高考数学一轮复习 专题11.3 二项式定理（讲）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题11.3   二项式定理新课程考试要求1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.核心素养本节涉及培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.高考预测（1）考查二项式定理；（2）考查通项公式的应用；（3）考查二项式系数的性质.（4）热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等.【知识清单】一. 二项式定理1. 二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，.二. 二项式系数的性质1. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，2.注意:（1）．分清是第项，而不是第项.(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．三. 二项式定理的应用二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①；②；（5）证明不等式.【考点分类剖析】考点一 ：  二项式定理【典例1】（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为（   ）A.15 B.20C.30 D.35【答案】C【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】【解析】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【典例3】（2020·天津高考真题）在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【典例4】（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，，因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.【规律方法】1.二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．3．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法逐层展开法的求解步骤：【变式探究】1.（2018·全国高考真题（理））的展开式中的系数为（    ）A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由题可得令,则所以故选C.2.（2019·天津高考真题（理））是展开式中的常数项为________.【答案】【解析】，由，得，所以的常数项为.3.（2020·浙江省高考真题）设，则a5=________；a1+a2 + a3=________．【答案】80
    122    【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】的通项为，令，则，故；.故答案为：80；1224.（2017·山东高考真题（理））已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.【答案】【解析】（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．∵含有x2的系数是54，∴r＝2．∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案为：4．【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．考点二 ：  二项式系数的性质及各项系数和【典例5】（2021·浙江·高三期中）若多项式，则_______．【答案】29【分析】在中令，则.方法一：构造，求出的系数即为，即可求解.方法二：对原式二次导数，令即可求出，即可求解.【详解】方法一：令则，，所以方法二：令则，，令，则，．【典例6】（2021·上海·格致中学高三期中）如果，则______.【答案】127【分析】依题意可得，计算，然后计算即可.【详解】由题可知: ，所以所以，由，所以结果为127故答案为：127【典例7】（2021·广东·广州市协和中学高二期中）已知，则________________.【答案】【分析】首先根据二项式系数性质得到为正数，为负数，从而得到，再令求解即可.【详解】由题知：中，为正数，为负数，所以.令得：，所以故答案为：243【总结提升】1.赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．3．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．【变式探究】1.（2019·内蒙古高二期中（理））已知，，则自然数等于（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由题意，令，则，因为，所以，解得.故选：C.2.（2021·浙江·高三月考）已知多项式，则__________，__________.【答案】    2    【分析】根据题意由二项式定理，逐个分析系数即可．【详解】解：中，系数为1，系数为3，系数为3，常数项为1，中，系数为1，系数为，常数项为4．则，，，，则，故答案为：，．3.（2021·浙江丽水·高三期中）若，则________，________．【答案】        【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：，令，得，结合得所求解．【详解】由题意可知为展开式的系数，由二项式定理可得：的通项公式为，所以令，得，所以.因为令，得，所以故答案为：；．【特别提醒】1.对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；[来源:学_科_网]③证明不等式时，应注意运用放缩法.2.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. 3.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.考点三 ： 二项式定理的应用【典例8】（2012·湖北高考真题（理））设，且，若能被13整除，则（    ）A．0 B．1C．11 D．12【答案】D【解析】本题考察二项展开式的系数.由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.【典例9】（2019·湖北高二期末（理））的计算结果精确到个位的近似值为（    ）A.106 B.107 C.108 D.109【答案】B【解析】∵，∴.故选：B【典例10】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（    ）A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“，，”猜想【答案】ABC【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；，故D错误.故选：ABC.【典例11】（2021·全国·高二课时练习）当是大于的正整数且时，求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用二项式定理可得展开式，由可得结论.【详解】由二项式定理可知：，，，.【总结提升】二项式定理应用的常见题型及求解策略1．逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．2．利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．3. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.【特别提醒】用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【变式探究】1．（多选题）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设，下列结论正确的是（    ）A． B．C．中最大的是 D．当时，除以2000的余数是1【答案】ABD【解析】将原二项展开式转化为，再逐一判断.详解：由，得，所以，故A正确；，故B正确；中最大的是，故C错误；当时，，能被2000整除，所以除以2000的余数是1，故D正确；故选：ABD2.若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是            .【答案】0或7【解析】根据二项式定理可知，7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－1＝8n－1，又因为8n－1＝(9－1)n－1＝9n＋C9n－1·(－1)＋C9n－2·(－1)2＋…＋C9·(－1)n－1＋(－1)n－1，所以当n为偶数时，除以9的余数为0，当n为奇数时，除以9的余数为7.3.（2021·全国·高三专题练习）（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641 …… 【答案】455【分析】对数据进行多角度观察，进而找出每一行的数与数之间，行与行之间的规律，进而求得答案.【详解】由题图可知，第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，…，观察可得第n行第r（）个数为，所以第15行第13个数为．故答案为：455.4.（2021·全国·高二课时练习）设，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）分别令和，作差即可得到结果；（2）令即可求得结果；（3）由和所得式子作和即可推导得到结果.（1）令得：；令得：，.（2）令得：.（3）由（1）（2）知：，两式作和得：，.