数学九年级上册22.1.1 二次函数精练

第13课  待定系数法求二次函数的解析式

知识点01  用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

    (1)一般式：                     (a，b，c为常数，a≠0)；

    (2)顶点式：                     (a，h，k为常数，a≠0)；

    (3)交点式：                     (，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：                                                  ；

    第二步，代：                                                  ；

    第三步，解：                                                  ；

    第四步，还原：                                                  ．

要点诠释：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：

①当已知                                        ，可设函数的解析式为；

②当已知                                        ，可设函数的解析式为；

③当已知                                        ，可设函数的解析式为．

考法01   用待定系数法求二次函数解析式

【典例1】已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.

【即学即练1】已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．

【典例2】已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

【即学即练2】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.

【典例3】抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　            　．当x　              　时，y＞0．

考法02  用待定系数法解题

【典例4】已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．

    (1)求二次函数解析式；

    (2)求△ABC的面积．

题组A  基础过关练

1．已知一条抛物线经过 E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为(    )

A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G

2．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为          ．

3．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是_____．

4．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．

5．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．

6．二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点D（3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标．

7．已知二次函数的图像的顶点坐标为A（3，3），且过点B（2，0），求该函数的关系式．

8．已知抛物线对称轴为直线x＝3，且抛物线经过点A(2，0)，B(1，6)，求抛物线解析式．

题组B  能力提升练

1．已知抛物线的顶点坐标为，它与轴有两个交点，两交点间的距离为6，则此抛物线的解析式为__________．

2．关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点

（1）求二次函数的解析式；

（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.

3．已知二次函数的图象经过两点．

（1）求的值．

（2）试判断点是否在此函数的图象上．

4．已知抛物线经过，两点．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．

5．已知二次函数的图象经过两点，求此二次函数的解析式．

6．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.

(1)求k的值：

(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.

7．已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上

（1）求m、n的关系式；

（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式．

题组C  培优拔尖练

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

2．如图，抛物线的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点、．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求抛物线的解析式．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知二次函数（）与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中．

（1）请求出以上两个函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）求的面积．

4．如图，已知抛物线的方程y=－ (x+2)(x－m)  (m>0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2) 

（1）求该抛物线的解析式   

（2）在(1)的条件下，求△BCE的面积   

（3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小。求出点H的坐标。

5．如图，▱ABCD与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC＝4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求BD的函数表达式．