专题7-2 线性规划与不等式应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题7-2 线性规划与不等式应用

目录
【题型一】画图求面积 2
【题型二】画图：含参 4
【题型三】线性：z=ax+by 7
【题型四】距离型 9
【题型五】斜率型 12
【题型六】不等式组含参型 15
【题型七】线性目标含参 18
【题型八】最优解无数个型 20
【题型九】含绝对值型 23
【题型十】均值型 26
【题型十一】向量型 28
【题型十二】与函数结合型 30
【题型十三】与概率命题等结合综合应用 33
【题型十四】双最值求参型 35
真题再现 38
模拟检测 44


综述：
线性规划在新课标老高考中，最近几年以容易题形式出现。考察线性z=ax+by形式较多。属于基础题。所以要把z=ax+by中a、b分别为正负的基础形式练习好。
线性规划综合问题中，几种常见形式有：
①截距型：，将问题转化为在轴截距的问题；
②斜率型：，将问题转化为与连线斜率的问题；
③两点间距离型：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题；
④点到直线距离型：，将问题转化为到直线的距离的倍的问题.


【题型一】画图求面积
【典例分析】
（2022·浙江浙江·高三阶段练习）若x，y满足约束条件，则点所在区域的面积（    ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据点所在区域面积是点区域面积的2倍，求出点区域的面积即可.
【详解】易知点所在区域面积是点区域面积的2倍.
区域如下图：其中交点，
所以点区域的面积，
所以点所在区域面积是.故选：A

【提分秘籍】
基本规律
画图时，要注意所求约束条件的点的坐标形式。如(x，y）与(a+b，a-b）的转化



【变式演练】
1.（2022·安徽·定远县民族中学高三阶段练习）不等式组所表示的平面区域的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出可行域，不等式组表示的区域为直角三角形，求出面积即可.
【详解】画出可行域，如图阴影部分为直角三角形，

其中，则面积为故选：B
2.（2021·江西·芦溪中学高二开学考试（理））已知集合，，则所表示平面图形的面积为（    ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】由集合，的元素满足的条件，找出如图所示的阴影部分，再利用圆和函数的对称性即可求出面积．
【详解】解：由，，可知集合表示的图形是以为圆心，1为半径的圆面．
由，得，或．
集合所表示的平面图形如图所示的阴影部分：
由于圆和函数的对称性可知：圆面的阴影部分的面积和剩下的部分面积相等，故．
故选：．

3.（2018·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】画图可行域，可得对应的区域为正方形，利用交点的坐标计算得正方形的边长，由此计算得图像的面积.
【详解】不等式组对应的平面区域如图，

对应的区域为正方形ABCD，其中A(0，1)，D(1，0)，边长AD＝，则正方形的面积S＝×＝2.故选B.

【题型二】画图：含参
【典例分析】
（2022·河南·模拟预测（文））已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意列不等式组，即可求解.
【详解】因为不等式组，表示的平面区域不包含点，
所以或，解得：.故选：B

【提分秘籍】
基本规律
含参讨论，注意参数所在位置，对不等式区域的影响。
一般情况下，不等式组中，参数在x系数位置，y系数位置，和常数系数位置，可以借助代特殊值法来研究。可以避免繁琐的分类讨论。

【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习（文））已知与函数相切，则不等式组确定的平面区域在内的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为，可得，解方程可得，然后作出不等式组在内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.
【详解】由与函数相切，设切点为，则，解得，
所以不等式组为，则不等式组确定的平面区域在内的面积为阴影部分，
由题意可得，，
所以，所以，
所以阴影部分的面积为：.故选：C
2.（2019·浙江·高三专题练习）若关于，的不等式组，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（    ）
A．1或 B．或 C．1或 D．或
【答案】B
【分析】由已知可知，若不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则k＝0或k＝1，由此作出可行域，代入三角形面积公式得答案．
【详解】解：∵不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，
∴由约束条件作出平面区域如图，


当k＝1时，平面区域为以角A为直角的等腰直角三角形，面积为；
当k＝0时，平面区域为以角B为直角的等腰直角三角形，面积为．
故选B．
3.（2017·福建·闽侯县第二中学高二期中（理））已知不等式组表示的平面区域面积为2，则 的值为

A． B． C． 1 D．2
【答案】C
【详解】分析：先作可行域，根据直角三角形面积求a的值.
详解：作可行域，因为不等式组表示的平面区域为直角三角形，所以
选C.

