初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课时训练

第15课  实际问题与二次函数

知识点01  列二次函数解应用题

　列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

    (1)                ，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．

    (2)                ，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

    (3)                ，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

    (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

    (5)                ：即是否为所提问题的答案．

    (6)写出答案．

要点诠释：

常见的问题：

求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
 

知识点01  建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：

(1)                ；

(2)                ；

(3)                ；

(4)                ；

(5)                ．

要点诠释：

(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
  　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.

考法01   利用二次函数求实际问题中的最大（小）值

【典例1】凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

【即学即练1】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）

考法02   利用二次函数解决抛物线形建筑问题

【典例2】某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后

的最大高度应是多少m？

考法03   利用二次函数求跳水、投篮等实际问题

【典例3】如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

考法04   利用二次函数求图形的边长、面积等问题

【典例4】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．

    (1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

    (2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．

    ①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；

②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)

【即学即练2】如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是　       　．

题组A  基础过关练

1．已知某商品销售利润y(元)与该商品销售单价x(元)之间满足y=-20x2+1400x-20000,则获利最多为（      ）

A   4500      B  5500        C  450    D  20000

2．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第 14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（        ）秒

A．第 8秒 B．第10秒 C．第 12秒 D．第15秒

3．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________．

4．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．

5．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是____________________

6．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m．

7．某商店将进价为 30 元的商品按售价 50 元出售时，能卖 500 件．已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，且尽量减少库存，售价应 为多少元？

题组B  能力提升练

1．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米．

2．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．

3．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

4．（10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系.

  （1）直接写出与x之间的函数关系式；

  （2）求月产量x的范围；

  （3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

题组C  培优拔尖练

1．某旅行社有张床位，每床每晚收费元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过元的情况下，若每床的收费提高元，则减少张床位租出，若收费再提高元，则再减少张床位租出，以每次提高元的这种方式变化下去，为了获得元的收入，每床的收费每晚应提高_____元

2．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为_____________．

3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求AE的长（用x的代数式表示）

（2）当y=108m2时，求x的值

4．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）和（2）所示，如图建立直角坐标系，已知 ，顶点P.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外.

5．为减少疫情对农产品销售的影响，年轻党员干部晓辉借助“学习强国”平台直播活动，向网友们大力推介自己乡镇的特色农产品，让原本面临滞销、亏损的农户迎来了新的转机．在帮助某农户推广滞销乳鸽的直播中，晓辉计划首月销售1000只乳鸽，每只乳鸽定价30元．

（1）经过首月试销售，晓辉发现单只乳鸽售价每降低0.5元，销量将增加50只，若计划每月乳鸽的销售总量为1500只，则每只乳鸽售价应定为多少元？

（2）随着疫情的好转和直播的推广作用，乳鸽的线下销售也终于迎来了复苏，在线上、线下销售单价一致的情况下，11 月线上、线下的销售总额为37500元．受寒流影响，12 月价格进行了一定调整，线下单价与（1）间中的售价保持一-致，线上单价在（1）问的售价基础上提高了，但12月整体月销售总量仍比（1）问中的计划销售总量上涨，其中线下销售量占到了12月总销售量的，最终12月总销售额比11月增加了495a元，求a的值．