高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.5   抛物线

1.（2020·全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【解析】

设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

2．（2020·北京高三二模）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（    ）

A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x

【答案】D

【解析】

根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，

设其标准方程为，

又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，

故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，

故选：D.

3.（全国高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由抛物线的性质可得，故选D.

4．（2020·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为直线与抛物线交于两点，且，

根据抛物线的对称性可以确定，所以，

代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，

故选：B.

5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（     ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

∵抛物线的准线方程为，垂直于x轴．

而圆垂直于x轴的一条切线为，

则，即．

故抛物线的方程为．

故选：C．

6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

【答案】(x-1)2+y2=4.

【解析】

抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，

焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，

以F为圆心，

且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

7.（2019·山东高三月考（文））直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为______.

【答案】

【解析】

由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，

所求d=

故答案为：．

8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且直线AB的倾斜角为，则线段AB的长是____，焦点F到A，B两点的距离之积为_________.

【答案】8    8   

【分析】

由题意可得直线AB的方程为，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案

【详解】

解：由题意得，则直线AB的方程为，设，

由，得，

所以，

所以，

因为，

所以，

故答案为：8，8

9．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为，则的值为__________；抛物线方程为__________.

【答案】答案见解析    答案见解析   

【分析】

由于抛物线的开口方向未定，根据点在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得的值，根据点在抛物线上可得的值.

【详解】

根据点在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，

当抛物线开口向下时，设抛物线方程为（），

此时准线方程为，由抛物线定义知，解得.

所以抛物线方程为，这时将代入方程得.

当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为（），

从知准线方程为，由题意知，

解此方程组得，，，，

综合（1）、（2）得，；

，；

，；

，；

，.

故答案为：，，，，；，，，，.

10.（2019·广东高三月考（理））已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.

若，求的值；

点，若，求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意，可得，设，

联立方程组，整理得，

则，，

又由.

（2）由题意，知，，，

由，可得

又，，则，

整理得，解得，

所以直线的方程为.

1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.

【详解】

设点，其中，则，，

取，则，

可得，因为，可得，解得，则，

因此，.

故选：D.

2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（    ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，

设，因为，所以，

所以，解得：，设，由焦半径公式得：，

所以，，

所以，

所以点到直线的距离为.

3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

过点作于，

因为，由抛物线的定义得，

所以在中，，

所以，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即，

故选B.

4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】

因为抛物线的焦点为，

又直线经过的焦点，设直线，

由得，

设，则

由题意可得：，

同理，

所以.

故选C

5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为

C． D．点P到抛物线的焦点的距离为4

【答案】ACD

【分析】

由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误.

【详解】

双曲线的离心率为，故A正确；

双曲线的渐近线为，故B错误；

由有相同焦点，即，即，故C正确；

抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．

故选：ACD．

6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（    ）

A．当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是

B．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程为

C．抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程

D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围(-12，0)

【答案】ACD

【分析】

求出直线定点设出抛物方程即可判断A；根据渐近线方程与焦点坐标求出即可判断B；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C；利用双曲线离心率公式即可判断D．

【详解】

对A选项，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点为，则过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程设为，将点代入可得，所以，故A正确；

对B选项，知，又，解得，所以双曲线的标准方程为，故B错；

对C选项，得，所以准线方程，正确；

对D选项，化双曲线方程为，所以，解得，故正确．

故选：ACD

7．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为______．

【答案】

【分析】

过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得，

易知当，，三点共线时取得最小值且为，进而可得结果.

【详解】

过点作抛物线准线的垂线，垂足为，

由抛物线的定义，知点到焦点的距离与点到准线的距离相等，

即，所以，

易知当，，三点共线时，取得最小值，

所以，此时点的坐标为．

故答案为：

8．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.

【答案】

【分析】

设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．

【详解】

设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.

由抛物线的定义，知，.

由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为.

故答案为：．

9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.

【答案】    9   

【解析】

抛物线：的焦点．
过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线 于，

则由抛物线的定义可得．
再根据为线段的中点，

，

∴，
故答案为：焦点坐标是，．

10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线：的焦点为，抛物线过点.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；

（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上.

【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为，准线的方程为；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由，得，所以抛物线的标准方程为，准线的方程为.

（Ⅱ）根据题意直线的斜率一定存在，又焦点，设过点的直线方程为，联立

，得，.

设，，则，.

∴.

由得，，过，的抛物线的切线方程分别为

，

即，两式相加，得

，化简，得，即，

所以，两条切线交于点，该点显然在抛物线的准线：上.

1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】

首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.

【详解】

抛物线的焦点坐标为，

其到直线的距离：，

解得：(舍去).

故选：B.

2．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】

设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】

设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．

A．经过点 B．经过点

C．平行于直线 D．垂直于直线

【答案】B

【解析】

如图所示：．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.

故选：B.

4.（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【分析】

先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.

【详解】

抛物线： ()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

5．（2020·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

【答案】

【解析】

∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得  

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：

6．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；

（Ⅱ）设，

由，

，

由在抛物线上，所以，

又，

，，

.

由即

，

所以，，，

所以，的最大值为，此时.

法2：设直线，.

将直线的方程代入椭圆得：，

所以点的纵坐标为.

将直线的方程代入抛物线得：，

所以，解得，因此，

由解得，

所以当时，取到最大值为.