【题型三】线性：z=ax+by
【典例分析】
（2022·四川省成都市第八中学校高三阶段练习（理））已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）．
A．3 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】先作出约束条件所表示的可行域，再结合图像即可求得目标函数的最大值.
【详解】根据题意，作出所表示的可行域，如图，其中，，，

而表示平行直线经过可行域内过，截距为，
当经过点时，截距最大，即z取得最大值.
故选：B．

【提分秘籍】
基本规律
形如，将问题转化为在轴截距的问题。要注意斜率正负，截距与Z的正反比例关系。



【变式演练】
1.（2021·陕西·安康市教学研究室高一期末）已知，满足约束条件，则的最大值为（    ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】画出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求解作答．
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：

平移直线，当直线过可行域内的点时，直线在轴上的截距最大，
即目标函数取得最大值，联立，解得，
故目标函数的最大值为．故选：C．
2..已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最小值，求出点的坐标，代入目标函数可求得结果.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，
由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最小值，
由，得，即，
所以的最小值为，
故选：B

3.（2022·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足，则（    ）
A．最小值为-7，最大值为2 B．最小值为-2，最大值为7
C．最小值为-7，无最大值 D．最大值为2，无最小值
【答案】C
【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目标函数的最大最小值．
【详解】作出可行域，如图所示阴影部分：
，
，即，直线越往上移的取值越小，当直线往上平移至经过点时，取最小值，此时，当直线往下平移至经过点时，，因为该点取不到，所以无法取到最大值，即的最小值为-7，无最大值．
故选：C．

【题型四】距离型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）如果点在平面区域上，则的最小值是（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】作出不等式组表示的平面区域，再根据表示的几何意义即可求得答案.
【详解】如图，作出表示的平面区域，图中区域，
， 而，设点 ,
即表示的是和定点的距离的平方减去1，由图可知，联立，解得 ,而 ,则 ， 到直线 的距离为 ,,
故当垂直于AB时， 最小，则的最小值为 ，故选：A

【提分秘籍】
基本规律
形如：，可以将问题转化为与两点间距离的平方的问题。需要注意的是，如果配方后有常数，则需要多走一步。如。
距离型也可以转化为“动圆”型来解释。
距离型还要注意，最值处是“到点的距离”，还是“到线的距离”




【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出不等式组表示的平面区域，由的几何意义，计算目标函数的最小即可.
【详解】作出不等式组所表示的区域如下图：则的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知，点到直线的距离最小，由点到直线距离公式，可得，所以，
所以的最小值为，故选：B．
2.（2022·浙江省江山中学高三期中）若实数满足约束条件，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】画出可行域，而的几何意义表示区域内的点到定点的距离，观察图可知的最小值即为点到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式求解即可
【详解】可行域如图

的几何意义表示区域内的点到定点的距离，
所以由图可知的最小值即为点到直线的距离，
故选：B.
3.（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）
A．40 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】画出可行域，将问题转化为点到区域内一个点的距离的平方即可
【详解】约束条件所满足的区域如图所示

目标函数的几何意义是点到区域内一个点的距离的平方
由图知此最小值为以点为圆心，与直线相切的圆的半径的平方
根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为
故最小值为4
故选：C．

