专题5-1 向量模、夹角与坐标运算-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题5-1 向量模、夹角投影与坐标运算目录一、热点题型归纳【题型一】向量夹角1：坐标运算...............................................1【题型二】向量夹角2：夹角锐钝【题型三】向量夹角3：模.....................................................4【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角【题型五】投影............................................................7【题型六】模与数量积【题型七】范围最值二、真题再现三、模拟检测综述：1.模公式：。 2.平面向量数量积公式：（1）。（2）。主要应用以下几个方面:（1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）.  【题型一】向量夹角1：坐标运算【典例分析】（2022·福建南平·高三期末）设向量，，则与的夹角等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可【详解】设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，故选：A  【提分秘籍】基本规律两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角.说明：①当时，与同向；②当时，与反向；③当时，与垂直，记； 【变式演练】1.（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量与向量的夹角为，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量的夹角公式和同角三角函数关系，即得解【详解】由题意，又故选：D2.（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量与的夹角为，因为，，且，所以，得，所以，所以，因为，所以，故选：A3.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角大小为（       ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.【详解】向量，向量，，，且，的夹角为.故选：D.  【题型二】向量夹角2：夹角锐钝 【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接由且与不共线求解即可.【详解】由题意知，且与不共线，且，解得．故选：C. 【提分秘籍】基本规律 用坐标或者数量积求解夹角锐钝时，要注意向量共线（同向或者反向）   【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由且与不共线结合向量的坐标运算求解即可.【详解】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.故选：D.2.（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据与的夹角为锐角求出的取值范围，再结合必要不充分条件的概念可得答案.【详解】当与的夹角为锐角时，且与不共线， 即，∴且，∴“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.3.（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得或，当与共线时， ，， ，此时和反向，不满足题意，故x的范围为；故选：D.    【题型三】向量夹角3：模【典例分析】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.【详解】设向量与的夹角为（），因为，所以，所以，得，因为非零向量，满足，所以，因为，所以，故选：C  【提分秘籍】基本规律.。  【变式演练】1.（2022·浙江·高三开学考试）已知向量满足，，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.【详解】，，又，，，设与的夹角为，，从而，所以与的夹角.故选：C2.（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用得到数量积为0，得到，然后由数量积的定义可得夹角余弦值，从而得夹角大小【详解】因为，所以，所以，所以=，结合，所以与的夹角为，故选：B．3.（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，则与的夹角为（       ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为，为单位向量，所以， 又，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以；故选：C    【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角【典例分析】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由得：，即，解得，因此，，而，解得，所以与的夹角为.故选：B 【提分秘籍】基本规律实际教学中，许多学生对于复合型向量求夹角，容易混淆不清，可以直接把复合向量设为新向量来代入公式求解。   【变式演练】1.（2022·河北邯郸·二模）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（       ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，且，所以，因为，所以向量与夹角的余弦值为，故选：D2.（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，设，，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为，所以可设，，则，，因为，所以，即.则，故选：A.3.（2022·辽宁锦州·一模）若，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求得，再利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由条件可知，两边平方后得，并且，，因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为 故选：A  【题型五】投影【典例分析】已知向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，且，则（    ）A．    B．4    C．2    D．12河南省林州市第一中学2019-2020学年高三5月月考数学试题【答案】C【解析】分析：向量在向量方向上的投影为，求出向量夹角，由向量在向量方向上的投影为，求出向量的模，将平方，结合平面向量数量积公式可得结果.详解：设的夹角为，向量在向量方向上的投影为，且，所以得，因为向量在向量方向上的投影为，所以，，，故选C. 【提分秘籍】基本规律1.a在b方向上的投影为： |a|cos θ   ＝      2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.                     投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.  【变式演练】1.已知向量,的夹角为120°，且则向量在向量方向上的投影为（    ）A．       B．        C．       D． 【答案】D【解析】试题分析：根据数量积公式可得投影为，故选D.2.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是（   ）A．        B．    C．      D． 【答案】D【解析】试题分析：由已知式子化简可得：，所以向量在向量方向上的投影为3.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为__________．2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中)、江西省（南昌二中)等十四校高三第二次联考数学理科试题【答案】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求．【详解】，，，，5，则向量在向量上的投影为1，故答案为：﹣1．  【题型六】模与数量积【典例分析】若向量，，，则______________.河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高三下学期期末数学试题【答案】【分析】由条件先求的值，再代入求值.