数学九年级上册24.1.1 圆测试题

第30课  圆单元检测（一）

一、单选题

1．给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有(   )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错．三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个．

【详解】

三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的；

反过来说圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的；

三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的；

反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的．

所以正确的命题有2个．

故选B．

【点睛】

考查三角形外心与内心的概念，属于概念题．

2．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为(   )

A．45°    B．30°    C．75°    D．60°

【答案】D

【解析】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，

∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，

∴OD=CD，OD=OC=OA，

∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，

∴∠AOB=120°，

∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）

故选D.

3．秋千拉绳长3 m，静止时踩板离地面0.5 m，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2 m(左右对称)，如图，则该秋千所荡过的圆弧长为(　　)

A．π m    B．2π m    C．π m    D． m

【答案】B

【解析】如图，过点B作BF⊥OE于点F，则四边形BHGF是矩形，

所以OF=OG-FG=3.5-2=1.5.

Rt△OBF中，因为OB=2OF，所以∠OBF=30°，所以∠BOE=60°，所以∠AOB=120°.

所以弧AB的长为m.

故选B.

4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（　　）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】D

【详解】

∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，

又∵5﹣2=3，

∴两圆的位置关系是内切．

故选D．

【点睛】

本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．

5．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为(　　)

A．12 B．10 C．14 D．15

【答案】B

【解析】

如图，连接EF，因为∠EOF=90°，所以EF是直径，

由勾股定理得，EF=10.

故选B.

6．如图，方格纸上一圆经过(2，5)，(－2，1)，(2，－3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为(    )

A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)

【答案】B

【详解】

解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．

得（2，6）和（2，-2）的垂直平分线是，

（-2，2）和（6，2）的垂直平分线是,

则该圆圆心的坐标为（2，2），

故选B．

7．如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于(　　)

A．55° B．90° C．110° D．120°

【答案】C

【解析】

因为CA为⊙O的切线，所以OA⊥AC，所以∠OAC=90°.

因为∠CAB=55°，所以∠OAB=90°-55°=35°，

因为OA=OB，所以∠OAB=∠B.

所以∠AOB=180°-2×35°=110°.

故选C.

点睛：本题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质及三角形的内角和，圆的切线垂直于过切点的半径，由此得到90°的角，再结合等腰△OAB中的两底角的关系和三角形的内角和定理则可以解决问题.

8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．

【详解】

解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．

由题意得S底面面积=πr2，

l底面周长=2πr，

S扇形=3S底面面积=3πr2，

l扇形弧长=l底面周长=2πr．

由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R，

故R=3r．

由l扇形弧长= 得：

2πr=

解得n=120°．

故选：A．

【点睛】

本题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．

二、填空题

9．的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是___．

【答案】内切

【解析】

【分析】

根据R-r=圆心距可判定两圆内切.

【详解】

解：∵4-1=3,

∴两圆的位置关系是内切.

【点睛】

本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉圆心距与半径的关系是解题关键.

10．如图，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=_____度.

【答案】147

【详解】

试题分析：DB切⊙O于A，则∠OAD=90°，

∵AO=OM，∴∠OAM=∠OMA=（180°﹣∠O）÷2=62°，∴∠DAM=∠OAD+∠OAM=90°+62°=152°．

故答案为152．

考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质．

11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝CD，则图中与∠1相等的角有_________．

【答案】∠6，∠2，∠5　

【详解】

因为AB=CD，所以=，则根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得，与∠1相等的角有6，∠2，∠5.

故答案为∠6，∠2，∠5.

12．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．

【答案】3cm或7cm

【详解】

设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r==3cm；
当点P在⊙O内时，r=cm.
故答案为：3cm或7cm．

13．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为______．

【答案】1

【详解】

试题分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．

∵OD⊥AC，AC=2，     ∴AD=CD=1，    ∵OD⊥AC，EF⊥AB，    ∴∠ADO=∠OFE=90°，

∵OE∥AC， ∴∠DOE=∠ADO=90°， ∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EOF=90°，∴∠DAO=∠EOF，   

