高考数学一轮复习 专题11.4 随机事件的概率与古典概型（讲）

这是一份高考数学一轮复习 专题11.4 随机事件的概率与古典概型（讲），文件包含专题114随机事件的概率与古典概型讲教师版docx、专题114随机事件的概率与古典概型讲学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题11.4   随机事件的概率与古典概型新课程考试要求1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率的概念.2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.核心素养本节涉及培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.高考预测（1）考查互斥事件、对立事件；（2）考查古典概型概率的计算.（3）以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.【知识清单】一. 随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件．(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示．2．频率与概率(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率．(2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.4.事件的关系与运算 定义符号表示包含关系如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件) (或)相等关系若且，那么称事件与事件相等并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)(或)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)(或)互斥事件若为不可能事件，那么称事件与事件互斥对立事件若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件且5.随机事件的概率事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率：.(3)不可能事件的概率：.(4)互斥事件的概率加法公式：①(互斥)，且有．② (彼此互斥)．(5)对立事件的概率：．二. 古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：P(A)＝.[常用结论]1．频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．2．互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立．3．概率加法公式的注意点(1)要确定A，B互斥方可运用公式．(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立．【考点分类剖析】考点一 ：  随机事件间的关系【典例1】（2020·云南丽江第一高级中学高二期中）抽查件产品，设“至少抽到件次品”为事件，则的对立事件是（    ）A．至多抽到件正品 B．至多抽到件次品C．至多抽到件正品 D．至多抽到件正品【答案】B【解析】根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，事件“至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”与“至少抽到件次品”能同时发生，不是对立事件；只有事件“至多2件次品”与“至少抽到件次品” 不能同时发生且他们的和事件为必然事件，是的对立事件， 故选：．【典例2】（2021·陕西·西安中学高二月考（理））篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件A为“三次投球全不是三分球”，事件B为“三次全是三分球”，事件C为“三次投球不全是三分球”，则下列结论正确的是（    ）A．A与C对立 B．B与C对立 C．任两个均对立 D．任两个均不对立【答案】B【分析】根据对立事件的定义判断可得；【详解】解：篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件为“三次投球全不是三分球”，事件为“三次全是三分球”，事件为“三次投球不全是三分球”，对于，事件与事件能同时发生，不是对立事件，故错误；对于，事件与事件是对立事件，故正确；对于，事件与事件能同时发生，不是对立事件，故错误；对于，事件与事件是对立事件，故错误．故选：．【总结提升】事件间的关系的判断方法1.判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．2.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．3.判断互斥、对立事件的2种方法: (1)定义法: 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2) 集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集即：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．【变式探究】1.（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高二期中）某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（    ）A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶【答案】C【分析】结合互斥事件，对立事件的概念逐一判断选项.【详解】解：至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；D选项，为对立事件，故D错误.故选：C2．（2020·云南高二月考）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球【答案】C【解析】根据互斥事件和对立事件的概念依次判断每个选项即可.【详解】至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件不是对立事件；至少有1个白球；都是红球，是互斥事件和对立事件.故选：C考点二 ：　随机事件的频率与概率【典例3】（2020·湖南高一期末）下列说法正确的是（    ）A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】AB【解析】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确．对于C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误．对于D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为，故D错．故选：AB．【典例4】【多选题】（2021·广东顺德·高二期中）掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现点或点”，事件表示事件“点数不超过”，事件表示事件“点数大于”，则（    ）A．事件与是独立事件 B．事件与是互斥事件C．事件与是对立事件 D．【答案】AB【分析】由概率可确定事件与为独立事件，知A正确；根据互斥和对立事件定义可知BC正误；由事件可确定，知D错误.【详解】由题意知：，，，事件与是独立事件，A正确；事件与不能同时发生，与是互斥事件，B正确；点数为时，既不属于事件，也不属于事件，事件与不是对立事件，C错误；事件是“点数为点”，，D错误.故选：AB.【总结提升】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的．而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．3．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点  求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．【变式探究】1．（2020·黑龙江哈尔滨三中高一开学考试）将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：投篮次数102030405060708090100投中次数7152330384553606875投中频率投中次数8142332354352617080投中频率 下面有三个推断：①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（    ）.A．① B．② C．①③ D．②③【答案】B【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.2. （2016高考新课标2文选）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234频数605030302010（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求的估计值；【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）0.3.【解析】（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为，故P(A)的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，故P(B)的估计值为0.3.考点三 ：　互斥事件与对立事件的概率【典例5】（2018·全国高考真题（文））若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（    ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以，故选B.