人教版九年级上册21.2.1 配方法课堂检测

这是一份人教版九年级上册21.2.1 配方法课堂检测，共22页。试卷主要包含了配方法解一元二次方程，用于求待定字母的值，用于求最值，用于证明等内容，欢迎下载使用。
第02课  一元二次方程的解法（二）—配方法  课程标准课标解读1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.1.理解配方法的应用原理；2.区分代数式配方与方程配方； 知识点01  一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【知识拓展】（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．知识点02  配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【知识拓展】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．考法01  配方法解一元二次方程【典例1】解方程： ．【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【即学即练1】用配方法解方程. (1)；  　              (2).     【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或x-2= ．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．考法02  配方法在代数中的应用【典例2】若代数式，，则的值（　　）Ａ．一定是负数  Ｂ．一定是正数  Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【点睛】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小. 【典例3】用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．【解析】解： =﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣ ，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，即 的值一定小于0．【点睛】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．【即学即练2】求代数式 的最小值【答案】 ∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式x2+8x+17的最小值是1. 【典例4】已知，求的值．【分析】解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式．【解析】将原式进行配方，得，即，∴  且，∴  ，．∴  ．【点睛】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出 的值．  题组A  基础过关练1．一元二次方程配方后可变形为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先移项，再方程两边同加上16，即可得到答案．【详解】，，，，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方法是解题的关键．2．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2【答案】A【分析】把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【详解】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝7，等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32，x2﹣6x+32＝7+32，∴（x﹣3）2＝16；故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．3．用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ）A．2（x-1）2=1 B．2（x-1）2=5 C．（x-1）2= D．（x-2）2=【答案】C【解析】【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以2，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方1，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.【详解】2x2-4x-2=1， 2x2-4x=3，x2-2x=，x2-2x+1=+1， ，故选C.【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.4．用配方法解方程 ，则方程可变形为（    ）A．（x-2）2= B．2（x-2）2= C．（x-1）2= D．（2x-1）2=1【答案】C【分析】根据一元二次方程配方法可直接排除选项．【详解】解：，则，，，即．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键．5．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ）A．化为 B．化为C．化为 D．化为【答案】C【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．【详解】A、由原方程，得，等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得；故本选项正确；B、由原方程，得，等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，，故本选项正确；C、由原方程，得，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x＋4）2＝7；故本选项错误；D、由原方程，得3x2−4x＝2，化二次项系数为1，得x2−x＝等式的两边同时加上一次项系数−的一半的平方，得；故本选项正确．故选：C．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6．方程的解是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用配方法求解即可．【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得．方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得．配方得．解得，．故选C．【点睛】此题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．7．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（  ）A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69【答案】A【分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：移项得，配方得，即，∴a=-4，b=21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．用配方法解方程 ，则方程可变形为（　　）A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=【答案】D【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形即可得到结果．【详解】3x2﹣6x+1=0方程变形得：x2−2x＝−，
配方得：x2−2x＋1＝，即（x−1）2＝，
故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．题组B  能力提升练1．填空，将左边的多项式配成完全平方式：(1) _____ =_____；(2) _____ =_____；(3) _____=_____.【答案】4    2            1    1    【分析】利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行解题即可【详解】（1）4 =2；（2） =；（3）【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题关键2．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．【答案】-7【分析】利用配方法把变形为（x-2）-9，则可得到m和k的值，然后计算m+k的值．【详解】x−4x−5=x−4x+4−4−5=(x−2) −9，所以m=2，k=−9，所以m+k=2−9=−7.故答案为-7【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则.3．代数式x2＋4x＋7的最小值为____．【答案】3【分析】配方可求最小值.【详解】x2＋4x＋7=(x+2)2+3,故(x+2)2+3.故最小值是3.【点睛】配方法把代数式化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值.4．