高考数学一轮复习 专题2.4 《等式与不等式》单元测试卷

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题2.4   《等式与不等式》单元测试卷考试时间：120分钟     满分：150注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·四川攀枝花市·高三二模（理））已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】化简集合A，根据并集运算即可.【详解】因为，所以故选：C2．（2021·内蒙古高三一模（理））已知集合，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别解绝对值不等式和一元二次不等式运算即可．【详解】由题，，，所以．故选：B．3．（2021·陕西西安市·高三二模（理））已知“x>2”是“<1”的（    ）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】求得的解集，由此确定充分、必要条件.【详解】，所以是的充分不必要条件.故选:A4．（2021·陕西西安市·高三二模（理））设集合，，若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】求得集合，根据求得实数的取值范围.【详解】，由于，，所以.故选：B5．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（理））若，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于选项A,B,C举反例可判断，选项D函数在上单调递增可判断.【详解】由选项A. ，不一定成立，例如，满足，但，故A不正确.选项B. 不一定成立，例如,此时，此时，故B不正确.选项C. ，不一定成立，，满足，但此时，故C不正确.选项D. 由函数在上单调递增，当时，一定有成立，故D正确故选：D6．（2021·上海高三二模）已知实数､满足，有结论：①存在，，使得取到最大值；②存在，，使得取到最小值；正确的判断是（    ）A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立【答案】C【解析】由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．【详解】解：因为，所以，①，，，当且时取等号，所以，解得，即取到最大值2；①正确；②，，当时，，当且仅当时取等号，此时不符合，不满足题意；当时，，当且仅当时取等号，此时此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C.7．（2021·全国高三月考（文））已知正实数，，满足，，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，结合，是正实数可得的范围，将代入，分离，再利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为，所以，因为可得：，所以，即 ，因为，当时取得最小值，所以，所以的最大值为，故选：C.8．（2020·上海高一专题练习）已知函数满足，且，则与的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，由二次函数的性质分析可得、的值，则有，，由指数的性质分情况讨论的值，比较和的大小，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则有，即，又由，则，所以，，若，则有，而在上为减函数，此时有，若，则有，此时有，若，则有，而在上为增函数，此时有，综合可得，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·福建高三三模）已知，，且，则可能取的值有（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】BCD【解析】由题意可知，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可得答案【详解】解：因为，，且，所以，当且仅当，即取等号，故选：BCD10．（2021·湖南高三三模）已知，则下列各式一定成立的是（    ）A． B．C． D．（）【答案】BD【解析】由已知结合对数的运算性质及基本不等式，不等式的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：因为，所以，，，所以，错误；，正确；取，，，错误；，所以，正确．故选：．11．（2021·福建漳州市·高一期末）已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（     ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，分析即在区间上单调，利用二次函数的单调区间判断.【详解】二次函数图象的对称轴为直线，∵任意且，都有，即在区间上是单调函数，∴或，∴或，即实数的取值范围为.故选：AD12．（2021·江苏高三其他模拟）当，时，下列不等式中恒成立的有（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】利用基本不等式变形，判断ABC选项，选项D首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断.【详解】对于A，当且仅当时取等号，正确.对于B，，当且仅当时取等号，正确.对于C，，当且仅当时取等号，错误.对于D，，当且仅当时取等号，正确.故选：ABD第II卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·高邮市临泽中学高一开学考试）已知b克盐水中含有克盐，若给盐水加热，蒸发了克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.【答案】【解析】由已知可得原来盐占盐水的比例，再求出蒸发了克水后，盐占盐水的比例，可得不等式．【详解】原来盐占盐水的比例为，给盐水加热，蒸发了克水后，盐占盐水的比例为，则14．（2021·浙江高一期末）若正数x，y满足，则的最小值是__________．【答案】5【解析】先由条件得，再利用1的代换以及基本不等式求最值.【详解】由条件，两边同时除以，得到，那么等号成立的条件是，即，即.所以的最小值是5，故答案为： 5 ．15．（2021·北京高一期末）设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可.【详解】由知，，，故，得，故①正确；取，满足，但，不满足，故②错误；由指数函数单调递增可知，，则，故③正确；由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确.故答案为：①③④.16．（2021·浙江高三专题练习）已知函数，若时，，则的最大值是___________.【答案】【解析】根据函数，分，和三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，因为，可得，所以，所以；当时，，因为，可得，所以，所以；当时，，由知，，因为，所以，所以，所以，综上可得，的最大值是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2020·全国高一课时练习）某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P＝ (t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？【答案】销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．【解析】先化简函数解析式，再求出各段的最大值，比较得出函数的最大值．【详解】设日销售金额为元，则，即，当时，，时有最大值900；当时，是减函数，时有最大值1125.综上所述，时有最大值1125，所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.18．（2021·安徽高三二模（理））已知函数．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）分类讨论的方式，求绝对值不等式的解集即可.（Ⅱ）由题设，讨论、情况下，由参变分离变形为形式且恒成立，即可求的范围.【详解】（Ⅰ）由，得：或或，∴解得或或，故不等式的解集为．（Ⅱ）由题意知，当时，恒成立．若，则，可得；若，则，可得．综上，实数的取值范围是．19．（2021·山西临汾市·高三二模（文））已知a，b为正实数，且满足．证明：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由基本不等式直接证明；（2）用“1”的代换，凑配成积的定值，再由基本不等式证明．【详解】（1）因为，所以（当且仅当取等号）；（2）（当且仅当，即时等号成立），所以．20．（2021·贵溪市实验中学高三一模）已知二次函数的最小值为3，且.（1）求的解析式；（2）若的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意设，代求出参数即可得出函数解析式；（2）原不等式等价于恒成立，将二次函数函数配成顶点坐标式求出最小值即可得出其范围.【详解】解：（1）因为二次函数中，所以对称轴为又二次函数的最小值为3，故可设所以所以（2）的图像恒在直线的上方等价于即恒成立因为所以，即实数的取值范围.21．（2021·全国高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．【详解】（1）依题意，又所以．（2）当时，，开口向上，对称轴为，在，上单调递减，在，上单调递增，在，上的最大值为．当时，，当且仅当时，即时等号成立．因为，所以当时，．答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．22．（2020·泰州市第二中学高一期中）已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）当时，函数在上为减函数，求实数的取值范围；（3）当时，是否存在实数，使得在闭区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.【解析】（1）分、两种情况解方程，即可得解；（2）化简函数在区间上的解析式，由已知条件可得出关于实数的不等式，进而可得出实数的取值范围；（3）根据题意，先由可得出，可得知，对任意的，，从而可得出函数在区间上的最大值为，然后对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.【详解】（1）当时，.当时，，令，可得，，方程无实根，此时，函数无零点；当时，，令，可得，，解得.综上所述，函数的零点为；（2）当且时，，由于函数在为减函数，则，解得.因此，实数的取值范围是；（3）存在实数，使得函数在闭区间上的最大值为.根据题意，.若函数在区间上的最大值为，则，即.当时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上的最大值为.故函数必在区间上取得最大值.①当时，即当时，函数在区间上为减函数，此时，，解得；②当时，即当时，，解得，不合乎题意.综上所述，.