【题型五】斜率型
【典例分析】
（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））已知动点在不等式组 表示的平面区域内部及其边界上运动，则的最小值（    ）
A．4 B． C． D．3
【答案】B
【分析】作出不等式组表示的平面区域，明确表示的几何意义，数形结合，即可求得答案.
【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分：

表示的几何意义为不等式组表示的区域内一点与点P(5,3)连线的斜率，
由图可知当连线经过区域内的A点时，斜率最小，即取到最小值；
解可得,此时 ,即的最小值为，故选：B

【提分秘籍】
基本规律

形如，将问题转化为与连线斜率的问题。要注意以下几点
1.如果分子分母x，y有系数，提出来再用斜率型。如
2.注意斜率的范围，与倾斜角的关系。简单称之为“直线旋转”时斜率的范围。

【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）若实数x，y满足的约束条件，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.
【详解】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影区域，其中点，
目标函数表示可行域内的点与定点确定直线的斜率 ，
过点P的直线平行于直线，其斜率为，过点P的直线经过点，其斜率为，
直线从直线（不含直线）绕点P逆时针旋转到直线的位置，直线均符合条件，则或，
所以的取值范围是.故选：B
2.（2022·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足，则目标函数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出可行域，将化简为，看作点与可行域内点连线的斜率，求解斜率的范围.
【详解】作出约束条件的可行域，如图阴影部分所示，
其中，表示定点与可行域内点连线的斜率，因为，，
所以z的取值范围是．故选：B
3.（2021·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知实数，满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】画出可行域，根据斜率型表达式的取值范围的求法求得正确答案.
【详解】，
表示与连线的斜率加.
画出可行域如下图所示，由图可知.
，所以.
故选：C


【题型六】不等式组含参型
【典例分析】
（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若实数x，y满足，且的最大值为8，则实数m的值为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】画出不等式组表示的可行域，利用线性规划去求实数m的值即可.
【详解】画出不等式组表示的可行域如图所示，

由图中直线斜率关系知：
当直线向上平移时，依次经过点O，B，A．
故经过点A时，z有最大值，由，得．
故选：C．



【提分秘籍】
基本规律
不等式组含参，是“旋转型”还是“平移型”，与参数位置有关。要随时根据参数范围确定不等式所对应的范围区域。


【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知点是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则的值为（    ）
A．2 B． C．-2 D．-1
【答案】C
【分析】作出可行域，把目标函数化为直线，利用几何法判断出经过B时， z最小；经过C时， z最大.建立方程组，求出a、b、c的关系，代入即可求解.
【详解】把不等式组表示的平面区域画出来.

联立方程组,求出三个顶点坐标：由解得：，所以;由解得：，所以;由解得：，所以;
把目标函数化为直线，平移直线，经过B时，纵截距最小，z最小；经过C时，纵截距最大，z最大.
所以.故选：C
2.（2021·河南开封·高三阶段练习（文））曲线上存在点满足约束条件则的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】作出可行域和函数的图象，进而通过数形结合求得答案.
【详解】如图所示，当过点D时，m有最小值.

联立，设，易知函数在R上是增函数（增+增），且，则点D的坐标为（1,2），所以的最小值为2.
故选：B.
3.（2021·河南省杞县高中高二阶段练习（理））已知实数x，y满足条件若目标函数的最小值为5，则c的值为（    ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】由约束条件画出可行域，根据目标函数最小值的几何意义确定其在取最小值时所过的点，进而求参数c的值.
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示.

作直线l：，平移l可知：当，时，z取得最小值，
∴，所以，
故选：A
【题型七】线性目标含参
【典例分析】
（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若动直线与区域有交点，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出动直线过的定点，再画出可行域，旋转直线即可求出的最大值.
【详解】
将动直线化为，易知动直线过定点，又表示动直线在轴上的截距，
如图所示，当动直线经过点时，此时最大，有，解得，故的最大值为1.
故选：C.



