2023年湖北省仙桃市中考数学模拟训练卷（含答案）

这是一份2023年湖北省仙桃市中考数学模拟训练卷（含答案），共29页。
湖北省仙桃市2023年中考模拟训练卷
一．选择题（共10小题，30分）
1．（2022秋•铁西区校级期末）在下列各数中是无理数的有（　　）
﹣0.333…，，﹣π，2.0101001…（相邻两个1之间增加1个0）
A．3个 B．4个 C．5个 D．2个
2．（2022•宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（2022秋•管城区校级期末）“中国疫苗，助力全球战疫”．据法国《费加罗报》网站10月15日报道，预计到今年年底，全球新冠疫苗产量将超过120亿剂，其中一半将来自中国制造商，这是欧盟计划在2021年生产的30亿剂新冠疫苗数量的两倍．中国已经向全球100多个国家提供了疫苗，数据120亿剂用科学记数法表示为（　　）
A．0.12×1011剂 B．1.2×1010剂
C．12×109剂 D．120×108剂
4．（2019•十堰）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．50° B．45° C．40° D．30°
5．（2019•湖北）下列说法正确的是（　　）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
6．（2019•十堰）下列计算正确的是（　　）
A．2a+a＝2a2 B．（﹣a）2＝﹣a2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（ab）2＝a2b2
7．（2019•湖北）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
8．（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
9．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　）

A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
10．（2020•赤峰）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，15分）
11．（2022秋•天河区校级期末）分解因式：4a2﹣28ab＝　 　．
12．（2022秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 　 　．
13．（2019•湖北）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是　 　．
14．（2023•谯城区校级一模）如图，点A是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上的一动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数y1＝（k≠0，x＞0）的图象交于点B、点C，连接OB，OC．若四边形OBAC的面积为5，则k＝　 　．

15．（2021秋•溧阳市期末）如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 　 　（写所有正确结论的序号）．
①AM平分∠CAB；②；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3BD，则有tan∠MAP＝．

三．解答题（共9小题，75分）
16．（2020秋•港南区期末）（1）计算：|﹣3|﹣2cos45°﹣（）﹣2+（﹣1）2020．
（2）先化简，再求值﹣÷，其中x为方程x2﹣4＝0的根．
17．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，A、B、C是边长为1的正方形网格的格点，作△ABC的高AD和CE；
（2）如图2，点C是半⊙O内一点，过点C作直线CD⊥直径AB于点D．

18．（2021•黄石模拟）为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：家庭汽车，C：公交车，D：电动车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中，一共调查了　 　名市民；扇形统计图中，A项对应的扇形圆心角是　 　°；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从A、B、C三种交通工具中随机选择一种，乙上班时从B、C、D三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
19．（2018•青岛）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

20．（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．

21．（2022•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．

22．（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求日销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．

23．（2022•贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O．
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 　 　，的值为 　 　；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝，求OE的长；
②如图3，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．


24．（2016•湖州）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．


湖北省仙桃市2023年中考模拟训练卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•铁西区校级期末）在下列各数中是无理数的有（　　）
﹣0.333…，，﹣π，2.0101001…（相邻两个1之间增加1个0）
A．3个 B．4个 C．5个 D．2个
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数，由此即可判定选择项．
【解答】解：在﹣0.333…，，﹣0.333…，2.0101001…（相邻两个1之间增加1个0）中，无理数有，﹣π，2.0101001…（相邻两个1之间增加1个0），一共3个．
故选：A．
2．（2022•宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底面圆的半径大于球体的半径，如图，

故C选项符合题意．
故选：C．
3．（2022秋•管城区校级期末）“中国疫苗，助力全球战疫”．据法国《费加罗报》网站10月15日报道，预计到今年年底，全球新冠疫苗产量将超过120亿剂，其中一半将来自中国制造商，这是欧盟计划在2021年生产的30亿剂新冠疫苗数量的两倍．中国已经向全球100多个国家提供了疫苗，数据120亿剂用科学记数法表示为（　　）
A．0.12×1011剂 B．1.2×1010剂
C．12×109剂 D．120×108剂
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：120亿＝12000000000＝1.2×1010，
故选：B．
4．（2019•十堰）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．50° B．45° C．40° D．30°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：C．

