高考数学一轮复习 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（讲）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题2.1   不等式的性质及常见不等式解法新课程考试要求1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.核心素养培养学生数学运算（例2.3.4）、数学建模（例1）、逻辑推理（例2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.不等式的性质及应用2．一元二次不等式的解法3．一元二次不等式的恒成立问题【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性质8：如果a>b>0，那么>，(n∈N，n≥2)．4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． (3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R }ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅6．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为__分式不等式__.>0⇔f(x)g(x)__>__0，<0⇔f(x)·g(x)__<__0.≥0⇔⇔f(x)·g(x)__>__0或.≤0⇔⇔f(x)·g(x)__<__0或7．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f(x)最高次项系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．8.不等式恒成立问题 　1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.9．绝对值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．10．绝对值不等式的应用如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【常用结论】1．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒<.(2)a<0<b⇒<.(3)a>b>0,0<c<d⇒>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.2．两个重要不等式若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)．(2)>；<(b－m>0)．【考点分类剖析】考点一 ：用不等式表示不等关系例1.用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18,要求菜园的面积不小于216 ,靠墙的一边长为,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________. 【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？考点二：比较数或式子的大小例2. 已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【变式探究】(1)比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；(2)设a∈R且a≠0，比较a与的大小．考点三：不等式性质的应用例3. 【多选题】（2021·河北高三二模）若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（    ）A． B． C． D．例4. 若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a＜b＜c　B．c＜b＜aC．c＜a＜b  D．b＜a＜c例5. 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4”，则f(－2)的取值范围是       ．【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．【变式探究】已知12<a<60,15<b<36，求a－b及的取值范围．【易错警示】错用不等式的性质致错.考点四：一元二次不等式的解法例6.（2020·全国高考真题（文））已知集合则（    ）A． B．C． D．【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【易错警示】忽视二次项系数的符号致误【变式探究】1．（2021·江西九江市·高三三模（文））已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2. （2021·陕西省汉中中学高三其他模拟（理））已知集合，，则（    ）A． B．C． D．考点五：绝对值不等式的解法例7. （2021·浙江高三其他模拟）已知，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为             .【规律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．【变式探究】1.（2017天津，文2）设，则“”是“”的（    ）（A）充分而不必要条件  （B）必要而不充分条件（C）充要条件          （D）既不充分也不必要条件2.不等式的解集为_______________．考点六：绝对值不等式的应用如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．例9.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（    ）A．或 B． C． D．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解. (2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1.（2020·广东省高三其他（理））已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.考点七：不等式恒成立问题例10.（2020·浙江高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ）A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0例11.（2020·江苏省太湖高级中学高一期中）已知函数，关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【规律方法】(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.【变式探究】函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．【总结提升】解决不等式恒成立问题的两种思路(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范围.(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.