【变式演练】
1.（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知满足不等式组，若中有最大值，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，作出可行域，然后利用线性规划进行数形结合求解
【详解】等价于，则可行域如图所示，令，，当时，过或点时，能够取得到最大值，而在之外时，无最大值，故选：A

2.
（2021·河南洛阳·高二阶段练习（文））设x，y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则a的值为（    ）
A． B．或2 C．2 D．或1
【答案】B
【分析】先画出可行区域，再根据取得最大值的最优解不唯一即可求解.
【详解】作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由，得．

由图可知，当时，直线与直线重合，此时；
当时，直线与直线重合，此时．故选：B.
3.（2022·浙江·高三开学考试）若实数，满足约束条件，若恒成立，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出满足约束条件的可行域，由恒成立转化为，结合可行域求出的最大值可得答案.
【详解】作出满足约束条件的可行域如图所示：
平移直线到点时，有最大值，此时由得，即，∵恒成立∴，即.故选：A.

【题型八】最优解无数个型
【典例分析】
（2021·河南洛阳·高二阶段练习（文））设x，y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则a的值为（    ）
A． B．或2 C．2 D．或1
【答案】B
【分析】先画出可行区域，再根据取得最大值的最优解不唯一即可求解.
【详解】作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由，得．

由图可知，当时，直线与直线重合，此时；
当时，直线与直线重合，此时．故选：B.

【提分秘籍】
基本规律
最优解无数，则线性目标函数，与约束条件区域的某一条边所在直线平行。



【变式演练】
1.（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（理））已知变量满足约束条件，且有无穷多个点使目标函数取得最小值，则（    ）
A．-2 B．-1 C．1 D．4
【答案】C
【分析】画出可行域，根据题意求解
【详解】做出可行域如图所示，

①若，则，最优解只有一个，不合题意
②若，则，此时斜率为正，与纵截距负相关，数形结合知目标函数过A时z取最小值，不满足题意；
③若，则，此时斜率为负，与纵截距正相关，当动直线与平行时，有无穷多个点在上，使得取最小值，故故选：C
2.（2021·云南·丽江第一高级中学高二期中（文））变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解有无穷多个，则实数的取值集合是的（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用取得最大值的最优解有无数个，得到目标函数的对应的直线和不等式组中直线斜率相等，结合图象，即可求解.
【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
由，可得，
若时，直线，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件；
若时，则直线截距取得最大值时，取得最大值，
此时满足直线与平行，此时，解得；
若时，则直线截距取得最大值时，取得最大值，
此时满足直线与平行，此时，解得，
综上满足条件的或，故实数的取值集合是.故选：B.

3.（2022·全国·高三专题练习）实数、满足不等式组，且取最小值的最优解有无穷多个，则函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出不等式组表示的可行域，根据的几何意义得到与平行，从而得到，再求函数的最小正周期即可.
【详解】由题意作出其平面区域，
将化为，相当于直线的纵截距，
则由取最小值的最优解有无穷多个知，与平行，
则，则，所以函数的最小正周期为，故选：A．
【题型九】含绝对值型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足不等式组，关于目标函数最值的说法正确的是（    ）
A．最小值2，最大值9 B．最小值0，最大值9
C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值10
【答案】A
【分析】作出不等式组对应的可行域，利用点到直线的距离的几何意义求最值即可得解.
【详解】满足不等式组的可行域，如下图中阴影部分：
由于可以转化为点到直线的距离的倍的问题，
可以转化为点到直线的距离的倍的问题，又直线与直线平行，且两平行线之间的距离为数形结合可知，当动点在点时，目标函数取得最小值，
由，所以当动点在点时，目标函数取得最大值，
由，所以
所以目标函数的最小值为2，最大值为9故选：A

【提分秘籍】
基本规律
注意绝对值所在的位置，采取不同的策略：
1.目标函数整体位置.如，
2.单个变量位置，可以数形结合，或者分类讨论
3.双绝对值位置，较少，开分类讨论。


