初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程习题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程习题，共25页。试卷主要包含了解决应用题的一般步骤，形积问题等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点02 一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.常见模型问题
常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：
（1）平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么：
增长第一次价格为： SKIPIF 1 < 0 ；
增长第二次在上一次价格的基础上再乘（1+x），即 SKIPIF 1 < 0
最终价格 SKIPIF 1 < 0 ，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可）
“累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则：
第一个月为a，第二个月为 SKIPIF 1 < 0 ，第三个月为 SKIPIF 1 < 0 ，所以三个月累计 SKIPIF 1 < 0
（2）平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么：
增长第一次价格为： SKIPIF 1 < 0 ；
增长第二次在上一次价格的基础上再乘 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
最终价格 SKIPIF 1 < 0 ，得出等量关系；
（3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则：
（4）握手问题：
这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：
首先A站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；
然后B站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；
以此类推，每个人都站起来和其余人握手，
一共握手： SKIPIF 1 < 0 次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以 SKIPIF 1 < 0 去重复；也就是一共握手 SKIPIF 1 < 0 次。
由此推广。当人数为x时，一共握手 SKIPIF 1 < 0 次；
送礼问题，与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为： SKIPIF 1 < 0 =总次数；
3.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
能力拓展
考法01 数字问题
【典例1】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【解析】
设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．
【点睛】
数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．
【即学即练1】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.
【答案】设个位数字为，则十位数字为.
由题意，得：
整理，得：
解方程，得：
∴
经检验，不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）
∴当时, =2
∴
答：这个两位数为24.
考法02 平均变化率问题
【典例2】随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【分析】
设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列出方程求解即可．
【详解】
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2=98
解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【即学即练2】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，
求平均每次降价率.
【答案】设平均每次降价率为，
则第一次降价为，降价后价格为：，
第二次降价为：，降价后价格为：
.
根据题意列方程，得：
∴，
不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）
∴
答：平均每次下降率为.
考法03 形积问题
【典例3】如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．
（1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180 SKIPIF 1 < 0 ?
（2）能围成总面积为240 SKIPIF 1 < 0 的长方形花圃吗?说明理由.
【答案】（1）10米；（2）不能围成总面积为 SKIPIF 1 < 0 的长方形花圃，见解析.
【分析】
（1）设出AB的长是x米，则BC的长为（48-3x）米，由长方形的面积计算公式列方程解答即可；
（2）利用（1）的方法列出方程，利用判别式进行解答．
【详解】
解：（1）设AB的长是x米，则BC的长为（48-3x）米，根据题意列方程得，
x（48-3x）=180，
解得x1=6，x2=10，
当x=6时，48-3x=30＞25，不符合题意，舍去；
当x=10时，48-3x=18＜25，符合题意；
答：当AB的长是10米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2．
（2）不能，理由如下：
同（1）可得x（48-3x）=240，
整理得x2-16x+80=0，
△=（-16）2-4×80=-64＜0，
所以此方程无解，
即不能围成总面积为240m2的长方形花圃．
【点睛】
此题主要考查运用长方形面积计算方法列一元二次方程解决实际问题与根的判别式的应用．
【即学即练3】如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【详解】
试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20
考点：一元二次方程的应用．
【即学即练4】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
【答案】（1）24﹣3x；（2）花圃的长为9米，宽为5米．
【解析】
（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
解：（1）设宽AB为x，
则长AD=BC=22﹣3x+2=（24﹣3x）米；
（2）由题意可得：（22﹣3x+2）x=45，
解得：x1=3；x2=5，
∴当AB=3时，BC=15＞14，不符合题意舍去，
当AB=5时，BC=9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
【即学即练5】改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（ SKIPIF 1 < 0 ）16 SKIPIF 1 < 0 ，宽（ SKIPIF 1 < 0 ）9 SKIPIF 1 < 0 的矩形场地 SKIPIF 1 < 0 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 SKIPIF 1 < 0 平行，另一条与 SKIPIF 1 < 0 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 SKIPIF 1 < 0 ，则小路的宽应为多少？
【答案】小路的宽应为1 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】
解：设小路的宽应为x米，
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 不符合题意，舍去，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
答：小路的宽应为1米．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
考法04 动点问题
【典例4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．
（1）经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．
【答案】（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（1）△PBQ的面积不能等于7cm2．
【解析】
试题分析：（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．
（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
试题解析：(1)设x秒后，∆PBQ的面积等于4cm2 ，
此时，AQ=x cm, QB=（5-x）cm. BP=2xcm,
由 SKIPIF 1 < 0 QB·BP=4得 SKIPIF 1 < 0 (5-x)·2x=4 ，
整理，得x2-5x+4=0，
解得x1=l，x2=4(不合题意，舍去)
所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm2 .
(2)根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 （5-x）·2x=7 ,
整理，得x2-5x+7=0 ,
因为b2-4ac=25-28