专题6-2 数列求和归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题6-2数列求和归类

【题型一】等差等比数列求和

【典例分析】

在等差数列中， .（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的值.

【全国百强校】甘肃省高台县第一中学高三考试数学（文）试题

【变式演练】

1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设.

（1）求；（2）求数列的前项和.

2.已知等差数列的公差不为零， ，且成等比数列．

（1）求的通项公式；（2）求．

【题型二】分组求和

【典例分析】

已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【变式演练】

1.已知在等比数列中，，且是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和.

2.已知正项数列满足：，，.

（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；

（2）若，设，，求数列的前项和.

【题型三】倒序求和

【典例分析】

已知函数．

（1）证明函数的图像关于点对称;

（2）若，求；

【变式演练】

1.设奇函数对任意都有

求和的值；

数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；

2.已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.

（1）求证：点P的纵坐标是定值；

（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.

【题型四】错位相消求和

【典例分析】

设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【变式演练】

1.设等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足， 求数列的前项和.

2.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求的通项公式；

（2）若，求的前项和.

【题型五】裂项相消常规型

【典例分析】

设数列满足：，且（），.

（1）求的通项公式：

（2）求数列的前项和.

【变式演练】

1.已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

2.已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和.

【题型六】分段求和

【典例分析】

已知数列的前项和为，，.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，设数列的前项和为，求.

【变式演练】

1.．设是等差数列，是等比数列.已知，，，.

（1）求和的通项公式；

（2）数列满足，设数列的前项和为，求.

2.已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，，设，求数列的前项和.

【题型七】正负相间求和

【典例分析】

设是数列的前n项和，已知，⑴求数列的通项公式；  

⑵设，求数列的前项和．

【变式演练】

1.已知数列的前项和是，且.（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列前项的和.

2.已知等差数列满足：，.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足：，求的前项和.

【题型八】 型裂项相消

【典例分析】

正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式；

(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .

【变式演练】

1.数列满足，且.（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为.

2.等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，证明.

【题型九】型裂项相消

【典例分析】

在数列中，，，且对任意的N*，都有.

（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.

【变式演练】

1.．已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.

2.在数列中，，，.

（1）求的通项公式；

（2），是数列的前项和，，求证：．

【题型十】型裂项相消

【典例分析】

．已知是公差不为零的等差数列的前项和，是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.

【变式演练】

1.已知数列{an}的中a1=1，a2=2，且满足.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn，记数列{bn}的前n项和为Tn，若|Tn+1|，求n的最小值.

2.已知数列的前项和为，，设.（1）证明：是等比数列；（2）设，求的前项和，若对于任意恒成立，求取值范围.

【题型十一】型裂项相消

【典例分析】

已知正项数列的前项和为，且是4与的等比中项.（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【题型十一】“分子分母有理化”型裂项

【典例分析】

数列满足，.（1）求证:数列是等比数列，并求出的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【变式演练】

1.设{an}是各项都为整数的等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，，.（1）求数列，的通项公式；

（2）设cn＝log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn， .

（i）求Tn；（ii）求证：2.

2.已知数列的前项和满足，且.

（1）求证：数列是常数数列；

（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.

【题型十二】型裂项相消

【典例分析】

已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：．

【变式演练】

1.设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，，

（1）求数列，的通项公式；（2）设，

（i）求（ii）求．

2.已知为单调递增数列，为其前项和，(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若为数列的前项和，证明：.

1.（2017·全国·高考真题（理））等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（    ）

A． B． C． D．

2.（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

3.（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

4.（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

5.（2021·全国·高考真题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

6.（2011·全国·高考真题（理））等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

7.（天津·高考真题（理））已知数列满足，且成等差数列.

（Ⅰ）求的值和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

8.（江西·高考真题（理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列的前n项和Tn．

9.（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

10.（2020·全国·高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

2.已知等差数列中，，，数列的前项和.

（1）求，；

（2）若，求的前项和.

3.设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．（1）求证：点的纵坐标为定值；

（2）若求；

4.已知数列中，，，前项和为，若（，且）.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

5.在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前n项和，若，求n的值．

6.已知为等差数列，为等比数列，的前n项和为，满足，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，数列的前n项和，求.

7.已知数列为等比数列， ，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

8.已知数列满足，且当时，.（1）求证：数列是等差数列；

（2）记，求数列的前项和.

9.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；

（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.

10.已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

11.在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.

（1）求数列通项公式；（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.

12.数列是等比数列，公比大于0，前项和，是等差数列，已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式，；（Ⅱ）设的前项和为

（ⅰ）求；（ⅱ）若，记，求的取值范围．