在△ADO和△OFE中，     ∴△ADO≌△OFE（AAS），   ∴OF=AD=1

考点：(1)、垂径定理；(2)、全等三角形的判定与性质．

14．（2015·辽宁丹东）．如图，AB是⊙O的直径,弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OACD，求阴影部分的面积；

（2）求证：DEDM．

【答案】（1）4-π；（2）参见解析．

【解析】

试题分析：（1）连接OD,由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM,从而得到DM=DB,又因为弧DE=弧DB，DE=DB,所以DE就等于DM了．

试题解析：（1）连接OD,∵CD是⊙O切线,∴OD⊥CD∵OA=CD =, OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－．（2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED=BD ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM=BD ∴DE=DM．如图所示：

考点：圆的性质与三角形综合知识．

15．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．

【答案】1.6

【详解】

解：如图：

∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，

∴AE=0.8m，

∴OE=

∵水管水面上升了0.2m，

∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，

∴CF=m，

∴CD=1.6m．

故答案为1.6．

考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理.

三、解答题

16．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．

（1）求BF的长；

（2）求⊙O的半径r．

【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．

【分析】

（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．

（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．

【详解】

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，

∴AC＝＝＝5，

∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，

∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，

设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，

∵AE+EC＝5，

∴13﹣x+12﹣x＝5，

∴x＝10，

∴BF＝10．

（2）连接OE，OF，

∵OE⊥AC，OF⊥BC，

∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，

∴四边形OECF是矩形，

∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．

即r＝2．

【点睛】

本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

17．如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C,

（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；

（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．

【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．

【详解】

【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；

（2）根据直角三角形的性质解答即可．

【详解】（1）如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵,∠ADE=25°，

∴∠AOE=2∠ADE=50°，

∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；

（2）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵，

∴∠AOC=2∠B，

∴∠AOC=2∠C，

∵∠OAC=90°，

∴∠AOC+∠C=90°，

∴3∠C=90°，

∴∠C=30°，

∴OA=OC，

设⊙O的半径为r，

∵CE=2，

∴r=(r+2)，

解得：r=2，

∴⊙O的半径为2．

【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.

18．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．试判断直线AC与半圆O的位置关系，并说明理由．

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析：

猜想是相切的关系，只需要证∠CAO=90°，即证∠C+∠AOC=90°，而∠BAD+∠AOC=90°，所以需要证∠C=∠BAD，结合∠BAD=∠BED，∠BED=∠C即可.

试题解析：

AC与半圆O相切．理由如下：∵是∠BED与∠BAD所对的弧，

∴∠BAD＝∠BED.∵OC⊥AD，∴∠AOC＋∠BAD＝90°.

∴∠BED＋∠AOC＝90°.即∠C＋∠AOC＝90°.

∴∠OAC＝90°.∴AB⊥AC，即AC与半圆O相切．

19．已知，如图，AB为的直径，，BC交于点D，AC交于点E，．

(1)求的度数；

(2)求证：；

(3)若圆O的半径为，求弦BD与围成的弓形的面积．

【答案】（1）22.5°；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）由AB为⊙O的直径，AB＝AC，∠BAC＝45°，即可求得∠ABE与∠ABC的度数，继而求得∠EBC的度数；

（2）首先连接AD，由圆周角定理可得，可得∠ADB＝90°，又由三线合一，即可证得BD＝DC；

（3）首先连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，易求得∠BOD的度数与△OBD的高，继而求得答案．

【详解】

解：（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵∠BAC＝45°，AB＝AC，

∴∠ABE＝45°，∠ABC＝∠C＝67.5°，

∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°；

（2）证明：连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝DC；

（3）连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∴∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC＝45°，

∴BH＝OH＝OB=×=1，

∴弦BD与围成的弓形的面积为：

S扇形OBD-S△OBD＝．

【点睛】

此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

20．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.

(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.

【答案】(1) PA+PB=PC;(2).

【解析】

试题分析：（1）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；

（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积.

试题解析：（1）在PC上截取PD=AP，如图，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等边三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴PC=BP+AP．

（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．

理由如下，如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．

过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，

∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），

当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，

∴此时四边形APBC的面积最大．

又∵⊙O的半径为1，

∴其内接正三角形的边长AB=，

∴S四边形APBC=×2×=.