高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.2   直线与圆的位置关系

【知识清单】

知识点1．圆的方程

1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2．圆的标准方程

(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．

(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．

3．圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．

(2) 对方程：.

①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；

②若，则方程只表示一个点，；

③若，则方程不表示任何图形．

4.点与⊙C的位置关系

(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；

(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；

(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.

知识点2．圆的方程综合应用

1. 圆的标准方程为：

2．圆的一般方程．：（）.

3.点到直线的距离：.

知识点3．直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；

3.代数法：，方程组有一组不同的解.

知识点4．直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；

3.代数法：，方程组有两组不同的解.

知识点5．圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().

(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.

(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.

(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.

(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.

【考点分类剖析】

考点一 ：求圆的方程

【典例1】（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

圆的圆心为，半径为，得到圆方程.

【详解】

根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.

故选：B.

【典例2】（2021·四川成都市·成都七中高二开学考试（理））已知圆过，，，

（1）求圆的方程；

（2）判断和圆的位置关系．

【答案】（1）；（2）点在圆外．

【分析】

（1）利用待定系数法求得圆的方程.

（2）由判断出点与圆的位置关系.

【详解】

（1）设圆的方程为，

因为圆过，，，

则，解得，

所以所求圆的方程为；

（2）因为，

所以点在圆外．

【规律方法】

求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

【变式探究】

1.（2019·云南高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（    ）

A．（x﹣5）2+y2＝16 B．x2+（y﹣5）2＝9

C．（x+5）2+y2＝16 D．x2+（y+5）2＝9

【答案】A

【解析】

设，由，得，

可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，

即x2﹣10x+y2+9＝0

整理得，故动点的轨迹方程为.选A.

【方法点晴】

求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.

2. （2016高考天津文）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.

【答案】

【解析】设，则，故圆C的方程为

【总结提升】

1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；

2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；

3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.

考点二 ：  圆的方程综合应用

【典例3】（2022·江苏高三专题练习）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点做圆的切线，切点为，若，则点P的轨迹方程是____________；的取值范围 是____________．

【答案】       

【分析】

根据题意得，故设，再结合距离公式得，进而将问题转化为直线与圆有公共点，再结合圆心到直线的距离与半径的关系求解即可.

【详解】

圆，直线与轴相交于点

设，由可得，

即，满足的点P的轨迹是一个圆，

所以问题转化为直线与圆有公共点

所以，，

所以实数的取值范围是：

故答案为：；

【典例4】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．

【答案】或

【解析】设圆心为，半径为r，由条件①：.

由条件②：，从而有：．

由条件③：.

解方程组可得：或，所以．

故所求圆的方程是或．

【总结提升】

1.求圆的方程，采用待定系数法：

①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．

②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．

2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任一弦的垂直平分线上．

【变式探究】

1.（江西高考真题）若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________.

【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝

【解析】

设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.

2.（2019·天津南开中学高考模拟）已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为________.

【答案】

【解析】

圆可化为,

则圆心为,半径为,
又因为直线

被圆截得的弦长为,
所以直线过圆心,即,

化为 ,
,当且仅当时取等号,
的最大值为,故答案为.

考点三 ：  直线与圆相切

【典例5】（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

【答案】

【分析】

设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.

【详解】

设直线的方程为，则点，

由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，

则，解得或，所以，

因为，故.

故答案为：.

【典例6】（2021·四川成都市·树德中学高三开学考试（理））已知圆，则过点作圆的切线的方程为___________.

【答案】或

【分析】

本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.

【详解】

圆的圆心坐标，半径,

当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；

当切线的斜率存在时，设斜率为，，即：,

由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，

故切线的方程为，

故答案为：或

【规律方法】

判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

提醒：上述方法中最常用的是几何法．

【变式探究】

1.（2015·山东高考真题（理））一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】

由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反身光线所在直线方程为：，即：.

又因为光线与圆相切，所以，,

整理：，解得：，或,故选D．

2.（2020·五华·云南师大附中月考（文））已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.