【详解】 解得：，.故答案为： 【提分秘籍】基本规律平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有().规定与任何向量的数量积为.说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)，.(4)在实数中，若，且，则，但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中.(5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出，如图：，，但.(6)在实数中有，但是在向量中，     【变式演练】1.若等边的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（  ）A．    B．    C．    D． 【答案】A【解析】解析：因，则，即，应选答案A。2.在△中， ， ， 是边上的一点，且，则的值为A．0    B．4    C．8    D． 【答案】B【解析】试题分析： ， ,故选B.3.已知向量满足，，则A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.   【题型七】范围最值【典例分析】已知向量、的夹角为， ， ，则的取值范围是（  ）A．    B．    C．    D．[首发]浙江省温州市“十五校联合体”2019-2020学年高三下学期期中联考数学试题（A卷)【答案】A【解析】由，得…………①由，得…………②由①②得，且从而有，又，故,选A.  【变式演练】1.（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件对两边平方即可得出,从而可求出,进而即可得出然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出，.【详解】因为平面向量满足，所以，所以，所以.由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.因为，所以，即时最大.此时.故选：D2.已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是（  ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】试题分析：由，可得，整理得，根据则在上的投影长度为，而其投影肯定会不大于，所以其范围为，故选D．3.已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（   ）A．    B．C．    D． 【答案】D【解析】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得.    1．（·陕西·高考真题（文））已知向量，，若，则实数m等于（       ）A．－ B．C．－或 D．0【答案】C【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.【详解】由知：1×2－m2＝0，即或.故选：C.2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D3．（·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（       ）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.【详解】，，.故选：A.4．（·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】∵点在函数的图象上，∴，，∴点坐标为，，．故选：D5．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（       ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，因为，所以，解得或，所以或，故选：C．6．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（       ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.7．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（       ）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C8．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D 9．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．【答案】##【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.10．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.11．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．12．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．【答案】【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】，，，.故答案为：.13．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.【答案】【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________.【答案】     0     3【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3. 1.（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知向量，，，则向量与向量的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解..【详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，，，所以，因为，，所以，即向量与向量的夹角为.故选：D.2.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出与的夹角为锐角时的充要条件是且，从而判断出答案.【详解】因为与的夹角为锐角，则且与不共线.时，，当时，则与不共线时，，所以与的夹角为锐角的充要条件是且，显然且是的真子集，即“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A正确.故选：A3.（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））设向量，满足，，与的夹角为，则等于（       ）A．2 B．1 C．3 D．【答案】B【分析】利用向量数量积的运算法则及数量积的定义即得.【详解】∵，，与的夹角为，∴，∴，即.故选：B.4.（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】变形可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，即可得解.【详解】依题意，，则，即，即，解得.故选：C.5.已知向量， 满足， ， ，则向量在向量方向上的投影是_________． 【答案】-1【解析】由题意可得： ，据此可得： ，则向量在向量方向上的投影是 .6.已知，，且，则向量与的夹角余弦值是（    ）．A． B． C． D． 【答案】B【分析】由两向量垂直数量积为0，对化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，可得，解得。故选：B7.．已知单位向量，的夹角为，，则的取值范围是____________． 【答案】解：，，且 ，的夹角为，.，即.，即..令，则，，则，.的取值范围是.故答案为：.8.在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________. 【答案】【分析】通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.【详解】由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为9.已知非零平面向量满足 ，且与的夹角为，则的最大值为____________ 【答案】2【分析】运用平面向量夹角公式，结合向量的相关运算，即可将的最值求解.【详解】设与夹角为，则由题意，，化简得，，解得，而由与夹角为，可知，当时，显然，因为，不符合；，符合.当时，不符合，，符合；则，则当时，取得最大值.