【变式演练】
1.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式组可作出平面区域，求得梯形各个顶点坐标，求解梯形面积即可得到结果.
【详解】由不等式组可得其表示的平面区域如下图阴影部分所示，

由得：；由得：；由得：；
，，，又，，
阴影部分面积.故选：B.
2.（2022·江西·模拟预测（理））设实数x，y满足，则的最小值为（　　）
A．4 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】画出可行域，依据线性规划即可求得的最小值.
【详解】画出可行域如下图：可行域中，则可化为

由得则；由得则
的最小值的最优解为，则的最小值为4.故选：A.
3.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知圆的方程为，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出不等式|x|+|y|≥a表示的平面区域，及OP的垂直平分线形成的区域，
再结合题意分析这两个区域的相互覆盖情况即可．
【详解】
如图，随着点P在圆上运动，OP的垂直平分线形成的区域是圆：x2+y2=1的外部，…①
平面区域|x|+|y|≥a表示正方形EFGH的外部，…②
若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则①区域要包含于②区域，
故；故选：B．
【题型十】均值型
【典例分析】
（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知不等式组表示的平面区域的面积为，正实数满足，则+的最小值为（    ）
A．9 B．5 C． D．4
【答案】C
【分析】先求出不等式组表示的平面区域的面积，再利用基本不等式进行求解.
【详解】不等式组表示的平面区域如图：
对应的区域为图中正方形，其中，边长为，
所以，即；，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.

【变式演练】
1.（2022·云南普洱·高三期末（理））已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最小值为（    ）
A．9 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】根据约束条件作出可行域，再根据几何意义可得，再根据结合基本不等式即可得解.
【详解】解：作出约束条件的可行域，如图所示，
则目标函数过点时，取得最小值，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.

2..已知实数，满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为___．

【答案】【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 又且，则且， 所以当直线过点时，目标函数取得最大值， 又由，解得，即， 所以， 又，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.

【题型十一】向量型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知e1，e2为平面上的单位向量，e1与e2的起点均为坐标原点O，e1与e2夹角为.平面区域D由所有满足的点P组成，其中 ，那么平面区域D的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则
因为，所以，围成一个三角形，面积为，选D.

【提分秘籍】
基本规律

化归为主，把向量数量积转为线性规划基本型即可。特殊情况下，可以数形结合。



【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知O是坐标原点，P（a，1），若点M（x，y）为平面区域上的动点，若•的最大值为4，则a的值为（    ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】A
【分析】设，得，分类讨论参数，确定的取值范围是否满足最大值为4，由数形结合法即可求解.
【详解】，设，得，代表直线的截距.
当时，如图中两条虚线所示，显然最大值取不到4，故不符合；

当时，要使取到最大值，必然交可行域于或点.
当交于点时，，即，此时，显然最大值取不到4，故不符合；

当时，若取到最大值，则与重合，最大值为2，也不符合；
当时，要使取到最大值，必然交可行域于点，此时令，解得.

综上所述，.故选：A
2.（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先画出线性约束条件的可行域，再去求目标函数的取值范围即可.
【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：
可知，，，∵，∴
令，即，
由图可知，当直线经过点时，目标函数有最小值，
当直线经过点时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是.故选：D
3.（2022·山东省实验中学高一阶段练习）已知是边长为3的等边三角形，点在边上，且满足，点在边上及其内部运动，则的最大值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出数量积，再根据线性规划的问题求出的最大值．
【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图1所示：
则，，，，，，设点，则，；
所以，，；所以；
令，根据线性规划的问题知，可行域是及其内部的点；如图2所示：
平移目标函数，当目标函数经过点时，取得最大值为．
故选：A．
        （图2）

