初中数学北师大版九年级下册1 圆课时训练

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
 

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
　　(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
要点诠释：
　  ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.

2．圆的性质
　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　 　⑤平行弦夹的弧相等.
要点诠释：
     在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

3．与圆有关的角
　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
　　 　圆周角的性质：
　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
 

要点二、与圆有关的位置关系

1．判定一个点P是否在⊙O上
　　设⊙O的半径为，OP=，则有
　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
要点诠释：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.

2．判定几个点在同一个圆上的方法
　　当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
　　(1)切线的判定：
　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
　　(2)切线的性质：
　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径.
　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心.
　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
要点诠释：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：

2．圆内接四边形和外切四边形
　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
 

要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
　　圆的面积公式：，周长.
　　圆心角为、半径为R的弧长.
　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　

要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【典型例题】

类型一、圆的有关概念及性质

1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则的取值范围是（     ）.

A．－1≤≤1     B．≤≤    C．0≤≤     D．＞ 

【思路点拨】

【答案】C；

由切线的性质，得∠OQP′=90°，
∵OA∥P′Q，
∴∠OP′Q=∠AOB=45°，
∴△OQP′为等腰直角三角形，
在Rt△OQP′中，OQ=1，
OP′=，
∴当过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，
当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．
故答案为：0≤OP≤．

举一反三：

A．-1≤x＜0或0＜x≤1      B．0＜x≤1    C．-≤x＜0或0＜x≤    D．x＞1

类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理

2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．

【思路点拨】

    主要用垂径定理及其推论进行证明．

【答案与解析】

    证法一：如图(1)，连接BC，

    ∵  AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴  ．

    ∵  ，∴  ．∴  ∠C＝∠CBE．∴  CE＝BE．

证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．

    ∵  AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴  ．

    ∵  ，∴  ．∴  BF＝CG，ON＝OD．

∵  ∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，

∴  △ONE≌△ODE，∴  NE＝DE．

∵  ，，

∴  BN＝CD，∴  BN-EN＝CD-ED，∴  BE＝CE．

    证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．

∵  ，∴  OC⊥BF．

∵  AB是⊙O的直径，CG⊥AB，

    ∵  ，．∴  ，．

    ∵  OC＝OB，∴  OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD．

又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，

∴  △CNE≌△BDE，∴  CE＝BE．

【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．

举一反三：

【变式】如图所示，在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（    ）

A．19     B．16   C．18   D．20

【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.

则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4

在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10

OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D

类型三、与圆有关的位置关系

3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.

    （1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；

 （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，

计算结果.

【答案与解析】

（1）如图（2），作O1E⊥O2O3

          ∴四边形ABCD的面积是：

    （2）制作一个烟盒至少需要纸张：

        .

【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.

类型四、圆中有关的计算

4．（2020•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；

（2）求证：DE=DM．

【答案与解析】

解：如图，连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2，OA=OD，

∴OD=CD=2，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；

（2）证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵=，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．

举一反三：

【变式】（2020•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．

（1）求AC的长度；

（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）

【答案】解：（1）∵OF⊥AB，

∴∠BOF=90°，

∵∠B=30°，FO=2，

∴OB=6，AB=2OB=12，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC=AB=6；

（2）∵由（1）可知，AB=12，

∴AO=6，即AC=AO，

在Rt△ACF和Rt△AOF中，

∴Rt△ACF≌Rt△AOF，

∴∠FAO=∠FAC=30°，

∴∠DOB=60°，

过点D作DG⊥AB于点G，

∵OD=6，∴DG=3，

∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，

即阴影部分的面积是9．

类型五、圆与其他知识的综合运用

5．.

【思路点拨】

     由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.

【答案与解析】

延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE

    ∵△ABC是等边三角形

    ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC

    ∴∠ADB＝∠ACB＝60°

    ∵四边形ABDC是圆内接四边形

    ∴∠ABE＝∠ACD

    在△AEB和△ADC中，

    ∴△AEB≌△ADC

    ∴AE＝AD

    ∵∠ADB＝60°

    ∴△AED是等边三角形

    ∴AD＝DE＝DB＋BE

    ∵BE＝DC

∴DB＋DC＝DA.

【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：

      （1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.

      （2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.

6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（    ）.

A. 3 B. 6      C. 5 D. 4  

【答案】B；

【解析】阴影部分的面积

=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积

=扇形ABB′的面积．

则阴影部分的面积是： =6π
故选B．

【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．

举一反三：

【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为(    ).
　　　　　
　　A. 　　　B.72 　　　C.36 　　　D.72

【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.
　　　　但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，
　　　　阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，
　　　　所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，

因此阴影部分面积为.
        故选C.