高考数学一轮复习 专题4.4 导数的综合应用（练）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题4.4   导数的综合应用1．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）已知为自然对数的底数，，为实数，且不等式对任意恒成立，则当取最大值时，实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式对任意恒成立，化为不等式对任意恒成立，必然有．令，化为：．令，．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论．【详解】解：不等式对任意恒成立，则不等式对任意恒成立，则．令，则，化为：．令，．不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，令，则，可得：时，函数取得极大值即最大值，，满足题意．可以验证其他值不成立．故选：C．2．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数零点即方程的解，（），取对数得，此方程有两个解，引入函数，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【详解】显然，有两个零点，即方程，在上有两个解，两边取对数得到，令，，在单调递增，在单调递减，又当时，，当时，，因为有两个零点，则，解得.所以正数的取值范围是.故选：C．3．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数，，又当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根据求出，进而参变分离解决恒成立的问题即可.【详解】因为，所以，即，所以当时，恒成立，即，即，当时，恒成立，符合题意；当时，有，即，令，则，所以在上单调递增，而，所以，故选：A.4．（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（    ）A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}【答案】D【解析】利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出；结合题意得出在有且仅有1个解，计算的值即可.【详解】当时，则令，解得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，故在定义域上恒成立，由有且只有2个实数根，得方程有2个解，又，所以，则在有且仅有1个解，因为，则或，所以或，即实数的取值范围是，故选：D5．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））平行于轴的直线与函数的图像交于两点，则线段长度的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可.【详解】根据题意，画出的图象如下所示：令，，故可得，解得；，解得.故可得，，故，，故可得，恒成立，故是单调递增函数，且，关于在成立，在成立，故在单调递减，在单调递增，故.即的最小值为.故选：D6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】参变分离可得，研究函数，根据导函数以及，可得函数的极大值为，当，，所以，根据的最大值的范围即可得解.【详解】由，得，令，则，当时，，函数在，上单调递增，在上单调递减，故函数的极大值为，极小值为，且时，，所以，由，得，由恒成立，得，故选：D．7．【多选题】（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知函数，则下列结论中正确的是（    ）A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则B．曲线与直线相切C．若为增函数，则的取值范围为D．在上最多有个零点【答案】ACD【解析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.【详解】因为对于任意，都有，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.又，令，得(*)，因为，，所以方程(*)无实数解，即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.若为增函数，则大于等于0，即，，当且仅当时等号成立，所以，故C正确.令，得或().设，则，令，则.当时，，当时，，当时，，所以函数为增函数，且，所以当时，，从而，单调递增.又因为对于任意，都有，所以为偶函数，其图象关于轴对称.综上，在上单调递减，在上单调递增，则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.故选ACD.8．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））用总长m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，则该容器容积的最大值为________m3（不计损耗）．【答案】.【解析】设长方体的底面边长为，高为，由题可得，求出函数导数，判断单调性，即可求出最值.【详解】设长方体的底面边长为，高为，则由题可得，，则可得，则，则该容器容积，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，即该容器容积的最大值为.故答案为：.9．（2021·湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】        【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，根据已知条件可得出，根据柱体的体积公式可得，利用导数可求得的最大值及其对应的的值，即为所求.【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为.则由题意可得，所以.由，得.故容器的容积，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.，令，解得（舍）或.显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得最大值，此时，.故答案为：；.10．（2021·全国高三其他模拟）若函数只有一个零点，则实数的取值范围是 ________．【答案】或【解析】将函数的零点转化为方程的根，令，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案；【详解】，令，则，令，则在恒成立，在单调递减，且，，在单调递增，在单调递减，且，当时，， 如图所示，可得当或时，直线与有且仅有一个交点，故答案为：或1．（2021·全国高三其他模拟）若不等式恒成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，根据函数的单调性及最值可得，故，再构造，求得函数的最小值即可.【详解】由恒成立，得，设，，当时，，在上单调递减，不成立；当时，令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，，，设，，令，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选：C.2.（2021·北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.3．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．（1）求的值；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证，即，构造函数，，利用导数说明其单调性与最值，即可得到，从而得证；【详解】解：（1）因为，所以，，解得．（2）由（1）可得即证．令，，于是在上是减函数，在上是增函数，所以（取等号）．又令，则，于是在上是增函数，在上是减函数，所以（时取等号）．所以，即．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数.（1）若的图象在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）的条件下，证明：当时，；（3）当时，求的零点个数.