高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.8《平面解析几何》单元测试卷

考试时间：120分钟     满分：150

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率.

【详解】

解：由题意可知：

又

，即

椭圆的离心率

故选：C.

2．（2022·全国·高三专题练习（理））点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

渐近线方程为，根据点到直线的距离公式得到答案.

【详解】

由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，

结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.

故选：A.

3．（2021·广东实验中学高二期中）已知条件p：，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】

由命题q可得出，进而结合充分不必要条件的概念即可判断.

【详解】

条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，所以需要满足，

因为是 的真子集，

故p是q的充分不必要条件，

故选：A

4．（2022·全国·高三专题练习）以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据抛物线方程可得抛物线焦点坐标，即为双曲线中的值，根据离心率即可求出的值，从而确定双曲线的标准方程

【详解】

因为抛物线的焦点为，所以，离心率，所以，所以双曲线的标准方程为．

故选：B

5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是（    ）

A．内含 B．相交 C．外切 D．外离

【答案】B

【分析】

根据圆的弦长公式，结合两点间距离公式进行求解判断即可.

【详解】

圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，圆心到直线x＋y＝0的距离为，

因此有，解得a＝2，（舍去），

因为，所以两个圆相交，

故选：B.

6．（2022·全国·高三专题练习）直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理结合中点关系即可求出.

【详解】

联立直线方程与抛物线方程，消去y得，

设，所以．

又，所以，解得k＝－1或k＝2．

经验证，k＝－1时Δ＝0，直线与抛物线相切，不符合题意，所以k＝2．

故选：C.

7．（2021·重庆市万州第二高级中学高二期中）已知椭圆：的左､右焦点分别为､，点与椭圆的焦点不重合，分别延长､到､.使，.是椭圆上一点，延长到，使得，则（    ）

A．3 B．5 C．6 D．10

【答案】D

【分析】

根据向量线性运算的几何意义可得，进而得

，于是，

于是.

【详解】

由，得，

有，所以，

又，所以，

所以，故，

所以，则，

根据椭圆的定义，得，所以.

故选：D

8．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），若与内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

、的内切圆与直线切于点、，于，证明轴，得到直线的倾斜角与相等，计算，得到，得到离心率范围.

【详解】

设与内切圆圆心分别为、，半径分别为、，

、的内切圆与直线切于点、，于.

的内切圆与交于点，与轴交于点，

则，

，故，即与重合，同理可得轴，

故直线的倾斜角与相等，

在中：，，，

故，

直线与双曲线右支有两个交点，需要满足，即，

所以，所以.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（2021·浙江温州·高二期中）已知双曲线C：，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（      ）

A．渐近线方程为 B．

C． D．渐近线方程为

【答案】AC

【分析】

利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．

【详解】

双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．

若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，

可得：，即，故e．

且，故渐近线方程为渐近线方程为

故选：AC．

10．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】CD

【分析】

将圆的方程化为标准形式，求出圆心与半径，令，利用点到直线的距离公式可判断A、D；根据表示圆上的点到原点距离的平方，可判断B；表示圆上的点与原点连线的斜率，利用点到直线的距离公式可判断D.

【详解】

实数，满足方程，即满足，

表示以为圆心，半径等于的圆．

令，即，

当圆和直线相切时，取得最值，由，求得，或，

故的最大值为，最小值为，故A正确，D错误；

由于表示圆上的点到原点距离的平方，

故它的最大值，故B正确；

由于表示圆上的点与原点连线的斜率，故当直线和圆相切时，取得最值，

设过原点的切线方程为，即，

由，求得，故的最大值为，故C错误，

故选：CD．

11．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知为坐标原点，，是抛物线：上两点，为其焦点，，若到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ）

A．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为

B．周长的最小值为

C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为

D．若，则直线的斜率为

【答案】CD

【分析】

根据到准线的距离为2可知，即得抛物线方程，设，将直线方程与抛物线方程联立，可得，即可得出直线，的斜率之积不为，A错误；利用抛物线的定义可知B错误；根据外接圆与抛物线的准线相切，可知外接圆半径为，所以C正确；由，结合可得直线的斜率为，D正确．

