高考数学一轮复习 专题9.5 抛物线（讲）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题9.5   抛物线新课程考试要求1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.3.了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.4.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.核心素养本节涉及直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象等核心数学素养.高考预测高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.【知识清单】知识点1．抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点2．抛物线的标准方程及几何性质图形标准方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）顶点O（0，0）范围x≥0， x≤0，y≥0，y≤0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点3．直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．（2）直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【考点分类剖析】考点一 ：抛物线的标准方程及几何性质【典例1】（2021·湖南湘潭市·高三）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.【详解】设为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程为或．故选：A．【典例2】（2019·全国高考真题（理））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（   ）A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【典例3】（2021·北京高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．【答案】5        【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.【规律方法】1.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：法一分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p＞0)和y2＝－2px(p＞0)两种情况求解法二设成y2＝mx(m≠0)，若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【变式探究】1.（2020·云南高三其他（理））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，联立抛物线与切线方程，转化得，，解得，当时，直线方程为，，解得，则，因为，所以，解得；当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选：C.2.（2018·北京高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于?轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：， 焦点坐标为.3.（湖南高考真题）过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则      ．【答案】2【解析】依题意知，焦点，则过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点且斜率为1的直线方程为.设、.则易知、，所以.又易知，.所以、.所以梯形ABCD的面积.联立，所以，.代入中，可得，又，所以.【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二 ：  抛物线的定义及应用【典例4】（2022·全国高三专题练习（理）（文））已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．【答案】5        【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5，.【典例5】（2017·全国高考真题（理））已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．【规律方法】1.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．【变式探究】1.（2021·辽宁鞍山·高二期中）已知拋物线的焦点为，定点，设为拋物线上的动点，的最小值为__________，此时点坐标为__________．【答案】3        【分析】设点在准线上的射影为，由抛物线的定义把问题转化为求的最小值，由图形推断出当，，三点共线时最小，答案可得．【详解】过点作垂直于准线，过作垂直于准线，，取到最小值时，且为；点与点的纵坐标相同，可设点为，，则，解得，所以点，．故答案为： 3；2．（2019·新疆乌鲁木齐·乌市一中月考）动圆经过点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程是____________.【答案】【解析】设动点，设与直线的切点为，则，即动点到定点和定直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.【总结提升】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．考点三 ：  直线和抛物线的位置关系【典例6】（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．9【答案】B【分析】根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，将此方程代入，整理得．设，，则，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：B．【典例7】（2020·江苏如皋·高二月考）【多选题】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）A．点的坐标为B．若，，三点共线，则C．若直线与的斜率之积为，则直线过点D．若，则的中点到轴距离的最小值为2【答案】BCD【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，所以，所以，故B正确；设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，所以，因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；因为，所以，所以，因为，所以的中点到轴的距离： ，当且仅当时等号成立，所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，综上所述，正确命题为BCD.故选：BCD.【典例8】（2021·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.【易错提醒】直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴．【规律方法】解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.【变式探究】1.（浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考）如图，已知直线 与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（   ）A．     B． C．     D． 2【答案】C【解析】设抛物线C：是准线为，直线恒过点，过分别作于，于，由，所以点为的中点，连结，则，所以，点A的横坐标为，所以点的坐标为，把代入直线，解得，故答案是.2.（2021·山东高三）已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为，则______；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为、，则______.【答案】        【分析】利用抛物线的定义可求得的值，再将点的坐标代入抛物线的方程，结合可求得的值；设点、的坐标分别为、，求出切点弦所在直线方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦半径公式可求得的值.【详解】由抛物线的定义得，解得，所以抛物线的方程为，将代入抛物线的方程可得，因为，可得.易知点不在抛物线上，设点、的坐标分别为、.又，所以抛物线在点处的切线方程为，即，将点的坐标代入直线方程，可得，同理可得，因为点、的坐标满足方程，故直线的方程为.将代入，整理得，则，所以，，故.故答案为：；.3.（2017·全国高考真题（文））设、为曲线：上两点，与的横坐标之和为．（1）求直线的斜率；（2）为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，，则，，，，于是直线AB的斜率；（2）由，得.设，由题设知，解得，于是.设直线的方程为，故线段的中点为，.将代入得.                    当，即时，.从而.                            由题设知，即，解得.所以直线的方程为.【总结提升】1.在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．2.解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．