5．（2019•湖北）下列说法正确的是（　　）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；
D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，D错误．
故选：C．
6．（2019•十堰）下列计算正确的是（　　）
A．2a+a＝2a2 B．（﹣a）2＝﹣a2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（ab）2＝a2b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+a＝3a，故此选项错误；
B、（﹣a）2＝a2，故此选项错误；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项错误；
D、（ab）2＝a2b2，正确．
故选：D．
7．（2019•湖北）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
8．（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（x12﹣2022）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
9．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　）

A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
10．（2020•赤峰）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，

由题意可得BP＝AQ＝x，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，
∵sin∠BAC＝，
∴HQ＝AQ•sin60°＝x，
∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；
当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，

由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，
∵sin∠ACD＝＝，
∴NQ＝（x﹣2），
∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，
∴该图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴在2＜x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值为，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．（2022秋•天河区校级期末）分解因式：4a2﹣28ab＝　4a（a﹣7b）　．
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．
故答案为：4a（a﹣7b）．
12．（2022秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 　50里/分钟　．
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
依题意，得，
解得．
答：风的速度为50里/分钟．
故答案为：50里/分钟．
13．（2019•湖北）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是　　．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下

1
2
4
8
1

2
4
8
2
2

8
16
4
4
8

32
8
8
16
32

由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
14．（2023•谯城区校级一模）如图，点A是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上的一动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数y1＝（k≠0，x＞0）的图象交于点B、点C，连接OB，OC．若四边形OBAC的面积为5，则k＝　3　．

【分析】延长AB，AC分别交y轴，x轴于点E，D，易得四边形OBAC的面积等于8﹣k，即可得解．
【解答】解：延长AB，AC分别交y轴，x轴于点E，D，

∵AB∥x轴，AC∥y轴，则：四边形AEOD为矩形，△OBE，△ODC为直角三角形，
∵点A在反比例函数的图象上，点B、点C在反比例函数（k≠0，x＞0）上，
∴S矩形AEOD＝8，，
∴四边形OBAC的面积＝S矩形AEOD﹣S△OBE﹣S△ODC＝8﹣k＝5，
∴k＝3；
故答案为：3．

15．（2021秋•溧阳市期末）如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 　①②④　（写所有正确结论的序号）．
①AM平分∠CAB；②；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3BD，则有tan∠MAP＝．

【分析】连接OM，BM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝PA，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，由余角的性质可求∠MAP＝30°，则tan∠MAP＝，故④正确．
【解答】解：连接OM，BM，

∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∴∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴的长为＝，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴＝，
∴PB＝PA，
∴PB＝AB，
∴PB＝OB＝OA，
∵sin∠OPM＝＝，
∴∠OPM＝30°，
∴∠CAP＝60°，
∵AM平分∠CAP，
∴∠MAP＝30°，
∴tan∠MAP＝，故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共9小题）
16．（2020秋•港南区期末）（1）计算：|﹣3|﹣2cos45°﹣（）﹣2+（﹣1）2020．
（2）先化简，再求值﹣÷，其中x为方程x2﹣4＝0的根．
【分析】（1）先根据绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算，再求出答案即可；
（2）先把除法变成乘法，算乘法，再算减法，求出x的值，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；

（2）原式＝﹣•
＝﹣
＝
＝，
解方程x2﹣4＝0得：x＝±2，
如果已知分式有意义，必须x不等于2，﹣1，1，
∵x为方程x2﹣4＝0的根，
∴x只能为﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝．
17．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，A、B、C是边长为1的正方形网格的格点，作△ABC的高AD和CE；
（2）如图2，点C是半⊙O内一点，过点C作直线CD⊥直径AB于点D．

【分析】（1）取格点W，连接AW交BC的延长线于点D，线段AD即为所求，取格点P，Q，连接PQ交网格线于点H，作直线CH交AB于点E，线段CE即为所求．
（2）利用三角形的三条高交于一点，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段AD，CE即为所求；
（2）如图2中，直线CD即为所求．

18．（2021•黄石模拟）为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：家庭汽车，C：公交车，D：电动车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中，一共调查了　2000　名市民；扇形统计图中，A项对应的扇形圆心角是　18　°；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从A、B、C三种交通工具中随机选择一种，乙上班时从B、C、D三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
【分析】（1）根据D组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为500÷25%＝2000人，扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是360°×＝18°，
故答案为：2000、18；