【答案】2

【解析】

由题意得：圆的方程为：

∴圆心为，半径为2，

又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，

故四边形PACB面积的最小值为2．

故答案为：2

【总结提升】

圆的切线方程的两种求法

(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

考点四 ：  直线与圆相交及弦长

【典例7】（2020·云南师大附中月考（理））已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（    ）

A．30 B．40 C．60 D．80

【答案】B

【解析】

圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，

且由，即点在圆内，

则最短的弦是以为中点的弦，

所以，所以，

过最长的弦为直径，所以，

且，故而.

故选：B.

【典例8】（2020·全国高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】

圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

【总结提升】

1.弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.

【变式探究】

1.（全国高考真题）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．

【答案】4

【解析】

因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．

故答案为4

2.（2019·浙江师范大学附属中学高三月考）直线与圆相交于A，B两点，弦长的最小值为________，若的面积为，则m的值为_________．

【答案】2       

【解析】

直线恒过圆内的定点，，

圆心C到直线的距离,所以，

即弦长的最小值为2；由,

即或.若，则圆心到弦AB的距离

，故不符合题意；当时，圆心到直线的距离为

,设弦AB的中点为N，又，故，

即直线的倾斜角为，则m的值为 .

故答案为2，

考点五： 圆与圆的位置关系

【典例9】（2022·江苏高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．

【答案】

【分析】

由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案.

【详解】

解：圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径．

同理圆C与圆的公共弦是圆的直径

设圆C的圆心为，半径为，则，

所以，即，解得

所以圆C的方程为．

故答案为：

【典例10】（2019·浙江高三月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆.过原点的动直线l与圆M交于A，B两点若以线段AB为直径的圆与以M为圆心MO为半径的始终无公共点，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

圆的圆心为，半径.设以线段为直径的圆的圆心为，要使“以线段为直径的圆与以为圆心为半径的始终无公共点”，则两圆内含.即，即恒成立，即，由基本不等式有，故，所以，即，也即，解得.

故填：.

【规律方法】

1.判断两圆位置关系的方法

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．

2．两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．

【变式探究】

1.（2020·浙江丽水·月考）已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

【答案】B

【解析】

圆的圆心为，半径为.

圆心到直线的距离为，解得.

∴圆的圆心为，半径为2，

圆的标准方程为：，

圆心坐标为，半径，

圆心距，

∴两圆相内切，

故选：B.

2.（2019·四川双流中学高三月考（文））与圆，都相切的直线有（    ）

A.条 B.条 C.条 D.条

【答案】A

【解析】

由于圆可化为，则圆的圆心为，半径为

圆可化为，则圆的圆心为，半径为

所以圆，的圆心距

则两个圆内切，

所以它们只有1条公切线，

故选：A

【总结提升】

1. 比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；
2. 两圆方程相减即得公共弦方程；
3. 公共弦长要通过解直角三角形获得．

考点六 ： 直线、圆的位置关系的综合应用

【典例11】【多选题】（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

【答案】ACD

【分析】

计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】

圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

【典例12】（2019·江苏高三开学考试（文））在平面直角坐标系中，己知圆，且圆被直线截得的弦长为2.

（1）求圆的标准方程；

（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；

（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或或或；（3）

【解析】

（1）圆方程可整理为：   

圆的圆心坐标为，半径

圆心到直线的距离：

截得的弦长为：，解得：

圆的标准方程为：

（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即

直线与圆相切    圆心到直线距离，解得：

切线方程为：

②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即

圆心到直线距离，解得：或

切线方程为或

综上所述，切线方程为或或

（3）假设

，即

又直线与圆相切，切点为   

即：，整理得：

又在圆上    两圆有公共点

，解得：

即的取值范围为：

【总结提升】

直线与圆的位置关系常用处理方法：

（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；

（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；

（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．

【变式探究】

1.（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是_________

【答案】

【解析】

设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．

2.（2015·全国高考真题（文））已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

【答案】（1）；（2）2．

【解析】

（1）由题意可得，直线l的斜率存在，

设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．

故由，解得：．

故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．

（2）设M；N，

由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，

可得，

∴，

∴，

由，解得 k=1，

故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2