初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课后练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课后练习题，共19页。
第15课  实际问题与二次函数 课程标准1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．  知识点01  列二次函数解应用题　列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：    (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．    (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．    (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．    (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。    (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．    (6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
 知识点01  建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
  　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 考法01   利用二次函数求实际问题中的最大（小）值【典例1】凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【思路点拨】（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到20﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（2）由于根据（1）得到x≤50，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；（3）首先把函数变为y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．【答案与解析】解：（1）设一次购买x只，则20﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=50．答：一次至少买50只，才能以最低价购买； （2）当10＜x≤50时，y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x，当x＞50时，y=（16﹣12）x=4x；综上所述：y=； （3）y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=46时，y1=202.4，当x=50时，y2=200．y1＞y2．即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．【点评】本题考查了二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．【即学即练1】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求与之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）                 【答案】（1）设与的函数关系式为：，∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）∴  解得∴（2）（50≤x≤70）∵，＜0∴函数图象开口向下，对称轴是直线x=75∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大,∴当x=70时，. 考法02   利用二次函数解决抛物线形建筑问题【典例2】某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后的最大高度应是多少m？ 【思路点拨】       因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．【答案与解析】解：建立如图平面直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2，由题意得：点A的坐标为（2，﹣4.4），∴﹣4.4=4a，解得：a=﹣1.1，∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2，当x=1.2时，y=﹣1.1×1.44=﹣1.584，∴线段OB的长为1.584米，∴BC=4.4﹣1.584=2.816米，∴装货后的最大高度为2.816米，故答案为：2.816米．【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．    考法03   利用二次函数求跳水、投篮等实际问题【典例3】如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少? 【答案与解析】如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，                    设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴  ．    ∵  抛物线经过点A(1.5，3.05)，    ∴  3.05＝a·1.52+3.5，    ∴  ．    ∴  抛物线解析式为．    ∴  ，    ∴  n＝2.25．    ∴  球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．  考法04   利用二次函数求图形的边长、面积等问题 【典例4】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．    (1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；    (2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．    ①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)【思路点拨】①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．【答案与解析】(1)(米)；(2)①∵  AD＝2r，AD+CD＝8，∴  CD＝8-AD＝8-2r，     ∴  ．②由①知，CD＝8-2r，又∵  1.2米≤CD≤3米，∴  2≤8-2r≤3，∴  2.5≤r≤3．由①知，．∵  -2.43＜0，∴  函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值．(米)．【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．【即学即练2】如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是　       　． 【答案】50≤S≤68．【解析】解：设AF=x，则BF=10﹣x，由题意，得S=x2+（10﹣x）2，S=2x2﹣20x+100，S=2（x﹣5）2+50．∴a=2＞0，∴x=5时，S最小=50．∵2≤x≤8，当x=2时，S=68，当x=8时，S=68．∴50≤S≤68．故答案为：50≤S≤68．  题组A  基础过关练1．已知某商品销售利润y(元)与该商品销售单价x(元)之间满足y=-20x2+1400x-20000,则获利最多为（      ）A   4500      B  5500        C  450    D  20000【答案】A【解析】由题意知利润y（元）与销售的单价x（元）之间的关系式，求出y的最大值．解：利润y（元）与销售的单价x（元）之间的关系为y=-20x2+1400x-20000，
∴y=-20（x-35）2+4500．
∵-1＜0
∴当x=352元时，y最大为4500元．
故选A．2．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第 14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（        ）秒A．第 8秒 B．第10秒 C．第 12秒 D．第15秒【答案】B【解析】考点：二次函数的应用．分析：本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．解答：解：∵此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x=10.5，∴炮弹所在高度最高时：时间是第10.5秒．故选B．点评：本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．3．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________．【答案】144【详解】设隔墙的长度为x，占地面积为y，则，∵，∴抛物线开口向下，当时，y取得最大值，最大值为144，故三间长方形种牛饲养室的总占地面积最大为．4．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．【答案】3.【解析】试题解析：由题意可得函数式y=（6-x）x，即y=-x2+6x，当x=-=3时，y有最大值，即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．考点：二次函数的应用．5．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是____________________【答案】64m2【解析】分析：设AB=xm，面积为S，则BC=(16－x)m，然后列出S关于x的函数关系式，从而得出最大值．详解：设AB=xm，面积为S，则BC=(16－x)m， ∴S=x(16－x)=，∴当x=8时，面积的最大值为．点睛：本题主要考查的是二次函数的实际应用问题，属于基础题型．根据题意列出函数关系式是解决这个问题的关键．6．