人教版数学九年级上册同步讲义第27课正多边形和圆（原卷版）

第27课  正多边形和圆

知识点01  正多边形的概念

            相等，            也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：

(1)        相等；

(2)        相等；缺一不可.

如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
 

知识点02  正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念
　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的        ．
　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的        ．
　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的        ．
　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的       ．

3.正多边形的有关计算
　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是         ；
　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是        ；
　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是        .

要点诠释：

要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点02  正多边形的性质

1.正多边形都        外接圆，圆有         个内接正多边形.
　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成        个全等的直角三角形.
　　3.正多边形都是        图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；

当边数是偶数时，它也是       图形，它的        就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5.任何正多边形都有       外接圆和       内切圆，这两个圆是       
要点诠释：

（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；

（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.

知识点03  正多边形的画法

1.用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以      ；根据同圆中相等弧所对的       相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
 

2.用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形.
　　
　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
　　②正六、三、十二边形的作法.
　　
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
要点诠释：

画正n边形的方法：（1）将一个圆       ，（2）顺次连结各等分点.

考法01   正多边形的概念

【典例1】如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．

(1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE．

【典例2】如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为　      　．

【即学即练1】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（　　）

A．3：4         B．：2       C．2：      D．1：2

考法02   正多边形和圆的有关计算

【典例3】如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．

（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；

（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．

【典例4】如图所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．

【即学即练2】如下图，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的．

题组A  基础过关练

1．若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（    ）

A．9             B．8               C．6              D．4

2．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）

A．2 cm B．cm C． cm D．1cm

3．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）

A． B． C． D．

4．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（     ）

A．50° B．100° C．180° D．200°

5．将边长为3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（　　）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

6．如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ）

A．60°    B．65°    C．72°    D．75°

7．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）

A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3

题组B  能力提升练

1．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为_____．

2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为________．

3．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则这个正八边形的面积为      

4．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为_________.

5．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．

6．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a=____；r：b=____；正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值是____． 

7．如图，在边长为3的正方形ABCD中，圆O1与圆O2外切，且圆O1分别与DA、DC边相切，圆O2分别与BA、BC边相切，则圆心距O1O2为_____．

题组C  培优拔尖练

1．如图，正六边形的边长为，点为六边形内任一点．则点到各边距离之和是多少？

2．如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．

（1）求证：是的平分线；

（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．

3．（本小题满分12分 ）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；

（2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数                                             

（ 3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）

4．阅读下列材料：

已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．

∵△A1A2A3是等边三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则=   　（只写出结果）．