高考数学一轮复习 专题6.1 平面向量的概念及其运算（讲）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题6.1   平面向量的概念及其运算新课程考试要求1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.4.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等； （2）考查单位向量较多.（3）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； （4）常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【知识清单】知识点1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则  二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.知识点3．共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.知识点4．两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.知识点5．平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．知识点6．数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．知识点7．向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.【考点分类剖析】考点一  向量的有关概念【典例1】（2020·山东高三专题练习）给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（    ）A．②③ B．①② C．③④ D．②④【答案】A【解析】对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若,，则；显然正确，故③正确；对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确,故选：A【典例2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（    ）A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等【答案】D【解析】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.【易错提醒】1．有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．【变式探究】1. （2020·福建福州市·文博中学高一期末）下列命题中正确的是（　　）A．若，则 B．若，则是平行四边形C．若，，则 D．若，，则【答案】D【解析】利用向量相等可判断AD选项的正误，取、、、四点共线可判断B选项的正误，取可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，若，但、方向不相同时，，A选项错误；对于B选项，若、、、四点共线且，则、、、无法构成四边形，B选项错误；对于C选项，取，虽然有，，但、不一定平行，C选项错误；对于D选项，若，，则，D选项正确.故选：D.2. 设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　 B．1C．2   D．3【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【总结提升】(1)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．（4）几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．考点二  平面向量的线性运算【典例3】（2020·海南高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C【典例4】（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴.故选： D.【规律方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式探究】1. （2018年新课标I卷理）在△中，为边上的中线，为的中点，则（     ）A．     B． C．     D． 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.2.（2019·广东高考模拟（理））已知，，三点不共线，且点满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】已知，，三点不共线，且点满足，所以= +=） （）+=，所以 ,故选：A【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．考点三  利用向量线性运算求参数【典例5】（2020·西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中（文））设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（    ）A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝【答案】D【解析】根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，可得，解方程组即可求解.【详解】由共线向量定理可知存在实数λ，使，即，又与是不共线向量，∴，解得故选：D【典例6】（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，则=            .【答案】.【解析】由题作图如图所示，∵，∴，∴，∴，∴.故答案为：.【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．【变式探究】1.（2019·山东高考模拟（文））在正方形中，为的中点，若，则的值为（  ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题得,.故选：B2.（2020·全国高一课时练习）已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________.【答案】        【解析】因为向量不共线，所以向量均不为零向量，解得故答案为：；考点四  共线向量及其应用
【典例7】（2020·全国高一课时练习）设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.【答案】【解析】求出，利用三点共线，得到，求出λ和k.【详解】由题意，，又，且A、B、D三点共线，由共线向量定理得，存在实数使得成立，即，则，解得.故答案为：.【典例8】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．【答案】【解析】由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用2.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．【变式探究】1.（2020·全国高二课时练习）若，与的方向相反，且，则＝________.【答案】【解析】直接利用向量共线进行计算即可.【详解】∵，且与的方向相反，所以＝.故答案为：.2.（2020·上海高三专题练习）设是不共线的两个向量,已知，，若A、B、D三点共线,求k的值.【答案】k=－1【解析】由A、B、C三点共线，存在实数，使得∵ ∴ 故又a,b不共线∴ =1，k=－1【总结提升】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．考点五  平面向量数量积的运算【典例9】（2020·海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【典例10】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为A．    B．C．    D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【规律方法】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知向量，满足，，则（    ）A．4    B．3    C．2    D．0【答案】B【解析】因为所以选B.2.（2020届浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四边形中，，点，分别是边，的中点，且，若，则______.【答案】【解析】取BD的中点O，连接OM，ON，
可得，
平方可得，
即有，，即有，
解得，
所以，
故答案为：−2.【总结提升】②     知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．考点六  平面向量的夹角问题【典例11】（2020·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D.【典例12】（2019·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.【答案】.【解析】因为，，所以，，所以，所以 ．【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝.提醒：〈a，b〉∈[0，π]．【变式探究】1.（2020·陕西西安市·西安一中高三月考（文））若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】把已知等式两边平方，得到、的关系及，然后利用向量的数量积公式求出量与的夹角．【详解】解：，，，，，设与的夹角为，．，，．故选：D．2．（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）已知，是不共线的两个向量，若对任意的，的最小值为1，的最小值为1，若，则，所成角的余弦值为______.【答案】【解析】因为,所以当时，即，因为，所以当时，，即，所以，所以.故答案为：考点七  平面向量的模的问题
【典例13】（2021·全国高考真题（文））若向量满足，则_________.【答案】【解析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.【典例14】（2019·浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.【答案】0        【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，要使的最小，只需要，此时只需要取此时 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正.比如则.【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．【变式探究】1．（2020·浙江高三）已知，则的取值范围是（　　）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]【答案】D【解析】设，则，，∴（）2•2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又 则[0，2]．故选：D．2．（2020·全国高二课时练习）已知 ，则____________．【答案】【解析】根据和向量数量积运算可得答案．【详解】解： ，所以．故答案为：．考点八  平面向量垂直的条件
【典例15】（2020·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）A． B． C．  D．【答案】D【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【典例16】（2020·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．【总结提升】平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【变式探究】1．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知条件可得出，由已知条件可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.【详解】因为，则，所以，，因为，则，解得.故选：A.2．（2020·全国高二课时练习）已知，则λ＝________．【答案】－【解析】由向量垂直的数量积表示和向量数量积的定义计算可得答案．【详解】解：由，得，所以，所以，即4λ＋6＝0，所以λ＝－．故答案为：－．