初中数学北师大版七年级下册2 探索直线平行的条件综合训练题

同位角、内错角、同旁内角 知识讲解

【学习目标】

1.了解“三线八角”模型特征；

2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．

【要点梳理】

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1. “三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

要点诠释：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2. 同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

要点诠释：

 (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：

(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

(2)借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

【典型例题】

类型一、“三线八角”模型

1.

(1)图3中，∠1、∠2由直线         被直线        所截而成．

(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？

【答案】(1) EF，CD； AB．     （2）不是 ．  

【详解】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．

      （2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．

【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.

类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别

2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?

(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？

 (3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?

【答案与详解】

解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；

（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；

（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.

【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.

举一反三：

【变式】（2020春•邹城市校级期中）如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角

C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角

【答案】B

解：从图上可以看出∠1和∠5不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正确．

3. （2020秋•太康县期末）如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．

【答案与详解】

解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；

同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；

同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．

【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.

举一反三：

【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？

【答案】

解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；

内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；

同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.

4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案与详解】

解： 同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；

     内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；

     同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．

【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．

举一反三：

【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．

【答案】

解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；

∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；

∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.

类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系

5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，

(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？

(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？

【答案与详解】

解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定．

(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：

① ∵∠1=∠4（已知）

    ∠4＝∠2（对顶角相等）  

   ∴∠1＝∠2.

② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)

    ∠1＝∠4(已知)

∴∠1＋∠3＝180°

    即∠1和∠3互补.

综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．

【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．

举一反三：

【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是    (    ) ．

A．∠1＝∠2    B．∠1＞∠2    C．∠1＜∠2     D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2

【答案】D

【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）．

A．4       B．3      C．2         D．1

【答案】C （提示：②④正确）．