高考数学一轮复习 专题4.2 应用导数研究函数的单调性（讲）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题4.2 应用导数研究函数的单调性新课程考试要求1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例4.5）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．【知识清单】1．利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．【考点分类剖析】考点一 ：判断或证明函数的单调性【典例1】（2020·辽宁高三期中）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；【规律方法】1．利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.【变式探究】1. （2020·全国高考真题（文））已知函数.（1）当时，讨论的单调性；2.已知函数，。（Ⅰ）若 ，求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性。【易错提醒】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．考点二 ：求函数的单调区间【典例3】（2021·安徽芜湖市·高三二模（文））已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数为定义域内的单调递增函数，求实数的取值范围．【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．【变式探究】（2020·金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________.考点三 ：利用函数的单调性研究函数图象【典例4】（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）A． B．C． D．【典例5】（2018·全国高考真题（理））函数的图像大致为 (　　)A． B．C． D．【规律方法】1.函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．函数的图象与函数的导数关系的判断方法(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．【变式探究】1.（2020·安徽金安�六安一中高三其他（文））已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是（    ）A． B．C． D．2.（2019·云南高考模拟（文））函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ）A． B． C． D．考点四 ：利用函数的单调性解不等式【典例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．【变式探究】（2020·山东奎文�潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（    ）A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞）考点五 ：利用函数的单调性比较大小【典例7】（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【总结提升】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．【变式探究】（2020·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（    ）A． B．C． D．考点六 ：利用函数的单调性求参数的范围（值）【典例8】（2020·全国高三其他模拟（文））若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【典例9】（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（文））设函数，．（1）求的单调区间；（2）设函数是单调递增函数，求实数的值．【总结提升】1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．注意检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．【变式探究】1.（2020·山东肥城高二期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是______；若函数在区间内不单调，则的取值范围是______.2．（2021·全国高三专题练习（理））设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.