【典例6】（2022·全国·高三专题练习）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.【答案】0.21【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C则，则故答案为：0.21【规律方法】1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2. 判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．3．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.对于个互斥事件，其加法公式为.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.【变式探究】1. （2019·辽宁高一期末）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（    ）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75【答案】D【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，所以摸出黑球或红球的概率，故选D.2.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【答案】得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.【解析】设任取一个小球得到红球、黑球、黄球、绿球的事件分别为，则它们彼此是互斥事件.由题意得，，，又事件与事件对立，所以，而，所以，，所以，所以，所以得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.【特别提醒】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)考点四 ：　简单的古典概型【典例7】（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.【典例8】（2019·全国高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（     ）A． B．C． D．【答案】B【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B．【总结提升】1.计算古典概型事件的概率可分三步 (1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．2. 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.【变式探究】1.（2017·全国高考真题（文））从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= 2. （2021·广东福田·高三月考）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则的概率为________．【答案】##【分析】确定样本空间和“”包含的样本点个数，再利用古典概型的概率公式进行求解.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则样本空间Ω共个样本点；这36个样本点发生的可能性是相等的．设事件A为“”，则事件A包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(6，3)，共9个；所以．故答案为：.【特别提醒】1. 古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．2.古典概型中的基本事件都是互斥的考点五 ：  复杂的古典概型【典例9】（2021·广东·顺德一中高二期中）在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿一黑色布袋，袋中有3只黄色､3只白色的乒乓球（其体积､质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（2）假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？【答案】（1）（2）6000元【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求得摸得同一颜色的概率，从而估计500人次中摸得同一颜色和非同一颜色的次数求解；（1）解：把3只黄色乒乓球标记为A､B､C，3只白色的乒乓球标记为1､2､3，从6个球中随机摸出3个的基本事件为：､､､､､､､､､､､､､､､､､､､123，共20个，设事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，则（2）设事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，则，假定一天中有500人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有50次，不发生450次.则一天可赚450×1-50×5=200，每月可赚6000元.【典例10】（浙江高考真题（文））一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球. 已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，从中任意摸出2个球，至少得到1 个白球的概率是. 求：（1）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（2）袋中白球的个数【答案】（1）；（2）5个.【解析】（Ⅰ）由题意知，袋中黑球的个数为记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B.设袋中白球的个数为x，则得到x=5故袋中白球个数为5个【特别提醒】1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用．【变式探究】1．（2020·广东·大沥高中模拟预测）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，即可求解.【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；甲被分到A班，有两种情况：甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；综上可知，甲被分到班的概率为.故选：B.2.（2020·浙江高三月考）在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有___________种（用数字作答）；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为____________.【答案】625        【解析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有种；若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程，其中一人独自选一科，另外三人选一科，共有不同的选报方案种，其中两人选一科，另外两人选另一科，共有不同的选报方案种，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为故答案为：考点六 ：　古典概型的交汇问题【典例11】设连续掷两次骰子得到的点数分别为，，令平面向量，，则事件“”发生的概率为__________；事件“”发生的概率为__________.【答案】        【解析】（1）由题意知，、，故(m，n)所有可能的取法共36种.当时，得m-3n=0，即m=3n，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，所以事件的概率.（2）当时，可得m2+n2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，其概率.故答案为：；.【典例12】（2019·上海市建平中学高三）已知方程表示的曲线为，任取，则曲线表示焦距等于的椭圆的概率等于________.【答案】【解析】所有可能的的组数为：，又因为焦距，所以，所以，则满足条件的有：，共组，所以概率为：.故答案为：.【特别提醒】求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识(平面向量、直线与圆、函数、统计等)转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：【变式探究】1．（2021·广东·佛山市南海区九江中学高二月考）先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由乘法原理可知，基本事件的总数是36，结合已知条件可知，当时，符合要求，有1种情况；当时，符合要求，有1种情况；当时，符合要求，有2种情况；当时，符合要求，有6种情况；当时，符合要求，有2种情况；当时，符合要求，有2种情况，所以能构成等腰三角形的共有14种情况，故a，b，4能够构成等腰三角形的概率.故选：D.2.（2019·上海市控江中学高三）甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则掷出的点数满足的概率为________（用最简分数表示）.【答案】【解析】由题可知，基本事件总数，掷出的点数满足包含的基本事件，，有：当时，有：，2，，，1，，，3，，，2，，，4，，，3，，，5，，，4，，，6，，，5，，共10个；当时，有：，3，，，1，，，4，，，2，，，5，，，3，，，4，，，6，，共8个；当时，有，4，，，1，，，5，，，2，，，6，，，3，，共6个；当时，有，5，，，1，，，6，，，2，，共4个；当时，有，6，，，1，，共2个；合计共30个，掷出的点数满足的概率为．故答案为：．