【详解】

因为到准线的距离为2，所以，即抛物线方程为，焦点为，

对A，设，，由可得，，所以，，A错误；

对B，周长为，由抛物线的定义可知，的最小值为点到准线的距离，故周长的最小值为，B错误；

对C，外接圆与抛物线的准线相切，而外接圆的圆心横坐标为，所以外接圆半径为，即该圆面积为，C正确；

对D，由可得，直线过点，所以，而由前可知，，所以，即有，所以直线的斜率为，D正确．

故选：CD．

12．（2021·广东实验中学高二期中）已知椭圆C：的上下焦点分别为，，且焦距为2c，离心率为e.直线l：与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ）

A．若AB的最小值为3c，则 B．的周长为4a

C．若，则e的取值范围为 D．若AB的中点为M，则

【答案】ABC

【分析】

易知的最小值为通径，则有，求出，A正确；

，B正确；

设，，，，则有，可得，C正确；

设，，，，，有，D错误.

【详解】

解：易知的最小值为通径，则有，即，解得，所以，A正确；

，B正确；

设，，，，，

则有，可得，C正确；

设，，，，，

有，，

由，作差得：，所以，

则有，D错误.

故选：ABC

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（2021·广东·广州市第七中学高二期中）唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句诗说：“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为．若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为________．

【答案】

【分析】

先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.

【详解】

设点A关于直线的对称点，

的中点为，

故解得，

要使从点A到军营总路程最短，

即为点到军营最短的距离，

“将军饮马”的最短总路程为，

故答案为：

14．（2021·上海市松江二中高二月考）已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则的渐近线方程为____________.

【答案】

【分析】

由题，，根据斜率列出等式求解即可．

【详解】

由已知可得，因为垂直于轴，故，

由的斜率为3，可得，

因为，代入上式得，

所以解得，所以可得，

所以渐近线方程为.

故答案为：.

15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．

【答案】

【分析】

根据余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.

【详解】

不妨设点P在双曲线的右支上，则，，

在△F1PF2中，由余弦定理，

，

∴，∴.

故答案为：.

16．（2021·山西大附中高三月考（理））过双曲线右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点．已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为_________.

【答案】或2或

【分析】

若在轴的同侧，不妨设在第一象限，如图，设的内切圆的圆心为，过分别作于，于，由得四边形为正方形，再由已知条件可得，从而可求出离心率，若在轴的两侧，不妨设在第一象限，如图，由题意可得，从而可得，从而可求出离心率

【详解】

若在轴的同侧，不妨设在第一象限，如图，设的内切圆的圆心为，则在的平分线上，过分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为，得，

因为，所以，

因为，所以，

所以，从而可得

若在轴的两侧，不妨设在第一象限，如图，易得，，，

所以的内切圆半径为，所以，

因为，所以得，

所以，所以，

所以

故答案为：或2

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·广东实验中学高二期中）已知圆O：，直线l：，当时，直线l与圆O恰好相切.

（1）若l被圆O截得弦长为，求l方程；

（2）若直线l上存在两点M､N，满足，在圆O上存在点P使得，求k的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）由题干直线与圆相切结合点到直线距离公式求出，再由几何关系求出现有关系中弦心距，结合点到直线距离公式求解；

（2）分为直线与圆有无公共点讨论，结合点到直线距离公式可求k的取值范围.

（1）

由题干可知，，将圆心代入表达式得，故，

若l被圆O截得弦长为，则弦心距，将代入得，解得，又，故直线方程为：；

（2）

当直线与圆有公共点时，即，时，当点与点重合时，满足，符合题意；

当直线与圆无公共点时，即，因为，所以在以为直径的圆上，设中点为，则圆的方程为，此时圆与圆，则圆心距，即，故只需到直线距离，解得，故，

综上所述，

18．（2021·重庆市万州第二高级中学高二期中）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值.

（1）求动点的轨迹方程：

（2）若直线与动点的轨迹交于不同的两点，，且线段被直线平分，求直线的斜率的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

【分析】

(1)设点，根据两点坐标求出两点距，化简计算即可；

(2)联立，解方程组，设点，，的中点为，进而得出和，利用点差法求出，从而得出答案.

（1）

设点，依题意，有

两边平方，整理得

所以动点的轨迹方程为；

（2）

联立，解得.

