高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题7.6   数学归纳法

【知识清单】

知识点一．数学归纳法

1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)

时命题成立．

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

2.数学归纳法的框图表示

【考点分类剖析】

考点一  利用数学归纳法证明不等式

【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.

（1）求数列、的通项公式；

（2）数列满足：，，证明

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；

（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.

【详解】

（1）由，是，的等差中项，

可得，即，即，解得或，

又因为，所以，

又由，所以，

因为数列的前项和为，

当时，，

当时，，

当时，满足上式，

所以，所以.

（2）先用数学归纳法证明当，，

①当时，，左式>右式，不等式成立；

②假设时，不等式成立，即，

当时，，因为在上单调递增，

由，得，即，

可得，不等式也成立.

由①②得证当，，

所以.

【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列满足.

(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；

(2)求证:.

【答案】(1) ;猜想;(2)证明见解析

【解析】

(1)

猜想

(2)

所以

(2)方法二用数学归纳法证明:

(1)当时，左边，右边，

左边右边，不等式成立；

(2)假设时，不等式成立，即，

那么当时，只要证明成立，

只要证明

即证

只要证明

即证，即证

只要证明，显然成立，

所以时不等式也成立.

综合(1)(2)可得对一切的不等式均成立.

【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数，，对于任意的，都有.

（1）求的取值范围

（2）若，证明：()

（3）在（2）的条件下，证明：

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据函数的表达式，再结合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整数，所以；

（2）先用导数进行研究，可到函数在区间上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明()；

（3）由，解得，变形得，又，所以，，则在上递增，再通过放缩得，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.

【详解】

（1）由题得，

恒成立

，故：

（2）

当时，

函数在(1，)上是单调递增函数.

下面用数学归纳法证明：

①当时，由得成立.

②假设当时，结论成立.即：

那么当时

这表明当时不等式也成立，综合①②可知：当，时成立

（3）且

令，则在上递增

由（2）知：

又

左边

【总结提升】

数学归纳法证明不等式的适用范围及关键

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化

【变式探究】

1. （2021·浙江高三专题练习）已知数列满足：，

证明：当时，

（I）；

（II）；

（III）.

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（I）用数学归纳法可证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证；

（Ⅲ）由及，递推可得.

【详解】

（Ⅰ）用数学归纳法证明：．

当时，．

假设时，，那么时，若，

则，矛盾，故．

因此，所以，因此．

（Ⅱ）由得，

．

记函数，

，

函数在上单调递增，所以，

因此，故．

（Ⅲ）因为，所以，

由，得，

所以，故．

综上，．

2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：，.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由是，的等差中项得

，

所以，

解得，

由，得，

解得或，

因为，所以.

所以，.

（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得，.

，

.

法2：

由（Ⅰ）可得，.

我们用数学归纳法证明.

（1）当时，，不等式成立；

（2）假设（）时不等式成立，即

.

那么，当时，

，

即当时不等式也成立.

根据（1）和（2），不等式，对任意成立.

3. （2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．

（1）求通项公式；

（2）求证：（）；

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）记为的公差，则对任意，，

即为等比数列，公比.

由，，成等比数列，得，

即，解得，即.

所以，即；

（2）由（1），即证：.

下面用数学归纳法证明上述不等式.

①当时，不等式显然成立；

②假设当时，不等式成立，即，

则当时，.

因，

故.

于是，

即当时，不等式仍成立.

综合①②，得.

所以

考点二  归纳、猜想、证明

【典例4】（2021·全国高三专题练习）设数列满足，．

（1）计算、，猜想的通项公式并加以证明；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1），，猜想，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）计算得出，，猜想，然后利用数学归纳法可证明出猜想成立；

（2）计算得出，然后利用错位相减法可求得.

【详解】

（1）已知数列满足，，则，，

猜想，下面利用数学归纳法加以证明：

当、、时，猜想成立；

假设当时，猜想成立，即，

则当时，，

这说明当时，猜想也成立，

由上可知，对任意的，；

（2），

则，

可得，

上式下式可得

，

因此，.

【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数，设为的导数，．

（1）求，； 

（2）猜想的表达式，并证明你的结论．

【答案】,；

，证明见解析

【解析】

对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;

根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.

【详解】

（1）

，其中，

[

，其中， 

（2）猜想，               

下面用数学归纳法证明：

①当时，成立，

②假设时，猜想成立

即

当时，

当时，猜想成立

由①②对成立

【总结提升】

(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤

①计算(根据条件，计算若干项)．

②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．

③证明(用数学归纳法证明)．

(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略

①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．

②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．

【变式探究】

1.（2019·浙江高二期末）数列的前项和为，且满足．

(Ⅰ)求，，，的值；

(Ⅱ)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）当时，∵，∴，

又，∴，

同理，；

（Ⅱ）猜想

下面用数学归纳法证明这个结论.

①当时，结论成立.

②假设时结论成立，即，

当时，，

∴，∴

即当时结论成立.

由①②知对任意的正整数n都成立.

2.给出下列不等式：

，

，

，

，

，……

（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：

，

……猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，

所以，不等式的一般结论为：.

（2）证明：①当时显然成立；

②假设时结论成立，即：成立

当时，

即当时结论也成立.由①②可知对任意，结论都成立.

考点三  利用数学归纳法证明等式

【典例6】已知a，b，c，使等式N+都成立，

（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

 (1):假设存在符合题意的常数a，b，c，

在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2

=（an2+bn+c）中，

令n=1，得4=（a+b+c）①

令n=2，得22=（4a+2b+c）②

令n=3，得70=9a+3b+c③

由①②③解得a=3，b=11，c=10，

于是，对于n=1，2，3都有

1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．

(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．

（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．

（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，

即1•22+2•32+…+k（k+1）2

=（3k2+11k+10），

那么当n=k+1时，

1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2

=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

=（3k2+5k+12k+24）

=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，

由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．

综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．

【典例7】 证明：＋＋…＋＝．(n∈N*)

【答案】见解析

【解析】

【思路分析】第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n＝k(k∈N*)时命题成立，即

＋＋…＋＝成立，并以此作为条件来推证等式＋＋…＋＋＝成立．

【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有

＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，

＋＋…＋＋

＝＋＝

＝＝＝．

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．

【总结提升】

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．

【变式探究】

1. 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．

【答案】见解析

【解析】[错解]　(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．

(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2(2k－1)．

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．

[辨析]　错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．

[正解]　(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；

(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，

那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)．

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．

2.（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数，满足，且．

（1）求证：；

（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）因为，整理得，

由，代入得，，

所以．

（2）由，，可得．   

以下用数学归纳法证明

存在实数，，使成立．

① 当时，显然成立．   

② 当时，假设存在，使得成立，

那么，当时，

，

即当时，存在，使得成立．

由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数n恒成立．

【易错提醒】

在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．