山西大同市2021-2022中考数学一模试题分层-04函数（较难）

这是一份山西大同市2021-2022中考数学一模试题分层-04函数（较难），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西大同市2021-2022中考数学一模试题分层-04函数（较难） 一、单选题1．（2022·山西大同·统考一模）如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（    ）A．或 B．或C．或 D．或2．（2022·山西大同·校考一模）如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)．若反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点A，则k的值为(　　)A．－6 B．－3 C．3 D．63．（2022·山西大同·校考一模）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．则曲线段扫过的面积为（    ）A．4 B．6 C．9 D．124．（2022·山西大同·校考一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　）A． B．C． D． 二、填空题5．（2022·山西大同·统考一模）将二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，所得图象的对应表达式用一般式表示为__________．6．（2022·山西大同·校考一模）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是______．7．（2021·山西大同·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B均在第一象限，D在x轴上，BC⊥x轴于点E，点E是BC的中点，若反比例函数的图象经过A，B两点，菱形ABCD的边长为2，则k的值为_____． 三、解答题8．（2022·山西大同·统考一模）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300﹣350）把三等分的操作如下：①以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系；②在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象，图象与的边交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点；④分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，；⑤作射线，交于点，得到．(1)任务一：判断四边形的形状，并证明；(2)任务二：请证明．9．（2022·山西大同·统考一模）综合与实践如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点，点在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；(3)当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标．10．（2022·山西大同·校考一模）已知如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)直接写出时的取值范围．11．（2022·山西大同·校考一模）越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也激烈某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆售价比去年降低400元，销售总额将比去年减少10000元．A、B两种型号车今年的进货和销售价格表： A型车B型车进货价1100元/辆1400元/辆销售价？元/辆2000元/辆 （1）今年A型车每辆售价为多少元？（2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批越野自行车售出后获利最大12．（2022·山西大同·校考一模）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．13．（2021·山西大同·统考一模）“人说山西好风光，地肥水美五谷香”．山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国”，某杂粮经销商对本地购买20袋以上杂粮的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每袋30元，由经销商免费送货；方案B：每袋26元，客户需支付运费200元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买该杂粮的应付款y（元）与购买量x（箱）之间的函数表达式；（2）某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？14．（2021·山西大同·统考一模）综合与探究如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，点C关于x轴的对称点是点．（1）求点的坐标和直线BC的表达式；（2）如图2，点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM，，，NB，当四边形是菱形时，求点M坐标；（3）如图3，点P是抛物线第一象限内一动点，过P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E，连接交直线BC于点D，连接，PB，设点P的横坐标为m，△的面积为，△PBD的面积为，求的最大值．
参考答案：1．A【分析】先求出A的坐标，然后通过图象比较函数值大小，根据图象在上方的函数值大求解即可．【详解】解：∵在反比例函数图象上，∴ ∴m=12∴ ∵在反比例函数图象上，∴ ∴a=6∵∴或故选：A【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键．2．D【详解】因为菱形OABC是轴对称图形，所以A、C关于y轴对称，则A(3,2)，因为A在y=的图象上，所以k=3×2=6．故选D3．B【分析】如图，连接 由抛物线平移及抛物线的性质可得：曲线段AB扫过的面积矩形的面积，即可求解．【详解】解：如图，连接 由抛物线平移及抛物线的性质可得：曲线段AB扫过的面积矩形的面积，而将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，则抛物线向上平移了2个单位长度， ∵A（1，m），B（4，n）， ∴曲线段AB扫过的面积=， 故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出的长度，扫过的面积为矩形，都是解本题关键．4．C【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．【详解】根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，∵AD∥BC，∴△EFB∽△EDC，∴，即，∴y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．故选C．5．【分析】根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解：由二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，可得平移后的解析式为；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．6．【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可．【详解】抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．7．【分析】设A（x，2），根据菱形的性质和勾股定理求得CE=BE=1，DE=，则B（x+，1），进而由A、B坐标即可求出k的值．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2， ∴AD=DC=BC=2，AD∥BC，∵点E为BC的中点，∴BE=CE=1，∵BC⊥x轴，∴AD⊥x轴，在Rt△DEC中，DC=2，CE=1，由勾股定理得DE= =，设A（x，2），则B（x+，1），∵反比例函数的图象经过A，B两点，∴2x= x+，解得：x= ，∴k=2 ，故答案为：2 ．