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m．【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．【详解】解：在中，当y=0时，整理得：x2-8x-20=0，（x-10）（x+2）=0，解得x1=10，x2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是10m．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．7．某商店将进价为 30 元的商品按售价 50 元出售时，能卖 500 件．已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，且尽量减少库存，售价应 为多少元？【答案】售价为60元【解析】【分析】设售价为x元,由已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，列出方程，由且尽量减少库存得出方程的解，可得答案.【详解】设售价为x元由题意得：（x－30)[500－10(x－50)]=12000解得：x1=60，x2=70∵尽量减少库存∴售价应定为60元答：售价为60元【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，由已知条件列出方程式解题的关键. 题组B  能力提升练1．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米．【答案】3【分析】以地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令，即可解答．【详解】解：地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式：，把点代入抛物线解析式得：，抛物线解析式：．当时，（舍去），．m．故答案为3．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．2．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．【答案】(1) S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）(2)36(3)32【解析】试题分析：（1）求出S=AB×BC代入即可；
（2）利用0＜24-4x≤8进而解出即可；
（3）把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案．试题解析：（1）∵AB=x米，∴BC=（24﹣4x）米，∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，∵0＜x＜6，∴当x=3时，S有最大值为36平方米；（3）∵，∴4≤x＜6，∴当x=4时，花圃的最大面积为32平方米．点睛：本题主要考查对二次函数的最值，二次函数的解析式，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．3．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【答案】（1）y=﹣30x+2100；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．【分析】(1) 每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量, 代入即可求解函数关系式;(2) 根据利润=销售量(销售单价-成本) , 建立二次函数, 用配方法求得最大值.(3) 根据题意可列不等式, 再取等将其转化为一元二次方程并求解, 根据每星期的销售利润所在抛物线开口向下求出满足条件的x的取值范围, 再根据 (1) 中一元一次方程求得满足条件的x的取值范围内y的最小值即可.【详解】（1）y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）＝﹣30（x﹣55）2+6750．∴x＝55时，W最大值＝6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x＝52时，销售300+30×8＝540，当x＝58时，销售300+30×2＝360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．【点睛】本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用,注意综合运用所学知识解题.4．（10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系.  （1）直接写出与x之间的函数关系式；  （2）求月产量x的范围；  （3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）25≤x≤40（3）月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元【解析】解：（1）                                   (2分)（2）依题意得：                                   (4分)解得：25≤x≤40                                                   (6分)（3）∵∴                                          (8分)而25<35<40, ∴当x=35时，即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．　　　　　　（10分） 题组C  培优拔尖练1．某旅行社有张床位，每床每晚收费元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过元的情况下，若每床的收费提高元，则减少张床位租出，若收费再提高元，则再减少张床位租出，以每次提高元的这种方式变化下去，为了获得元的收入，每床的收费每晚应提高_____元【答案】4【分析】根据题意表示出每张床的租金与出租的床位数，两者的乘积就是所获得利润．【详解】解：假设每床的收费每晚应提高x元，由题意得：，解得：x1＝4，x2＝6（不合题意，舍去），即每床的收费每晚应提高4元，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．2．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为_____________．【答案】0＜a＜6【详解】试题解析：设未来30天每天获得的利润为y，y=（110-40-t）（20+4t）-（20+4t）a化简，得y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求AE的长（用x的代数式表示）（2）当y=108m2时，求x的值【答案】（1）20-x（2）4m或36m【解析】试题分析：（1）设AE=a，由矩形区域①②的面积和=矩形区域③的面积的2倍．提出BE=a，AB=a，然后根据周长为80米得出a与x的关系式；．（2）求出y与x之间的函数关系式，令y=108，解方程可得x的值．试题解析：解：（1）设AE=a，由题意，得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a,由题意，得2x+3a+2·a="80," ∴a=20-x ，AE=20-x（2）y=AB·BC=a·X=（20-x）x,即y=--+30x（0＜x＜40）-+30x=108 解得 x1=4,x2=36， 答：x为4m或36m考点：函数关系式、求自变量的值．4．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）和（2）所示，如图建立直角坐标系，已知 ，顶点P.（1）求抛物线的解析式；（2）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外.【答案】（1） ；（2）2.5米【解析】试题分析：（1）根据题意可知右侧抛物线的顶点坐标是（1，2.25），并且经过点（0，1.25），设出顶点式解析式，利用待定系数法求解即可；再根据对称性写出左侧的抛物线解析式；
（2）把y=0代入抛物线解析式求出x的值，就是水池的半径．试题解析：（1）根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是（1，2.25），并且经过点（0，1.25），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+，
则a（0-1）2+2.25=1.25，
解得a=-1，
∴右侧的抛物线解析式为y=-（x-1）2+，
∵水流沿形状相同的抛物线落下，
∴左、右两侧的抛物线关于y轴对称，
∴左侧的抛物线解析式为y=-（x+1）2+；
（2）当y=0时，-（x-1）2+2.25=0，
解得x1=2.5，x2=-0.5（舍去），
∴水池的半径至少2.5米．5．为减少疫情对农产品销售的影响，年轻党员干部晓辉借助“学习强国”平台直播活动，向网友们大力推介自己乡镇的特色农产品，让原本面临滞销、亏损的农户迎来了新的转机．在帮助某农户推广滞销乳鸽的直播中，晓辉计划首月销售1000只乳鸽，每只乳鸽定价30元．（1）经过首月试销售，晓辉发现单只乳鸽售价每降低0.5元，销量将增加50只，若计划每月乳鸽的销售总量为1500只，则每只乳鸽售价应定为多少元？（2）随着疫情的好转和直播的推广作用，乳鸽的线下销售也终于迎来了复苏，在线上、线下销售单价一致的情况下，11 月线上、线下的销售总额为37500元．受寒流影响，12 月价格进行了一定调整，线下单价与（1）间中的售价保持一-致，线上单价在（1）问的售价基础上提高了，但12月整体月销售总量仍比（1）问中的计划销售总量上涨，其中线下销售量占到了12月总销售量的，最终12月总销售额比11月增加了495a元，求a的值．【答案】（1）25元；（2）40【分析】（1）设应降低x元，根据题意列出方程，求解即可；（2）根据题意可得2月份的销售总量为，12月份的线上单价为，线下单价为25元，根据“12月总销售额比11月增加了495a元”列出方程，求解即可．【详解】解：（1）设应降低x元，根据题意可得：，解得，∴每只乳鸽售价应定为（元），答：每只乳鸽售价应定为25元；（2）12月份的销售总量为，12月份的线上单价为，线下单价为25元，根据题意可得：，解得或（舍）．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．