2022合肥高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题含解析

合肥市2022年高三第二次教学质量检测

数学试题（文科）

（考试时间：120分钟  满分：150分）

注意事项：

1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.

2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.

第I卷（满分60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 设复数满足，则（    ）

A.  B. 4 C.  D.

3. 已知双曲线的渐近线方程，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意给定正整数，如果是奇数，则将其乘加；如果是偶数，则将其除以，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输出的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 设等差数列的前项和为，，则的值为（    ）

A. 10 B. 12 C. 13 D. 14

7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是奇函数，当时，的值域为（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 函数（是自然对数的底数）的图象关于（    ）

A. 点对称 B. 点对称

C. 直线对称 D. 直线对称

10. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（    ）

A.  B.

C.  D.

第II卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．

13. 已知向量，，若、、三点共线，则_____．

14. 如图，圆柱的轴截面是正方形，是底面圆的直径，是母线，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．

15. 已知数列前项和，记，若数列中去掉数列中项后，余下的项按原来顺序组成数列，则数列的前50项和为________．

16. 过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与轴交于点，，则__________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量（单位：千万辆）折线图．

（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）

（1）由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．

参考数据：，，，，，．

参考公式：相关系数，线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

18. 在中，内角，，所对边的长分别为，，，满足___________.

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

（1）求的大小；

（2）若是的角平分线，且，，求的面积.

19. 如图，在矩形中，，点为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，使得，连结，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求点到平面距离．

20. 已知函数．

（1）设函数，若是区间上的增函数，求的取值范围；

（2）当时，证明函数在区间上有且仅有一个零点．

21. 已知椭圆左焦点为，右顶点为，离心率为，为椭圆上一动点， 面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点直线与椭圆的另一个交点为，为线段的中点，射线与椭圆交于点．点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．

请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与直线交于点，直线与曲线交于点，且，求实数的值．

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数的最小值为．

（1）求;

（2）已知，，为正数，且，求的最小值．