高考数学一轮复习 专题7.3 等比数列及其前n项和（讲）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题7.3   等比数列及其前n项和新课程考试要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；2.了解等比数列与指数函数的关系.3.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用；4.会用数列的等比关系解决实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.考向预测1．利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；2．等比数列的性质及应用. 3．更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．4.复习中注意:（1）与等差数列及其它知识的综合问题；（2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.【知识清单】知识点一．等比数列的有关概念1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4. 等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．知识点二．等比数列的前n项和一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.（4）若已知首项和末项，则；若等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.知识点三．等比数列的相关性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，  如：，，，，……；，，，，……；（3）在等比数列中，对任意，，； （4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.如下图所示：.（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．4. 等差数列和等比数列比较 等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔ 为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数, )⇔ 为等差数列；(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： ()⇔ 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4) 为等差数列⇔(总有意义)为等比数列性质(1)若，，，，且，则(2) (3) ，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2) (3)等比数列依次每项和()，即 ，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.【考点分类剖析】考点一 ：等比数列的基本运算【典例1】（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（    ）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【典例2】（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．【总结提升】1.求解等比数列的基本量要用好方程的思想：等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想解决问题.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.【变式探究】1.（2017全国卷3理）设等比数列满足， ，则 ___________．【答案】【解析】因为为等比数列，设公比为．，即，显然，，得，即，代入式可得，所以．2.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若，，则q＝______________．【答案】【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)考点二  等比数列的判定与证明【典例3】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）数列的前项和为，已知，，则___．【答案】【解析】由给定条件借助消去，求出即可得解.【详解】因，，而，则，于是得，又，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而有，即，，时，，而满足上式，所以，.故答案为：【典例4】（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知数列{an}满足，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由递推公式结合等比数列的定义证明即可；（2）累加法求数列的通项公式.【详解】（1）因为，所以，又因为，则，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）知：则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，，，，则，即，所以.【规律方法】等比数列的判定方法(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；(3)通项公式法　 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．【变式探究】1.（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））设数列的前n项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式________．【答案】【解析】根据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必然为0，进而得到数列的和与项的关系式，利用作差法消和得到项的递推关系，结合首项的求解结果，可以判定此数列是等比数列，然后写出通项公式即可.【详解】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则公共点则成对出现），即,取得,s所以,当时得到,,即,∴数列为首项为1，公比为2的等比数列，∴,故答案为：.2.（2018·全国高考真题（文））已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．(2) {bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.(3) an=n·2n-1．【解析】（1）由条件可得an+1=．将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．从而b1=1，b2=2，b3=4．（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．考点三  等比数列的性质及应用【典例5】（2020·全国高三二模（理））已知数列是等比数列，若，则（    ）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值【答案】C【解析】分析：根据等比中项的性质得，，，代入构造基本不等式的形式，运用基本不等式求得最值.详解：设等比数列的公比，∵，∴，∴，∴，，∴，当且仅当，即时，取等号，故选：C.【典例6】（2021·全国高三其他模拟（文））等比数列中，，，则的前12项和为（    ）A．90 B．60 C．45 D．32【答案】C【解析】根据等比数列的性质求得公比，然后再计算和．【详解】设数列的公比为，则，所以，同理，所以．故选：C．【总结提升】1.等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．2.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．3.在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．【变式探究】1．（2020·山西太原�高一期末）在等比数列中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比中项的性质可得，解得，因此，.故选：B.2．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）等比数列中，，，则___________.【答案】【解析】根据等比数列的性质可得，结合即可.【详解】由题意知，设等比数列的公比为，则 所以，得，所以，故答案为：-6【温馨提醒】应用等比数列性质解题时的两个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)．考点四  等比数列的前n项和公式的综合应用【典例7】（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）计算得到，得到答案.（2），得到数列通项公式.（3）根据分组求和法计算得到答案.【详解】（1）由，得，∴，又，∴是首项为3，公比为3的等比数列.    （2），∴.（3）.【典例8】（2021·福建高三三模）在①，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.已知数列的前项和为，___________，数列满足，求数列的前项和.【答案】答案见解析【解析】选①，运用数列的递推式和等比数列的定义､通项公式和求和公式，计算可得所求和；选②，解法一：运用数列恒等式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和；解法二：由数列是常数列，可得，，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和；选③，由数列的递推式和等比数列的求和公式，可得所求和.【详解】选条件①，由，两式相减得：，所以，又，得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.因此，所以.选条件②，，解法一：由，，得，，当时，，所以，又也符合，所以.因此，所以.解法二：由，得，所以数列是常数列，所以，所以.因此，所以.选条件③，时，，又，显然不符合上式，所以，则，当时，，又，符合，所以.【规律方法】1.等比数列前n项和Sn相关的结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)．2.等比数列最值有关问题的解题思路求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．【变式探究】1.（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末）已知数列满足递推公式.设为数列的前项和，则__________，的最小值是__________.【答案】；        【解析】因为，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以；所以，所以，由对勾函数的性质可得，当时，，；当时，，所以单调递增，当时，；所以的最小值是.故答案为：；.2. （2021·全国高三其他模拟）已知数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项的和．【答案】（1）；（2）.【解析】根据已知递推关系，利用数列的和与项的一般关系当时，求得，当时，利用求得的递推关系，进而可判定数列为等比数列，求得其通项公式，利用三角函数的周期性求得的通项与的周期性关系，判定其中的非零项是首项为，公比为的等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得.【详解】（1）当时，,解得：,当时，,即,∴数列为等比数列，首项和公比都是,∴；（2）,(),∴是首项为，公比为的等比数列，共有50项，∴.考点五  等比数列与传统文化【典例9】（2021·黑龙江高三其他模拟（理））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】求得，利用等比数列的求和公式可求得，利用分组求和法可求得，由已知条件可得出关于的不等式，即可得解.【详解】，则，故数列是公比为的等比数列，则，所以，，由可得，，所以，即.故选：B.【典例10】（2020·浙江杭州�高三二模）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.【答案】        【解析】记第天后剩余木棍的长度，则是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，由得，所以的最小值为.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是尺，要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过次截取.故答案为：；.【变式探究】1．（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(    )A．1盏    B．3盏C．5盏    D．9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：B．2．（2020·安徽黄山�高一期末）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为，首项为，前项和为，由题意可得，解得，所以第二天织的布为.故选B