设点，，的中点为

则，由题意可得，

又因为点，都在椭圆上，则

将上述两个等式作差得.则

则，即

所以，即

所以直线的斜率的取值范围是

19．（2021·河北邯郸·高二期中）已知椭圆的面积为，上顶点为A，右顶点为B，直线与圆相切，且椭圆C的面积是圆O面积的倍.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）P为圆O上任意一点，过P作圆O的切线与椭圆C交于M，N两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】

（1）

（2）是定值，定值为

【分析】

（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.

（2）当过的切线的斜率不存在时，切线方程为，此时，即.当过的切线的斜率存在时，设切线方程为，根据直线与圆相切得到，联立直线与椭圆得到，从而得到，，再利用化简求解即可.

（1）

因为，，所以直线的方程为.

因为直线与圆O相切，所以，即.

因为椭圆的面积是圆O面积的倍，所以，.

即.

故椭圆的标准方程为.

（2）

当过的切线的斜率不存在时，切线方程为，

此时，所以.

当过的切线的斜率存在时，设切线方程为，

则，所以.

设，，

则，得，

所以，.

因为，且，.

所以

.

因为，所以，

所以

，

所以，即为定值，且.

20．（2021·河北·石家庄二中高二期中）1.双线曲经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线l交双曲线于A、B．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）

（2）存在；定点M的坐标为

【分析】

（1）根据倾斜角得出渐近线的倾斜角，求出渐近线方程，进而得到a,b的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，最后解出a,b即可；

（2）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程并代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系与得到答案.

（1）

双曲线的渐近线方程为，因为两条渐近线的夹角为，故渐近线的倾斜角为或，所以或．

又，故或（无解），故，

所以双曲线．

（2）

双曲线的右焦点为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，设，，因为，所以，

整理得到…①，

由可以得到，

因为直线l与双由线有两个不同的交点，

故且，

所以．

由题设有①对任意的总成立，

因，

所以①可转化为，

整理得到对任意的总成立，

故，故即所求的定点M的坐标为．

当直线l的斜率不存在时，则，此时或，

此时．

综上，定点M的坐标为．

【点睛】

本题第（2）问是一道常规压轴题，根据向量数量积为0得到两点的坐标关系，然后结合根与系数的关系将式子化简，最后求出答案.

21．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m，0)(m>0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．

（1）求轨迹H的方程；

（2）若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值；

（3）若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．

【答案】

（1）y2＝4x

（2）4

（3）证明见解析

【分析】

（1）设动圆圆心的坐标为(x，y)，根据题意建立关系即可求出；

（2）联立直线AB和抛物线方程，表示出坐标，即可表示出△EMN的面积，利用基本不等式可求出最小值；

（3）联立直线AB和抛物线方程，表示出坐标，即可得出直线MN方程，求出定点.

（1）

设动圆圆心的坐标为(x，y)，

由题意知，化简得y2＝4x，

所以动圆圆心的轨迹H的方程为y2＝4x.

（2）

当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，

因为AB⊥CD，所以k1k2＝－1.

设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立，消去x并整理，得k1y2－4y－4k1＝0，

则，y1y2＝－4，.

因为，所以.

同理，可得．

所以

，

当且仅当，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.

（3）

设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立，消去x并整理，得k1y2－4y－4k1m＝0，

则，

.

因为，所以.

同理，可得，

所以，

所以直线MN的方程为

即y＝k1k2(x－m)＋2，所以直线MN过定点(m，2)．

22．（2021·浙江·模拟预测）已知椭圆，过的直线与椭圆交于两点，过的直线与椭圆交于两点.

（1）当的斜率是时，用表示出的值；

（2）若直线的倾斜角互补，是否存在实数，使为定值，若存在，求出该定值及，若不存在，说明理由.

【答案】

（1）

（2）存在，定值为，理由见解析

【分析】

（1）直线的方程：与椭圆方程联立消可得，再由弦长公式计算即可求解；

（2）当直线的斜率存在时：设，，直线的方程：与椭圆方程联立可得，代入整理，当直线的斜率不存在时，分别计算和，再计算即可求解.

（1）

设直线的方程：，

由可得，

所以，

因此.

（2）

当直线的斜率存在时：

设直线的方程：，，，

由得，

则，，

所以

所以当时，为常数，

当直线的斜率不存在时，，

将代入可得

，

所以，当时，成立，

综上所述：当时，为常数.