高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题10.2   复数

【知识清单】

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i (c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[常用结论]

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

(4)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：

(1)；(2)；(3)；(4)；

(5)；(6).

***复数的三角形式、运算及其几何意义

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

2．复数三角形式的乘、除运算

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则

(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=

r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]

(2)＝

＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

【考点分类剖析】

考点一 ：复数的有关概念与性质

【典例1】（2020·全国高三其他（文））若复数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的虚部为 C． D．

【答案】D

【解析】

因为，所以，故A错；

的虚部为1，故B错；，故C错；，故D正确.

故选：D

【典例2】（2020·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（    ）

A．1 B．–1 C．2 D．–2

【答案】C

【解析】

因为为实数，所以，

故选：C

【典例3】（2021·浙江·镇海中学模拟预测）若复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数________，________．

【答案】2       

【分析】

由复数为纯虚数的充要条件求出m的值，再由模的意义即可得解.

【详解】

因复数为纯虚数，且m为实数，

则有，解得，

此时，

故答案为：2；

【总结提升】

求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．

【变式探究】

1. （2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（  ）

A．-1 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

因为 ，，

所以，则，故选B.

2.（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III，理3)设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（    ）

A． B．

C． D．2

【答案】C

【解析】

由题意可得，由复数求模的法则可得，则.

故选C.

考点二 ：复数的几何意义

【典例4】（2020·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意得，.

故选：B.

【典例5】（2021·浙江浙江·模拟预测）已知，， i是虚数单位，则______；若复数，则在复平面内对应的点位于第______象限.

【答案】0    二   

【分析】

根据乘法法则，可得，根据复数相等的条件，可得a，b，分析即可得答案.

【详解】

由，得，

由复数相等的充要条件得，解得，，

所以，

所以，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.

故答案为：0；二.

【总结提升】

1．复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

4.提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．

【变式探究】

1.（2019·全国高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

则．故选C．

2．（2019·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】

由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．

考点三：复数的四则运算

【典例6】（2019·全国高考真题（文））设z=i(2+i)，则=（    ）

A．1+2i B．–1+2i

C．1–2i D．–1–2i

【答案】D

【解析】

，

所以，选D．

【典例7】（2019·江苏高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.

【答案】2.

【解析】

，

令得.

【总结提升】

复数四则运算的解题策略

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．

(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．

(3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.

（4）注意应用：①(1±i)2＝±2i；②＝i,＝－i.

【变式探究】

1.（2021·广东福田·高三月考）已知（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求出共轭复数，再利用复数的运算法则即可求出答案.

【详解】

因为，，

，

故选：B

2. （2018·浙江·高三学业考试）已知，（是虚数单位），则________，________.

【答案】4    10；   

【分析】

由复数乘法运算借助复数相等即可得a，b值而得解.

【详解】

解：因，则有，而，，

所以，解得，所以，，

故答案为：；.

考点四：数的三角形式、运算及其几何意义**

【典例8】（2021·全国·高一课时练习）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.

【答案】4

【分析】

由概念求出模长和辐角，再根据即可求解

【详解】

模长|z|==4，设辐角为θ，，且点(-2，2)在第二象限，得辐角主值为π，故z=4.

故答案为：4

【典例9】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．

（1）4；（2）2

【答案】（1）2＋2i；（2）1－i.

【解析】(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.

4＝4cos＋4isin

＝4×＋4×i

＝2＋2i.

(2)2

＝2

＝2.所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.

2＝2cosπ＋2isinπ

＝2×＋2×i.

＝1－i.

【典例10】（2021·全国·高一课时练习）________.

【答案】i

【分析】

根据复数的三角形式的运算法则，准确计算，即可求解.

【详解】

根据复数的三角形式的运算法则，可得：

.

故答案为：

【规律方法】

1.复数的代数形式化为三角形式的步骤

（1）先求复数的模.

（2）决定辐角所在的象限.

（3）根据象限求出辐角.

（4）求出复数的三角形式.

2.提醒：

(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．

(2)复数0的辐角是任意的．

(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.

(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.

3.复数的三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.如（2）小题.

4.三角形式运算：

（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．

（2）除法法则：模相除，辐角相减．

（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．

拓广：

(1)有限个复数相乘，结论亦成立．

即z1·z2…zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…rn(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．

(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．

【变式探究】

1. 在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．

【答案】-2i.

【解析】因为3－i＝2＝2，

所以2×

＝2

＝2

＝2

＝3＋i

2×

＝2＝2＝－2i.

故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.

【规律方法】

两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.