【题型十二】与函数结合型
【典例分析】
（2021·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知函数且有两个零点，其中一个零点在区间内，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知，一个根在区间内，得关于的不等式，再利用线性规划的方法求出的取值范围
【详解】解：由题意得，即，且，
即或（不合题意舍去）
视为变量，作出可行域如图，
设，∴，得到一簇斜率为1，截距为的平行线，
∴由图可得当直线过与b轴的交点时截距最大，此时z最小；
在可行域里面不能找到截距最小的时候，所以z无最大值，因为，∴，
∴的最小值为：，∴的取值范围为：，故选：B


【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数的极大值点，极小值点 ，则的取值范围是 （      ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出的导函数 ，由当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可以得到参数 、满足的不等式组，画出其表示的平面区域，根据的几何意义即可求解
【详解】
又因为当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得
即：作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可求出边界交点坐标分别为 、、，表示平面区域内的点与点连线的斜率，由图可知 ，根据倾斜角的变化，可得
故选:B
2.（2022·北京·高三专题练习）已知函数，且，则当时，的最大值为（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】利用导数判断的单调性，结合函数的奇偶性求得满足的条件，数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可求得目标函数的最大值.
【详解】因为，故可得，故在上单调递增；
又的定义域关于原点对称，且，故为奇函数；
则，即，即，
也即，故点在以为圆心，以为半径的圆上以及内部.
又表示以与点构成直线的斜率，
数形结合及可知当时，取最大值1.故选：B.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知实系数一元二次方程的两个实根为、，并且，则的取值范围是 (     )
A． B． C． D．.
【答案】C
【分析】由题设得到线性可行域，结合的几何意义，数形结合思想求其范围即可.
【详解】令，则，可得，
又表示与可行域上点所成直线的斜率，如下图示：
由图知：，可得，即；
所以，结合斜率知：的取值范围是.故选：C

【题型十三】与概率命题等结合综合应用
【典例分析】
（2022·广西河池·模拟预测（理））在区域内任取一点，则满足的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，作出可行域的约束的平面区域，再结合几何概型求解即可.
【详解】解：画出区域，如图（图中及内部），
区域内满足的区域为图中四边形的内部及边界，且，，，
所以与相似，所以，故所求概率.故选:A.


【变式演练】
1.（2022·四川·石室中学二模（理））已知不等式组，构成的平面区域为D．命题p：对，都有；命题q：，使得．下列命题中，为真命题的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，根据存在性和任意性的定义，结合复合命题的真假性质进行判断即可.
【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（包含边界）所示．根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题为真命题，命题也为真命题，因此选项B为真命题；
因此为假命题，命题也为假命题，所以选项ACD为假命题，
故选：B

2.（2022·浙江湖州·高三期末）在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域内整点个数是（    ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【分析】作出约束条件的可行域，再直接数点即可得答案.
【详解】解：根据题意，作出不等式组约束的平面区域，如图，

所以可行域内整数点的个数为个.
故选：C

【题型十四】双最值求参型
【典例分析】
（2020·全国·高三专题练习（理））已知实数、满足，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域，设，把、、的坐标代入,列不等式，即可得解.
【详解】作图，、、，

设，
把、、代入得，，
，由题意得，
解得，实数的取值范围为，
故选：C.
【变式演练】
1.（2020·江西·南昌市八一中学高二阶段练习）已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出可行域，将目标函数化为斜截式，分类讨论，找到最优解，求出的最值，与已知最值比较可得结果.
【详解】作出可行域如图：

将目标函数化为，
当时，直线经过点时，，由解得与矛盾，不符合题意；
当时，直线经过点时，，由解得与矛盾，不符合题意；
当时，直线经过点时，，直线经过点时，，符合题意；
故实数的取值范围是.故选：D.
2.（2020·四川·南充启睿实验学校高一阶段练习）已知，满足，目标函数的最大值为7，最小值为1，则，的值分别为（    ）
A．-1，4 B．-1，-3 C．-2，-1 D．-1，-2
【答案】D
【分析】如图所示，画出可行域，，则，表示直线与轴的截距，计算交点为和，代入直线方程得到答案.

