专题9-2 圆的综合题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题9-2 圆的综合题型归类

综述

1.圆的标准方程：

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

2.圆的一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

该方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.

3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．

(2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．

4．圆与圆的位置关系：设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).则：

d>r1＋r2⇔外离； d＝r1＋r2⇔外切； |r1－r2|<d<r1＋r2⇔相交； d＝|r1－r2|⇔内切； 0≤d<|r1－r2|⇔内含

5.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：

①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程；  ②用圆M的方程减去圆C的方程即得；

(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

6.圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

7.圆与圆位置关系的判定

（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

消元，一元二次方程

【题型一】点与圆的位置关系

【典例分析】

若点在圆外，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C．（－2，0） D．（0，2）

【变式演练】

1.已知点在外，则直线与圆的位置关系为（    ）

A．相交

B．相切

C．相离

D．相交、相切、相离三种情况均有可能

2.若坐标原点在圆内，则的取值范围是_________.

【题型二】直线与圆1：到直线的距离为定值的点个数

【典例分析】

若圆上总存在两个点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是______.

【变式演练】

1.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则该直线的斜率的范围是_______________________．

2.若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是___________.

3.设过点的直线l的斜率为k，若圆上恰有三点到直线l的距离等于1，则k的值为___________.

【题型三】直线与圆2：弦心距

【典例分析】

若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知圆：，若圆与轴交于，两点，且，则（    ）

A． B．2 C． D．1

2.已知直线与圆交于两点，且，则（    ）

A． B． C． D．

3.直线l与圆相交于A，B两点，则弦长且在两坐标轴上截距相等的直线l共有（    ）．

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【题型四】直线与圆3：弦心角

【典例分析】

已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【变式演练】

1.已知直线（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则的最小值为

A．4 B．2 C．5 D．8

2.若直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则（    ）

A．1 B． C．2 D．

3.．已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【题型五】直线与圆4：圆心与弦三角形最值

【典例分析】

已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（       ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆相切，则的面积的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

2.设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

3.直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，弦所对的劣弧长为

A． B． C． D．

【题型六】两个圆公共弦与位置关系

【典例分析】

已知圆，半径为的圆的圆心沿着直线自下往上运动，若当圆和圆相交于两点，且第一次使得时，则两圆的公共弦所在的直线方程为________.

【变式演练】

1.已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点,且点在直线上,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2.已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1).若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为（    ）

A．(x－2)2＋(y－1)2＝6

B．(x－2)2＋(y－1)2＝22

C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22

D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32

3.已知圆和圆，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________.

【题型七】阿波罗尼斯圆

【典例分析】

古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ）

A．轨迹的方程为

B．在轴上存在异于的两点，使得

C．在上存在点，使得

D．当三点不共线时，射线是的角平分线

【变式演练】

1.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆，若两定点，的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

2.已知点，动点满足，则的取值范围（   ）

A． B． C． D．

3.已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【题型八】圆中的“将军饮马型”

【典例分析】

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________．

【变式演练】

1.在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且 ，点，则的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

2.2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以的速度匀速直线飞向距月心的圆形轨道上的某一点，在点处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时_______________s.

3.已知点A(6，0)，B(6，2)，圆，点P在圆C上运动，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．8

【题型九】圆最值

【典例分析】

已知直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，圆心到直线的距离分别为，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（    ）

A．4 B． C．8 D．

2.直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3.已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【题型十】圆中的光学性质

【典例分析】

已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为

A． B． C． D．

【变式演练】

1.一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（    ）

A． B． C． D．

2.已知分别是直线和圆上的动点，圆与轴正半轴交于点，则的最小值为

A． B． C． D．

3.已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【题型十一】圆切线1：切线长范围

【典例分析】

已知点P为椭圆，上的一个动点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.由直线上的点P向圆C：引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是（    ）

A．(－1，1) B．(0，2） C．(－2，0） D．(1，3)

2.由直线x+2y-7=0 上一点P引圆的一条切线，切点为A,则的最小值为

A． B． C． D．

3.过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．

【题型十二】圆切线2：切点三角形与四边形面积

【典例分析】

由直线上的一点向圆：引切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为

A．1 B． C． D．3

【变式演练】

1.已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

3.过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【题型十三】圆切线3：切点弦方程

【典例分析】

已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【变式演练】

1.已知直线，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线的距离最大值为（    ）

A． B． C． D．

2.过点作圆的两条切线，设切点分别为、，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

3.已知，直线．P为上的动点．过点P作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【题型十四】圆切线4：切点弦含参

【典例分析】

已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.

A． B． C． D．

【变式演练】

1.圆：，点为直线上的一个动点，过点向圆作切线，切点分别为、，则直线过定点

A． B． C． D．

2.已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ）

A． B． C． D．

3.已知圆.若动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为，.则直线恒过定点，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【题型十五】圆切线5：切点弦范围

【典例分析】

若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则线段长度的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2.在平面直角坐标系中，已知点满足，过作单位圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的取值范围是______.

3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【题型十六】圆切线6：两圆公切线

【典例分析】

若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式演练】

1.已知圆，圆，两圆的内公切线交于点，外公切线交于点，若，则等于（　）

A． B． C． D．

2.两个圆与恰有三条公切线，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

3.已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．4

【题型十七】圆切线7：角度范围

【典例分析】

已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.在平面直角坐标系中，若圆：上存在两点、满足：，则实数的最大值是______.

2.在平面直角坐标系中，已知圆C满足：圆心在轴上，且与圆相外切.设圆C与轴的交点为M，N，若圆心C在轴上运动时，在轴正半轴上总存在定点，使得为定值，则点的纵坐标为_________.

3.已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时， 恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．

【题型十八】圆有关的轨迹

【典例分析】

平面直角坐标系中，已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆交圆于、两点，点在上且满足，则点的轨迹方程是________．

【变式演练】

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则_____________.

2.过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，若直线到圆相切，则点的轨迹方程为

A． B． C． D．

3.已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则    

A． B． C． D．

2．（2020·全国·高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

3．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

4．（2018·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为

A． B．

C． D．

5．（江西·高考真题（理））过点（，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于

A． B．- C． D-

6．（·重庆·高考真题（理））在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

A． B． C． D．

7．（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

8．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．

9．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

10．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

11．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

12．（2江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是_________

13．（江苏·高考真题）设集合，,若，则实数m的取值范围是______________

14．（上海·高考真题（理））将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为__________

15．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．

1．已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

3．中，，，，中，，则的取值范围是

A． B．

C． D．

4．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

5．已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（    ）

A．40条 B．46条 C．52条 D．54条

6．点为圆：上一动点，为圆：上一动点，为坐标原点，则的最小值为______.

7．已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________.

8．△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．