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    高考数学一轮复习 专题5.4 三角恒等变换(讲)

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    这是一份高考数学一轮复习 专题5.4 三角恒等变换(讲),文件包含专题54三角恒等变换讲教师版docx、专题54三角恒等变换讲学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共24页, 欢迎下载使用。
    高考数学一轮复习策略1揣摩例题。课本上和老师讲解的例题,一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究,深刻理解,要透过“样板”,学会通过逻辑思维,灵活运用所学知识去分析问题和解决问题,特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法,并能总结出解题的规律。2精练习题复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。3加强审题的规范性每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。4重视错题“错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。 专题5.4   三角恒等变换新课程考试要求1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.核心素养本节涉及所有的数学核心素养:逻辑推理(多例)、直观想象(多例)、数学运算(多例)、数据分析等.高考预测1和(差)角公式:结合拆角、配角方法,将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合,考查三角函数式的化简求值或求角问题2)二倍角公式与同角公式综合考查,重点解决三角函数求值问题;3)和差倍半的三角函数公式的综合应用.4对于三角恒等变换,高考命题主要以公式的基本运用(正用、逆用、变用)、计算为主,其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.【知识清单】知识点1两角和与差的三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(αβ)cos(αβ)cosαcosβsinαsinβC(αβ)cos(αβ)cosαcos_βsin_αsinβS(αβ)sin(αβ)sinαcosβcosαsinβS(αβ)sin(αβ)sin_αcos_βcosαsinβT(αβ)tan(αβ)T(αβ)tan(αβ).(2)变形公式:tan α±tan βtan(α±β)(1tanαtanβ).3辅助角公式一般地,函数f(α)asin αbcos α(ab为常数)可以化为f(α)sin(αφ)f(α)cos(αφ) .知识点2.二倍角公式(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式:S2αsin 2α2sin_αcos_αC2αcos 2αcos2αsin2α2cos2α112sin2αT2αtan 2α.(2)变形公式:cos2αsin2α1sin 2α(sin αcos α)2,1sin 2α(sin αcos α)2考点分类剖析考点一  两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例12021·全国高三其他模拟)已知点为坐标原点,线段绕原点逆时针旋转,到达线段,则点的坐标为(    A  B C  D 【答案】D【解析】根据三角函数的定义确定出终边经过点的三角函数值,然后根据位置关系判断出的终边经过,结合两角和的正、余公式求解出的坐标.【详解】的坐标可知在单位圆上,设的终边经过点,所以又因为绕原点逆时针旋转得到,所以的终边经过点也在单位圆上,所以又因为所以故选:D.【典例22020·山东聊城高一期末)的终边与单位圆的交点坐标为,将的终边绕原点顺时针旋转,得到角,则    A B C D【答案】A【解析】由角的终边经过点,得因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的,所以故选:.【典例3】【多选题】2020·广东高一期末)已知函数fx)=sinωx+)﹣cosωx+)(0ω6)的图象关于直线x1对称,则满足条件的ω的值为(    A B C D【答案】BC【解析】因为因为,所以由题意可得,得因为,所以.故选:BC.规律方法1.三角函数求值的两种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.2.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.(2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(3)使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.3.给值求角问题,解题的一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小;(2)根据(1)所得范围来确定求tanαsinαcosα中哪一个的值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.【变式探究】1.(2019·北京高考模拟(文))如图,在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,终边分别是射线OA和射线OB.射线OA,OC与单位圆的交点分别为.若,则的值是(    )A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意,有:.故答案为:C.2.2020·湖南娄星娄底一中高一期末)已知为锐角,且,则    A B C D【答案】B【解析】cosαα为锐角),α为锐角,sinαsinαsin[α]sinαcoscosαsin故选B3.(2019·河南鹤壁高中高考模拟(文))平面直角坐标系中,点是单位圆在第一象限内的点,,若,则为_____.【答案】【解析】由题意知:,由,得 ,故答案为:.【总结提升】(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.高频考点  两角和与差的正切公式的应用【典例4】2021·安徽高三其他模拟(文))已知为锐角,,则    A B C D【答案】C【解析】由已知求出,再利用差的正切公式可求.【详解】因为为锐角,所以.所以.故选:C.【典例5】2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟)已知为锐角,,则    A B C D【答案】A【解析】由正切的二倍角公式求得,再由可求.