不为根，再讨论，令，分离参数得，
题意转化为和的图像有两个交点，即可求解.
(1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，，当时，，当时，，所以，故，即.
(2)当时, ，当时，，
当时，令，分离参数得，
由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为：
所以，即,即.
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【分析】（1）对函数进行求导，分为和两种情形，根据导数与0的关系可得单调性；
（2）函数有两个零点即有两个零点，根据（1）中的单调性结合零点存在定理即可得结果.
(1)
由题意知，，
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递减；
若，令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
(2)
因为，所以有两个零点，即有两个零点．
若，由（1）知，至多有一个零点．
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．
①当时，由于，故只有一个零点：
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即．
又，故在上有一个零点．
存在，则．
又，因此在上有一个零点．
综上，实数a的取值范围为．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【分析】（1）对函数进行求导，分为和两种情形，根据导数与0的关系可得单调性；
（2）函数有两个零点即有两个零点，根据（1）中的单调性结合零点存在定理即可得结果.
(1)
由题意知，，
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递减；
若，令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
(2)
因为，所以有两个零点，即有两个零点．
若，由（1）知，至多有一个零点．
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．
①当时，由于，故只有一个零点：
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即．
又，故在上有一个零点．
存在，则．
又，因此在上有一个零点．
综上，实数a的取值范围为．
【题型三】零点求参3：综合型（3个零点型）
【典例分析】
（2022·全国·模拟预测（理））已知函数（其中e为自然对数的底数）．
(1)若，证明：当时，恒成立；
(2)已知函数在R上有三个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）把代入函数，在给定条件下，等价变形不等式，构造函数，借助导数推理作答.
（2）把问题转化为函数有两个都不是0的零点，再利用导数探讨最大值，并结合零点存在性定理推理判断作答.
(1)当时，，因，，
令，求导得，即函数在上单调递减，
，，因此，当时，恒成立，
所以当时，恒成立.
(2)依题意，，由，得，显然是函数的一个零点，
因函数在R上有三个零点，则有两个都不是0的零点，
，当时，，函数在上单调递减，此时，在上最多一个零点，不符合题意，
当时，在上单调递减，，则当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，，
要有两个零点，必有，即，得，
因，则存在，使得，即函数在上有一个零点，
令，，求导得：，令，，
则函数在上单调递增，，，因此，函数在上单调递增，
，，即在时，恒成立，当时，在时恒有成立，
因此，，，令，
则，
于是得，则存在，使得，
即函数在上有一个零点，因此在上有一个零点，
从而得，当时，在上有两个零点，即函数在R上有三个零点，
所以实数a的取值范围是.
【变式演练】
1.（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)
【分析】(1)将 代入 的函数解析式，对 求导即可判断出 的单调区间；
(2)考虑到 ，对 参数分离，构造函数，求导即可求解.
（1）时， ，
令 得 或 在 时单调递增，
时单调递减， 时单调递增；
所以函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为；
（2）注意到 ，设 ，则在时有两不同解，
，令
， ，令 ，则有 ，
是增函数，则 时， ， 时， ，
所以 时， 单调递减， 时， 单调递增， ，
所以 时， ， 时， ，
所以在 时，单调递减， 时，单调递增，
因为 ，
当 时， ， ，
即 ，当 时， ，
并且 ， ，并且 ，
当 时， ，
函数图像如下：
所以 即 ；
综上，函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为，.
2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（文））已知，.
(1)证明：函数在上有且仅有一个零点；
(2)若函数在上有3个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再根据，即可得证；
（2）令，求出函数的导函数，令，则，分、与三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得解；
(1)解：因为，所以，
在上单调递减，且，在有且仅有一个零点.
(2)解：令，所以令，则，
①当，即时
此时在单调递减，至多有一个零点，所以不符合题意.
②当时，此时在单调递减，至多有一个零点，所以不符合题意.
③当时，，不妨设两根分别为，
由韦达定理知，
所以当时，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
由所以此时在上有一个零点，
令，则，所以当时，
当时，即在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，，
即，，所以，，
即
当时
令得且，
所以此时在上有一个零点
当时
令得且，
所以此时在上有一个零点
综上若在上有3个零点则.
【题型四】讨论零点个数1：基础型（无参讨论）
【典例分析】
（2022·全国·模拟预测（文））已知函数在处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）求证：在区间上不存在零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由函数在在处的切线斜率为，列方程可得的值；
（2）要证在区间上不存在零点，即证在区间上不存在方程根，即证函数与在区间上不存在交点，分别对函数求导判断出单调性求出最值，可得命题成立．
【详解】（1），由题意可得，解得；
（2）证明：要证在区间上不存在零点，
即证在区间上不存在方程根，
化简可得，即证函数与在区间上不存在交点．
，定义域，
，则在上单调递减，在上单调递增，；
，定义域，
，则在上单调递增，在上单调递减，；
又，即函数与在区间上不存在交点，
即在区间上不存在方程根，得证．
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若函数的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；
(2)当时，判断函数零点的个数，并说明理由.
【答案】(1)(2)2，理由见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，参变分离后转化为在区间[0，1]上有解，转化为求函数的值域；
（2）将方程转化为，设函数，利用函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断零点个数.
（1）
依题意，方程在区间[0，1]上有解，即在区间[0，1]上有解，记，则函数区间[0，1]上单调增，其值域为
故实数a的取值范围是.
（2）令在上单调递增，在（1，∞）上单调递增，