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）有一个零点.【解析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）利用导数，得到在上单调递增，由，即可证明在上恒成立（3）由（2）可知当且时，，即在上没有零点，再根据，，得到， 对进行讨论，即可求解【详解】解：（1）因为的图象在点处的切线与直线平行，所以，因为，所以，解得.（2）由（1）得当时，，当时，因为，所以在上单调递增，因为，所以在上恒成立.（3）由（2）可知当且时，，即在上没有零点，当时，，令，，则单调递增，且，，所以在上存在唯一零点，记为，且时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，，因为，所以，所以在上存在唯一零点，且在上恒小于零，故时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，所以在上至多有一个零点，取，则有，所以由零点存在定理可知在上只有一个零点，又f(0)不为0，所以在上只有一个零点.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）或.【解析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得的取值范围.【详解】（1），当时，由或，所以在，单调递增，由，所以在单调递减；当时，由或，所以在，单调递增，由，所以在单调递减；当时，在单调递增.（2），，由（1）知当时，在处，有极大值，且，此时函数有一个零点；当时，在单调递增，且，此时函数有一个零点；当时，，单调递增，单调递减，在处，有极小值，在处，有极大值，则当，或时函数有一个零点，有或.综上：或.6．（2021·河北高三其他模拟）已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，讨论零点的个数.【答案】（1）证明过程见解答；（2）当时，有两个零点，当时，有一个零点．【解析】（1）将代入，对求导，得到其单调性，判断其最值，即可得证；（2）令，则即为，显然，进一步转化为，令，利用导数作出的大致图象，进而图象判断方程解的情况，进而得到函数零点情况．【详解】（1）证明：当时，，则，当时，，单增，当时，，单减，（1），即得证；（2）令，则即为，当，即时，该方程不成立，故不是的零点；接下来讨论时的情况，当时，方程可化为，令，则，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，当时，，单增，当时，，单减，且当时，，，当时，，当时，，函数的大致图象如下：由图象可知，当，即时，只有一个解，则有一个零点，当，即时，有两个解，则有两个零点．综上，当时，有两个零点，当时，有一个零点．7．（2021·重庆市育才中学高三二模）已知函数，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）作差，设，利用导数求出的最小值为，只需；设，利用导数求出，解出；（2）利用把原不等式转化为证明，即证：，设，利用导数求出最小值，即可证明.【详解】（1）设，，当时，，单增，当，不满足恒成立当，在单减，在单增，所以的最小值为，即，即设，，所以在单减，在单增，即，故的解只有，综上（2）先证当时，恒成立.令，求导，所以在上单调递增，，所以所以要证，即证，即证，即证：，设，求导，所以在上单调递减，所以，即原不等式成立.所以当时，如成立.8.（2021·全国高三其他模拟）已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数存在极大值，证明：.【答案】（1）当时，单调递增；当时，单调递减；（2）证明见解析．【解析】（1）将代入函数，并求导即可分析单调性；（2）求导函数，讨论当，与时分析单调性，并判断是否有极大值，再求解极大值，即可证明．【详解】（1）的定义域是当时，，， 令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；（2），令，则，由的定义域是，易得， 当时，由（1）知，在处取得极大值，所以. 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，，所以，故没有极值. 当时，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，， 又，，且，所以存在唯一，使得， 当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减.所以当时，取得极大值，所以， 所以. 令，则，设，，则，所以在上单调递减，所以，所以.综上，若函数存在极大值，则．9．（2021·重庆高三二模）已知函数在处取得极值．（1）若对恒成立，求实数的取值范围；（2）设，记函数在上的最大值为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由条件求出，然后由可得，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；（2），令，然后可得存在使得，即，即，然后可得，然后判断出函数的单调性即可.【详解】（1）∵，，∴，由已知，即，即对恒成立，令，则，易得在上单调递减，在上单调递增，∴，即．（2），则．当时，，令，则，所以在上单调递增．∵，，∴存在使得，即，即．∴当时，，此时；当时，，此时；即在上单调递增，在上单调递减，则．令，，则，∴在上单调递增，则，，∴．∴．10．（2021·江苏南通市·高三一模）已知函数，.（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求函数的导数，分类讨论，解不等式即可求解；（2）根据极值点可转化为，是方程的两个不相等的正实数根，可得且，要证，只要证，利用构造函数的单调性证明即可.【详解】（1）由题意得().令，则.①当，即时，在上恒成立，即的增区间为；②当，即时，或，即的增区间为和.综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为和.（2）因为()，有两个极值点，，所以，是方程的两个不相等的正实数根，可求出从而，，解得.由得.因为，所以且.令，且，则，所以当时，，从而单调递增；当时，，从而单调递减，于是().要证，只要证，只要证明.因为，所以只要证.令则.因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以，即.1．（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.2.（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．【答案】1；证明见详解【解析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）由（1）得，，且，当 时，要证，， ，即证，化简得；同理，当时，要证，， ，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，假设能取到，则，故；当时，，单增，假设能取到，则，故；综上所述，在恒成立3．（2021·全国高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，则，先证明一个不等式：.设，则，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，.4.（2020·山东海南省高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时， ，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴,，∴a的取值范围是[1,+∞).5．（2020·浙江省高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.【解析】（I）在上单调递增，，所以由零点存在定理得在上有唯一零点；（II）（i），，令一方面： ，在单调递增，，，另一方面：，所以当时，成立，因此只需证明当时，因为当时，，当时，，所以，在单调递减，，，综上，.（ii），，，，因为，所以，，只需证明，即只需证明，令，则，，即成立，因此.6.（2019·全国高考真题（理））已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；（2）因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.