【点睛】本题考查菱形的性质、反比例函数的图象与性质、平行线的性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握菱形的性质和反比例函数的性质是解答的关键．8．(1)矩形，证明见解析(2)见解析 【分析】（1）根据题意可知，，，由此即可证明四边形是矩形；（2）先证明，则，再由．推出．推出．即可得到．则．（1）解： 结论：四边形是矩形．证明：∵分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，，∴，，．∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．（2）证明：∵矩形的对角线与相交于点，∴，，．∴．∴．∵是的外角，∴．∵以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，坐标与图形，反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理解题意是解题的关键．9．(1)(2)，6(3)，，， 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式；（2）连接，过点作轴，作轴，设点的坐标是，然后根据表示出的面积，然后利用利用二次函数的性质即可求得结果；（3）根据题意，设点的坐标为：（a，0），点的坐标是．由以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，根据中点坐标公式分三种情况：①当BC为对角线时，②当BD为对角线时，③当BE为对角线时，列出方程，即可求得结果．（1）解：点和点代入二次函数，得：解得．∴抛物线的表达式是．（2）解：如图，连接，过点作轴，作轴．设点的坐标是．∴，．∵，，∴，．∴．∵，∴当时，的面积最大且为6．当时，．∴点的坐标是，的最大面积是6．（3）解：∵点在轴上，∴设点的坐标为：（a，0），点的坐标是．∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，①当BC为对角线时，由中点公式可得解得：，点的坐标为：（4，0）时与点重合，应舍去，此时，点的坐标为：（1，0）；②当BD为对角线时，由中点公式可得解得：，点的坐标为：（4，0）时与点重合，应舍去，③当BE为对角线时，由中点公式可得解得：，此时，点的坐标为：（，0），（，0）；综上所述，点的坐标为：（1，0），（7，0），（，0），（，0）．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、图形面积的求法、平行四边形的性质、二次函数的应用等，综合性强、难度较大，熟练应用二次函数模型求三角形面积的最大值是解题的关键．10．(1)，(2) 【分析】（1）先求解反比例函数解析式，再求解点B的坐标，再利用A，B的坐标求解一次函数解析式即可；（2）先求解一次函数与轴的交点坐标，再由时，一次函数的图象在轴的上方，结合图象可得答案.（1）解： 反比例函数的图象过点， 把代入则 把，代入一次函数中， 解得： 所以一次函数为（2）由，令 则 解得： 所以一次函数与轴的交点坐标为： 当时，一次函数的图象在轴的上方，结合图象可得：【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数解析式，利用函数图象求解自变量的取值范围，掌握“待定系数法与函数的图象与性质”是解本题的关键.11．（1）1600元；（2）新进A型车20辆，B型车40辆．【分析】（1）由题意列出分式方程，解方程即可；（2）设经销商新进A型车a辆，则B型车为（60﹣a）辆，获利y元．由题意得出y＝﹣100a＋36000，60﹣a≤2a，则a≥20，再由一次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，由题意得：，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解，答：今年A型车每辆售价为1600元；（2）设经销商新进A型车a辆，则B型车为（60﹣a）辆．由题意得：y＝（1600﹣1100）a＋（2000﹣1400）（60﹣a），即y＝﹣100a＋36000，∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20，由y与a的关系式可知，﹣100＜2.∴a＝20时，y的值最大，∴60﹣a＝60﹣20＝40（辆），∴当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时．答：当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时．【点睛】本题考查分式方程以及一次函数的实际应用问题，找准数量关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．12．（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）二次函数表达式为：，将点A的坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：①，则点，将点的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：，则点，过点作轴的平行线交于点，设点，点，∵，则，解得：或5（舍去5），故点；（3）设点、点，，①当是平行四边形的一条边时，点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，即：，，而，解得：或﹣4，故点或；②当是平行四边形的对角线时，由中点公式得：，，而，解得：，故点或；综上，点或或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．（1），；（2）当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，当20＜x＜50时，选择方案A更省钱．【分析】（1）直接根据各自方案写出函数表达式即可；（2）分别由、、求出对应的x范围即可做出选择．【详解】（1）．．（2）由，得30x＝26x＋200，解得x＝50由，得30x＞26x＋200，解得x＞50 由，得30x＜26x＋200，解得x＜50∴这两种方案是针对本地购买20袋以上的客户，∴x＞20， 答：当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，当20＜x＜50时，选择方案A更省钱．【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次不等式、解一元一次方程，解答的关键是理解题意，求出各方案的函数表达式．14．（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．【分析】（1）先求得点A，B，C的坐标，即可求得的坐标，再用待定系数法求得直线BC的表达式；（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM． 证明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得． 再求得抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标；（3）过B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．【详解】（1）∵抛物线与x轴相交于点A，B，当y＝0时，，解，得；∴B（4，0）∵抛物线与x轴相交于点C，∴当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），． 设BC的表达式为y＝kx＋b，将B，C两点坐标分别代入得，解，得．直线BC的表达式为y＝－x＋4 ；（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM． ∵四边形是菱形，∴BM=，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∵OM=OM，∴△OMB≌△O，∴∠MOB=．∵∠BO＝90°，∴∠MOB==45°；∵MH⊥y，． ∵抛物线的对称轴为直线，．∴M（1，－1）．（3）过B作BI⊥PQ于I．∵PQ//x轴，∴∠IEO＝90°，∴四边形EOBI是矩形．． ，∵点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为． ∵PQ//x轴，∴点Q的纵坐标为，将其代入y＝－x＋4，∴点Q的横坐标为．∵点P是抛物线第一象限内，∴点P在点Q右侧，．，∴当m＝2时，PQ的最大值是2，∴的最大值是4．【点睛】本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键．