（2）C选项的人数为2000﹣（100+300+500+300）＝800，
补全条形图如下：

故答案为：2000、54；

（3）列表如下：

A
B
C
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表可知共有9种等可能结果，其中甲、乙两人都不选B种交通工具上班的结果有4种，
所以甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率为．
19．（2018•青岛）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝＝，y2＝＝，然后根据y1﹣y2＝4列出方程﹣＝4，解方程即可求出m的值；
（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE＝8，求出PE＝4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1＝＝，y2＝＝，
∵y1﹣y2＝4，
∴﹣＝4，
∴m＝1，
经检验，m＝1是原方程的解．
故m的值是1；

（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD＝﹣＝．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE＝8，
∴••PE＝8，
∴PE＝4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．

20．（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．

【分析】利用中心投影的特点得到AB∥OP，则可判断△ABC∽△OPC，然后利用相似比求OP的长．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
答：路灯的高度OP是m．
21．（2022•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．

【分析】（1）连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，从而可得∠ABD＝90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF＝EF＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB＝∠FBE，从而可得∠FBE＝∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA＝90°，从而可得∠A+∠AEP＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE＝90°，进而可得∠OBF＝90°，即可解答；
（2）在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP＝∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OB，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵点F为DE的中点，
∴BF＝EF＝DE，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠AEP＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠AEP，
∵PD⊥AC，
∴∠EPA＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBA+∠FBE＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，
∴AE＝＝＝5，
∴PE＝＝＝3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP+OC＝12，
∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，
∴BF＝DE＝，
∴BF的长为．

22．（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求日销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．

【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，
（3）再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图可知
，解得
∴n＝2x+10
同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44
∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝
（2）∵y＝mn﹣80
∴y＝
整理得，y＝
（3）当1≤x≤10时，
∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5
∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270
当10＜x＜15时
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是直线x＝＝≈13.2＜13.5
∴x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2
当15≤x≤30时
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为直线x＝＞30
∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小
∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元
23．（2022•贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O．
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 　等腰三角形　，的值为 　　；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝，求OE的长；
②如图3，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．


【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC＝BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得AC∥BD，根据等边三角形的性质和利用勾股定理即可求解．
②连接CD，通过判定△BCD是等边三角形和△AOF∽△ADB，根据三角形相似的性质即可求证结论．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥BD于H，

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝∠CHB＝90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC＝BH，
又∵BD＝2AC，
∴AC＝BH＝DH，且CH⊥BD，
∴△BCD的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
∴，即DO＝2AO，
∴，
故答案为：等腰三角形，；
（2）①如图2，过点E作EH⊥AD于点H，

∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴AC∥BD，
∵△ADE是等边三角形，且AE与AC重合，
∴∠EAD＝60°，
∴∠ADB＝∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴在Rt△ADB中，AD＝2BD，AB＝BD，
又∵BD＝2AC，AC＝，
∴AD＝6，AB＝3，
∴AH＝DH＝AD＝3，AO＝AD＝2，
∴OH＝1，
∴EH＝AH＝3，
在Rt△EOH中，OE＝2；
②如图3，连接CD，

∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴△BCD是等边三角形，
又∵△ADE是等边三角形，
∴△ABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECD重合，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
又∵∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠FCB＝∠FBC＝30°，
∴FC＝FB＝2AF，
∴，
又∵∠OAF＝∠DAB，
∴△AOF∽△ADB，
∴∠AFO＝∠ABD＝90°，
∴OF⊥AB．
24．（2016•湖州）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴直线x＝1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x＝1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
（3）由题意分析可得∠MCP＝90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+4，
配方得y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴点M的坐标为（1，5）；
（2）设直线AC解析式为y＝kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，如图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x＝1代入直线AC解析式y＝﹣x+4解得y＝3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）
∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）

∵MG＝1，GC＝5﹣4＝1
∴MC＝＝，
把y＝5代入y＝﹣x+4解得x＝﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），
∵NG＝GC，GM＝GC，
∴∠NCG＝∠GCM＝45°，
∴∠NCM＝90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP＝90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有
∵BD＝1，CD＝3，
∴CP＝＝＝，
∵CD＝DA＝3，
∴∠DCA＝45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH＝45°，CP＝
∴PH＝＝
把x＝代入y＝﹣x+4，解得y＝，
∴P1（）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x＝﹣代入y＝﹣x+4，解得y＝
∴P2（）；
②若有△PCM∽△CDB，则有
∴CP＝＝3
∴PH＝3÷＝3，
若点P在y轴右侧，把x＝3代入y＝﹣x+4，解得y＝1；
若点P在y轴左侧，把x＝﹣3代入y＝﹣x+4，解得y＝7
∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．