【详解】如图所示：画出可行域，
，则，表示直线与轴的截距.
与的交点为，与的交点为，
故过点和，代入得到，，
故选：D.




1．（2022·全国·高考真题（文））若x，y满足约束条件则的最大值是（    ）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数为，
上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件则的最大值是（    ）
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线后可求最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线过时有最大值.
由可得，故，故，故选：B.
3．（2020·山东·高考真题）已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最大值和最小值，从而得范围．
【详解】如图，作出直线，向上平移直线，最先过可行域中的点，此时，最后过可行域中的点，此时，
所以的取值范围是．
故选：C．

4．（山东·高考真题）不等式组表示的区域（阴影部分）是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用特殊点进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.
【详解】将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，
将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；
不包括边界，用虚线表示，包括边界，用实线表示，
故选：D.
5．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.
【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：

目标函数化为，由，解得，设，
当直线过点时，取得最小值为.故选：B.
6．（2019·全国·高考真题（文））记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.
【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．

【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．
7．（2019·北京·高考真题（理））若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为
A．−7 B．1 C．5 D．7
【答案】C
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.
【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C.
【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.
8．（安徽·高考真题（理））满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为
A． B． C．2或1 D．
【答案】D
【详解】试题分析：题中的约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或.

考点：1.线性规划求参数的值.
9．（·福建·高考真题（文））若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为
A．-1 B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】由，可求得交点坐标为，
要使直线上存在点满足约束条件，如图所示，可得，所以最大值为1，故选B.


10．（江苏·高考真题）已知实数满足则的取值范围是 .
【答案】
【详解】画出不等式组表示的平面区域，

由图可知原点到直线距离的平方为的最小值，为，原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，因此的取值范围为
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
11．（·安徽·高考真题（文））不等式组表示的平面区域的面积为________.
【答案】
【详解】根据约束条件画出可行域，可知该可行域为三角形，直线与的交点为，利用点线距离公式得P到直线的距离为，直线与直线、的交点分别为，，则，
．


【点睛】（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）平面内点线距离公式、两点间距离公式的应用．

12．（2021·湖南·高考真题）某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶
车辆型号
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
A
60
3600
B
36
2400

学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值.
【答案】A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元.
【分析】首先设A型车和B型车分别为辆，根据条件列出目标函数和约束条件，数形结合即可解决.
【详解】设A型车和B型车分别为辆，则租金为，依题意，需满足 ，即,如图，作出可行域，
令，目标函数变形为，即，当直线平移至点时，目标函数取得最小值，
，解得：，，此时元.
所以A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元.



1.（2022·全国·高三专题练习）不等式组表示的平面区域的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】画出可行域，求出交点坐标，求三角形面积即可.
【详解】不等式组表示的平面区域如图所示（阴影部分），
的面积即为所求平面区域的面积．
对三条直线两两联立方程，求出点A，B，C的坐标分别为，，.
则△ABC的面积为, 故选：A.
2..（2022·全国·高三专题练习）若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据图象即可求解.
【详解】由图形知，要使平面区域为三角形，
只需直线在之间或在上方.
故选：D
3.（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））若x，y满足约束条件，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，求出最值后得范围．
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，
在直线中，是直线的纵截距，因此直线向上平移减小，向下平移增大．
平移直线，当它过点时，，当它过点时，，
所以的范围是．
故选：A．

4.（2022·黑龙江绥化·高三开学考试（理））设实数x，y满足约束条件：，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出约束条件所表示的可行域，由的几何意义为：可行域内的点与点两点间距离的平方，从而即可求解.
【详解】解：画出约束条件所表示的可行域，如图，，，

由可行域知的最大值是，最小值为D到直线的距离的平方为，所以．故选:A．
5.（2022·浙江·龙港中学高三阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出约束条件对应的可行域，并将目标式化为，应用数形结合知只需确定可行域上的点与原点所成直线的斜率范围，即可得的范围.
【详解】由约束条件可得如下可行域：