将二次三项式x2＋4x＋5化成(x＋p)2＋q的形式应为____.【答案】(x＋2)2＋1【详解】试题分析：原式=+4x+4+1=故答案为：考点：配方法5．用配方法解方程时，可配方为，其中________．【答案】-6【分析】把方程左边配成完全平方，与比较即可.【详解】，，，可配方为，.故答案为.【点睛】本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键.6．t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是____．【答案】－3【分析】a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简（a2-1）（b2-1）即可求解．【详解】∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根，∴可得a+b=2，ab=t-1≥0，∴t≥1，又△=4-4（t-1）≥0，可得t≤2，∴2≥t≥1，又（a2-1）（b2-1）=（ab）2-（a2+b2）+1=（ab）2-（a+b）2+2ab+1，∴（a2-1）（b2-1），=（t-1）2-4+2（t-1）+1，=t2-4，又∵2≥t≥1，∴0≥t2-4≥-3，故答案为-3．7．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　   　）2+　   　；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【详解】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+1的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．【答案】（1）；（2）5．【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案；（2）同理（1）.【详解】（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥，则m2+m+1的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值是5．【点睛】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解. 题组C  培优拔尖练1．用配方法求的最大值．【答案】4【分析】将代数式前两项提取-3变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可．【详解】解：===∵，∴，∴的最大值为4．【点睛】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．2．（1）已知，求的值；（2）求证：不论x，y为何实数，的值总是正数；【答案】（1）8；（2）见解析【分析】（1）把13x2-6xy+y2-4x+1=0化为（3x-y）2+（2x-1）2=0，求出x，y的值再求出结果．（2）将多项式运用完全平方公式变形为，再根据非负数的性质，判断出代数式大于等于3，进而得知值是正数．【详解】解：（1）∵13x2-6xy+y2-4x+1=0，∴（3x-y）2+（2x-1）2=0，解得，x=，y=，∴==．（2）==≥3，即不论x、y为何实数，的值总是正数．【点睛】本题主要考查了完全平方公式与因式分解的应用，同学们在解题中特别要注意灵活运用非负数的性质．3．阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题：（1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值；（2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由；（3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值．【答案】（1）有最小值，最小值是﹣4；（2）A＞B，见解析；（3）x的值为1，m的值为﹣．【分析】（1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最值即可；（2）利用作差法判断即可；（3）先将关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3配方，再根据最大值为2，得出关于m的方程，解得m的值，然后可求得x的值．【详解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴多项式x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4；（2）∵A＝4x2﹣3x+a2，B＝3x2+5x﹣17，∴A﹣B＝4x2﹣3x+a2﹣（3x2+5x﹣17）＝x2﹣8x+a2+17＝（x﹣4）2+a2+1，∵（x﹣4）2≥0，a2+1≥1，∴（x﹣4）2+a2+1≥1，∴A＞B；（3）﹣x2﹣4mx+4m+3＝﹣（x2+4mx）+4m+3＝﹣（x+2m）2+4m2+4m+3，∵最大值为2，∴4m2+4m+3＝2，∴（2m+1）2＝0，∴m1＝m2＝﹣，∴x＝﹣2m＝1．∴x的值为1，m的值为﹣．【点睛】本题考查了配方法在最值问题以及多项式比较大小中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．4．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：分解因式          ；（2）把写成后，求出的值；（3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）等边三角形，理由见解析【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得出答案；
（2）通过配方后，化为的形式，再=，即可得出答案；
（3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出a，b，c的关系，进而得出△ABC的形状．【详解】解：（1）4a2-4a+1=（2a-1）2；
故答案为：；（2）解：，（3）解：，，即．为等边三角形．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．5．阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不 是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)，再例如求代数式2x2+4x-6的最小值．解： 2x2+4x-6=2（x2+2x-3）=2[(x2+2x+1)-4]=2[(x+1)2-4]=2(x+1)2-8可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： m2-4m-5 （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．【答案】（1）；（2）时有最小值，最小值为5．【分析】（1）根据材料，利用配方可将原式变为，再根据完全平方式可得，最后利用平方差公式分解即可．（2）利用配方可将原多项式改为，再根据偶次方的非负性解答即可．【详解】（1）原式（2）多项式即当时，有最小值为5．【点睛】本题考查配方法，利用平方差公式因式分解，偶次方的非负性．注意配方的步骤和式子的变形过程不要改变原式子的值．6．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当，时，有，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当时，的最小值为      ；当时，的最大值为      ．（2）当时，求的最小值．（3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为9和16，求四边形面积的最小值．【答案】（1）2；；（2）11；（3）49【分析】（1）当x＞0时，直接根据公式a+b≥2计算即可；当x＜0时，先将x+ 变形为-（-x-），再根据公式a+b≥2计算即可；
（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a+b≥2计算的形式，计算即可；
（3）根据等高三角形的性质计算即可．【详解】（1）当时，，∴的最小值为2，当时，，，∴，∴，∴当时，的最大值为．（2）∵，∴，∵，∴，即，∴最小值为11．（3）设，∵与同高，与同高，∴，由题知，，∴，∴，∵，∵，∴，∴四边形面积的最小值为49．【点睛】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．7．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）．）阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；（2）将配方（至少两种形式）；（3）已知，求的值．【答案】（1），，；（2），；（3）4【分析】（1）（2）根据题中所给的已知材料可得x2-4x+2和a2+ab+b2的多种配方形式；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．【详解】解：（1）的三种配方分别为：，，；（2），；（3），，=0，从而有，，，即，，，．【点睛】本题考查了根据完全平方公式：进行配方的能力．