高考数学一轮复习 专题7.7 《数列与数学归纳法》单元测试卷

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题7.7   《数列与数学归纳法》单元测试卷考试时间：120分钟     满分：150注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019·贵州高二学业考试）在正项等比数列中，，则 （    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】根据等比中项求解即可.【详解】解：因为正项等比数列中，，所以，.故选：C2．（2021·北京人大附中高二期末）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（    ）A．421 B．451 C．439 D．935【答案】D【解析】根据题意求出前四个月的共享单车投放量，减去前四个月的损失量，即为第四个月底的共享单车的保有量.【详解】由题意可得该地第4个月底的共享单车的保有量为故选：D.3．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）设等差数列的前项和为，若，则=（    ）A．21 B．15 C．13 D．11【答案】A【解析】利用等差数列的前n项和的性质求解.【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列，所以，因为，所以，解得，故选：A4．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（    ）A．7 B．8 C．9 D．8或9【答案】D【解析】根据求得，结合，判断数列单减，从而判断取得最大值时，的值.【详解】由题知，，则，等差数列的公差d满足，数列单减，且，，则当取得最大值时，的值为8或9故选：D5．（2021·全国高二课时练习）记数列的前n项和为，，则（    ）A．  B． C． D．【答案】A【解析】根据与的关系式证明数列为等比数列，从而求.【详解】依题意，当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1；当时，由得，两式相减，得，即，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，.故选：A.6．（2021·全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn，a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8=（    ）A．56 B．72 C．88 D．40【答案】B【解析】根据a1，a3，a9成等比数列，得到=a1a9，再根据a1=2，求得公差即可.【详解】因为a1，a3，a9成等比数列，所以=a1a9，又a1=2，所以(a1+2d)2=a1(a1+8d)，解得d=2或d=0(舍)，故an=2+(n-1)×2=2n，所以S8==4(2+2×8)=72.故答案为：B7．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（    ）A． B． C．5 D．6【答案】D【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出．【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故．故选：D．8．（2021·河南高二月考（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根据题意，归纳出数列的通项公式，结合裂项相消法即可求解.【详解】当时，，，，所以的取值为0，所以，所以；当时．，若时，，故，若时，，，故，所以，所以；当时，，若时，，故；若时． ，故；若时，，故，5，所以，所以；当时，，若时，故；若时，，故；若时，，故，5，若时．，故，10，11，所以．所以；以此类推，可以归纳，得，所以，所以 ，所以．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·全国高二专题练习）已知是的前项和，，，则下列选项错误的是（    ）A． B．C． D．是以为周期的周期数列【答案】AC【解析】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.【详解】因为，，则，，，以此类推可知，对任意的，，D选项正确；，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误.故选：AC.10．（2021·湖北高二期中）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（    ）A．为等比数列 B．为等差数列C．为等比数列 D．若，则【答案】AD【解析】A选项利用等比数列的定义判断即可，B选项若，则没意义，C选项，当时，项为0，D选项，把等比数列前n项和化简为即可求出.【详解】A选项，设，则，所以为等比数列，A正确；B选项，若，则没意义，故B错误；C选项，当时，，等比数列的任一项都不能为0，故C错误；D选项，由题意得，，由得，，，即，所以，故D正确；故选：AD.11．（2021·重庆高三其他模拟）设数列的前项和为，若，，则（    ）A． B．是等比数列C．是单调递增数列 D．【答案】ACD【解析】由已知得出，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由得，故，对于B选项，将，两式相减得，即，又令，得，，所以从第二项开始成等比数列，公比为，故时，，即，所以，，故B选项错误；对于C选项，因为.当时，，当时，.所以，，令，则时，，即，而，所以数列单调递增，C选项正确；对于D选项，当时，，显然成立，故恒成立，D选项正确.故选：ACD.12．（2021·广东高三其他模拟）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（    ）A．B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为8【答案】ABC【解析】利用求得是公比为3的等比数列，利用求得的值，判断出选项A，根据，利用复合函数单调性证得B正确；利用分组求和证得C正确；利用二项式定理证得D错误.【详解】解：∴∴则 是公比为3的等比数列.∴ 或，又，所以，A正确； 根据复合函数单调性，得单调递增，故B正确；又，故C正确；  ，不符 故当时，为奇数，故D错误.故选:ABC.第II卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·全国高二专题练习）某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约_______万元.（参考数据：）【答案】5.3【解析】设每年存入万元，由每年本利和相加等于40可得答案.【详解】设每年存入万元，则2021年初存入的钱到2027年底本利和为，2022年初存入的钱到2027年底本利和为，……2027年初存入的钱到2027年底本利和为，则，即，解得.故答案为：.14．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知数列首项，且，则数列的通项公式是=_________________【答案】【解析】根据，取倒数整理得到，再利用等差数列的定义求解.【详解】因为数列首项，且，所以，所以数列是以1为首项，以2为公比的等差数列，所以，则，故答案为：15．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t 的最大值是________.【答案】162【解析】将数列通项化为，裂项求和求得，又对于任意的，，分类参数t，得到关于n的表达式，借助基本不等式求得最值.【详解】由题知，，则，又对于任意的，，则，即，由，当时等号成立，则实数t 的最大值是162.