【详解】因为所以.故选:A.【规律方法】1.运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练,准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanαtan βtan(αβ)·(1tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.2.应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.提醒:在T(αβ)T(αβ)中,αβα±β都不等于kπ(kZ),即保证tan αtan βtan(αβ)都有意义;若αβ中有一角是kπ(kZ),可利用诱导公式化简.【变式探究】1. (2018年全国卷II文)已知,则__________.【答案】.【解析】解方程得.2. 2021·广东高三其他模拟)我国古代数学家僧一行应用九服晷影算法在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积,即.若对同一表高两次测量,晷影长分别是表高2倍和3(所成角记),则___________.【答案】【解析】根据题意得到,结合两角差的正切公式,即可求解.【详解】由题意,晷影长分别是表高2倍和3倍,可得所以.故答案为:.【总结提升】1.“1”的代换:在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1tan45°来代换,以达到化简求值的目的.2.若αβkπkZ,则有(1tanα)(1tanβ)23.若化简的式子里出现了“tanα±tanβ“tanαtanβ两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.考点  二倍(半)角公式的应用【典例6】2021·全国高考真题(文))若,则    A B C D【答案】A【解析】由二倍角公式可得,再结合已知可求得,利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】,解得.故选:A.【典例72020·浙江高一期末)已知,若,则____.【答案】7        【解析】因为,若故可得sincos.tan.故答案为:7.【典例8】(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________.【答案】【解析】时,故函数的最小值为【总结提升】1.转化思想是实施三角变换的主导思想,恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化.注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)注意特殊角的应用,当式子中出现,1,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.2.已知θ的某个三角函数值,求的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可【变式探究】1.2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模)已知,且1)求角的大小;2,给出的一个合适的数值使得函数的值域为【答案】(1;(2的值可取【解析】1)根据,结合,可得,再根据求解;2)由,根据值域为,结合正弦函数的性质求解.【详解】1)因为所以,所以可得,可得,所以2时,时,所以由题意可得,可得所以即可,的值可取2.2020·河南林州一中高一月考)已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)2【解析】)由题意得:原式 =【特别提醒】1.倍角的含义:对于二倍角应该有广义的理解,如2αα的二倍角,4α2α的二倍角,8α4α的二倍角,α的二倍角……这里的蓄含着换元思想.这就是说,是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的.2.公式的适用条件:S2αC2α中,αR,在T2α中,ααkπ(kZ),当αkπ(kZ)时,tanα不存在,求tan2α的值可采用诱导公式.考点四  简单的三角恒等变换---化简与证明
    【典例92021·重庆一中高三其他模拟)已知,则______【答案】【解析】注意综合已知条件,进一步缩小的范围,以及的范围,利用同角三角函数关系和二倍角公式正确求出, 的值,由,利用两角差的正弦公式计算.【详解】,又,,又,故答案为:.【典例10求证:.【答案】见解析【解析】左边                           =右边.故原式得证.总结提升1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次,去掉根号.2.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的变换,从而正确使用公式.(2)二看“名”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”或“弦化切”.(3)三看“形”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等.3.三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相当于解决化简题目.(2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子.(3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的式子成立.提醒:开平方时正负号的选取易出现错误,所以要根据已知和未知的角之间的关系,恰当地把角拆分,根据角的范围确定三角函数的符号.【变式探究】1.(2021·全国高三其他模拟(理))若,则    A B C D【答案】C【解析】根据正切三角函数值,求得二倍角的三角函数值,由正弦的两角和公式求得结果.【详解】知,,或知,,或故选:C2.2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研)已知满足的最大值为______.【答案】.【解析】化为 的最大值为故答案为.【总结提升】将三角函数yf(x)化为f(x)Asin(ωxφ)m的步骤(1)sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x,对sin2xcos2x运用降幂公式,sin(x±α)cos(x±α)运用两角和与差的公式展开.(2)(1)中得到的式子利用asinαbcosα·sin(αφ)化为f(x)Asin(ωxφ)m的形式. 

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