由图知：可行域在第一象限内，则，只需可行域上的点与原点所成直线的斜率范围即可.
当在直线上，，
当为直线与的交点时，，
所以，故.
故选：D
6.（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）实数，满足且的最小值为4，则实数的值为（    ）
A．0 B．-2 C． D．3
【答案】D
【分析】作出不等式组对应的平面区域，由目标函数的最小值即可求出实数的值.
【详解】解：不等式组对应的平面区域如下图
由的最小值为4即且，则直线的截距最小时，也取得最小值。则不等式组对应的平面区域在直线的上方
由，解得：。即点也在直线上。得：。解得：，故选：D.
7.（2022·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（   ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用奇函数求得，再由约束条件画出可行域，根据目标函数值最小的几何意义确定直线所过的点，进而求其最小值.
【详解】由题设，，
∴，可得，又，
∴，故，
由约束条件可得可行域如下：

∴要使目标函数值的最小，即所在直线与可行域有交点的同时，在数轴上的截距最小，故当经过图中的A点时，值最小，
联立，可得，故，∴.故选：B.
8.（2023·全国·高三专题练习）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（    ）
A．或-1 B．2或 C．2或1 D．2或-1
【答案】D
【分析】画出约束条件所表示的平面区域，将化为，根据题设条件，结合几何意义，即可求解.
【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
将化为，则表示直线的纵截距，由目标函数取得最大值的最优解不唯一，
可得与或平行，所以或.
故选：D.
9.（2023·全国·高三专题练习）若实数满足则的最大值为（    ）
A． B． C．13 D．
【答案】C
【分析】作出不等式组所对应的可行域，根据线性规划的几何意义，求得目标函数的最大值和最小值，即可得的最大值,
【详解】作出不等式组表示的可行域如图（阴影部分）：

设 ，则当直线分别过点A,B时，直线在y轴上截距最小和最大，而z取到最大和最小，
联立 ，解得 ,
联立 ，解得 ，
将代入中， 取得最大值 ，
将代入中， 取得最小值，
因此的最大值为13，故选：C.
10.（2022·全国·高三专题练习）在条件下，目标函数的最大值为2，则的最小值是（    ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【分析】首先画出可行域，找到最优解，得到关系式作为条件，再去求的最小值.
【详解】画出的可行域，如下图：
由得由得；
由得；目标函数取最大值时必过N点，
则则
（当且仅当时等号成立）故选：C
11.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由数量积的坐标运算求得，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】解：根据题意可得，、，所以，令，
由约束条件作出可行域如下图所示，

由得，即，由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最小值为，即，所以．故选：B．
12.（2022·河南·濮阳一高高二阶段练习（理））实系数一元二次方程的一个根在上，另一个根在上，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知得到方程组，然后画出可行域，再根据表示可行域内的点与点连线的斜率求解.
【详解】解：令，
∵实系数一元二次方程的一个根在上，另一个根在上，
∴，画出它的可行域，如图所示：的内部.而表示可行域内的点与点连线的斜率，
而直线的斜率为0，直线的斜率为，故的取值范围是，故选：A.
13.（2022·四川·石室中学二模（文））已知不等式组，构成的平面区域为D．命题p：对，都有；命题，使得．下列命题中，为真命题的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形由线性规划的知识可判断命题p、 q的真假，然后根据复合命题真假判断结论即可求解.
【详解】不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分（包含边界）所示．

根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p为真命题，命题q也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD错误，B选项正确．
故选：B
14.（2021·贵州黔东南·模拟预测（文））设x，y满足约束条件且z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为3，则ab的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由约束条件作出可行域，利用线性规划知识求得，利用“1”的代换，结合基本不等式求最值．
【详解】解：作出约束条件表示的可行域如图，
，，当直线经过点时，取得最大值，
则，即，
，当且仅当时，等号成立，则，
故的最大值为，故选：A．