故答案为：16216．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）定义函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则（1）_________；（2）_________．【答案】2        【解析】当时，先求得的解析式，由此求得的值.求得在各区间中的元素个数，由此求得，利用裂项求和法求得.【详解】(1)当时，根据题意得：，进而得，所以在各区间中的元素个数分别为：1，1；所以(2)解：根据题意得：，进而得，所以在各区间中的元素个数为：，所以当时，的值域为，集合中元素的个数为满足：，所以，所以，所以．故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知公差为的等差数列的前项和是，且（1）求数列的通项公式；（2）数列满足：，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据求得即可；（2）由（1）得到，再利用累加法求解.【详解】（1）因为所以，解得，所以；（2）由（1）知，即 ，由累加法得 ， ，，.18．（2021·北京二十中高二期末）设数列是各项均为正数的等比数列，，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项公式为，求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】（1）设等比数列的公比为，则，解方程组求出，从而可求出数列的通项公式；（2）由（1）得，然后利用分组求和求【详解】解：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，则，，解得或（舍去），所以，所以，（2）由（1）得，所以19.（2021·四川成都市·成都七中高二期中（理））设等差数列的前项和为，已知，且.（1）求和；（2）是否存在等差数列，使得对成立？并证明你的结论.【答案】（1），，；（2）存在，证明见解析.【解析】（1）设数列的公差为，则，解方程组求出，从而可求出和；（2）设，由可得，由可得，由此归纳出，，然后利用数学归纳法证明即可【详解】解：（1）设数列的公差为，则，解得，，∴，，∴；（2）设，由可得，由，可得，故存在等差数列满足条件，其中，，下面用数学归纳法证明：当时， 对成立，①当时，由上面过程可知，等式成立，②假设时等式成立，即，则当时，，，即当时等式成立，由①②可知，（其中）对成立.20．（2021·辽宁大连市·育明高中高二期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列的公差，前项和为，若__________，数列满足，，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），； （2）.【解析】（1）：由，得到，求得，分别选择①②③，列出方程求得，即可求得数列的通项公式，由，得到，解等比数列的通项公式，即课求得数列的通项公式；（2）利用错位相减求和即可.【详解】（1）若选①：因为，当时，可得，因为，，可得，又因为，可得，解得，所以数列的通项公式为，则，可得，即，因为，所以数列表示首项为1，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.若选②：因为，当时，可得，因为，，可得，又因为，可得，解得，所以数列的通项公式为，则，可得，即，因为，所以数列表示首项为1，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.若选③：因为，当时，可得，因为，，可得，又因为，可得，解得，所以数列的通项公式为，则，可得，即，因为，所以数列表示首项为1，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，则，，两式相减，可得，所以21．（2021·辽宁大连市·育明高中高二期中）已知数列的前项和为，，是与的等差中项.（1）证明数列是等比数列，并求其通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析.【解析】（1）由等差中项定义，结合可得，可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式可推导得到，由与关系求得，可证得，由此证得结论，并得到通项公式；（2）由（1）可得，由可得；当时，由可证得，验证知当时，成立，由此可证得结论.【详解】（1）是与的等差中项，，又，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，，；当时，，经检验：满足；，，数列是以为首项，为公比的等比数列，且；（2）由（1）得：，，，，当时，，，又，；当时，；综上所述：.22．（2021·全国高二专题练习）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用与的关系求通项公式；（2）利用错位相减法求数列的通项公式，根据化简，求得的取值范围.【详解】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列， ；（2）由，得，所以，，两式相减得 所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.