山西太原市三年（2021-2023）年中考数学一模试题-03解答题

这是一份山西太原市三年（2021-2023）年中考数学一模试题-03解答题，共71页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
山西太原市三年（2021-2023）年中考数学一模试题-03解答题

一、解答题
1．（2023·山西太原·统考一模）用配方法解下列关于x的方程
（1）                   （2）
2．（2023·山西太原·统考一模）如图，已知，点为上一点．

(1)画，垂足为；
(2)画的平分线，交于；
(3)过点画，交于点．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
3．（2023·山西太原·统考一模）（本题满分8分）新冠疫情爆发后，某市体育中考必考项目跑步项目实行免考，选测项目从足球运球、篮球运球、排球垫球中选一项．
（1）小明同学从3个项目中任选一个，恰好是篮球运球的概率为 ；
（2）小明同学和小亮同学分别从选测项目各选一个，求两人选择同一个项目的概率． （用树状图或列表法写出分析过程）
4．（2023·山西太原·统考考一模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2，

(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象求的解集；
(3)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式．
5．（2023·山西太原·统考一模）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

6．（2023·山西太原·统考一模）已知函数的图象经过点及点．
（1）求此一次函数解析式，并画图象；
（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
7．（2023·山西太原·统考一模）如图，已知直线，点在直线上，点到直线的距离分别为1,2．
（1）利用直尺和圆规作出以为底的等腰△ABC，使点在直线上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．

8．（2023·山西太原·统考一模）已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线．

(1)直接写出抛物线的解析式　　；
(2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标；
(3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为　　．
9．（2022·山西太原·统考一模）（1）计算：.
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

10．（2022·山西太原·统考一模）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且．请判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

11．（2022·山西太原·统考一模）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点．

(1)分别求，对应的函数表达式；
(2)过点A作轴交x轴于点P，求△ABP的面积；
(3)点为第四象限双曲线C上的一个动点，过M作y轴垂线分别交y轴和直线L于点Q、点N，直接写出时，点M的横坐标x的取值范围为______．
12．（2022·山西太原·统考一模）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，并响应教育局提出“停课不停学”的要求，我校开展了线上教学，为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论．为了了解学生的需求，我校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)本次接受问卷调查的学生共有 人，在扇形统计图中“在线听课”所占的百分比为 ，在扇形统计图中“在线讨论”所对应扇形圆心角为 度．
(2)请补全条形统计图；
(3)我校九年级共有1100名学生，请你估计该校学生对“在线听课”和“在线答疑”感兴趣的共有多少人？
(4)若九年级（2）班对“在线讨论”感兴趣的同学有3名男生和2名女生，班主任想从中随机挑选2名同学参加学校组织的疫情话题讨论活动，请用树状图法或列表法求出“至少1名女生”被选中参加话题讨论的概率．
13．（2022·山西太原·统考一模）疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元．用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同．
(1)A、B型口罩每盒进价分别为多少元？
(2)经市场调查表明，B型口罩受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加1元，日均销量减少5盒．当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
14．（2022·山西太原·统考一模）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．

(1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
(2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
15．（2022·山西太原·统考一模）综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：；
(3)如图3，若，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
16．（2022·山西太原·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．

(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
17．（2022·山西太原·统考一模）（1）计算：；
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：去分母，得．       第一步
去括号，得．              第二步
移项，得．              第三步
合并同类项．得．                第四步
系数化为1，得．                    第五步

任务一：①解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是_________；
②第三步变形的依据是__________．
任务二：①该一元一次方程的解是_______；
②写出一条解一元一次方程时应注意的事项．
18．（2022·山西太原·统考一模）北京冬奥会和冬残奥会期间，吉祥物冰嫩嫩和雪融融成了名副其实的国民顶流．最近，小李从某网站上发现正在预售A，B两种印有吉祥物图案的挂件．如果定购3件A种挂件和2件B种挂件，需支付360元；如果定购2件A种挂件和3件B种挂件，需支付370元．求这两种挂件每件的售价．
19．（2022·山西太原·统考一模）已知一个面积为1的矩形，当矩形的一边长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？设一边长为x，周长为y，则．我们可以借鉴研究函数的经验，利用图象的直观性探究函数的性质，解决这个问题．

(1)填写下表，并在如图的平面直角坐标系中画出函数图象：
x
…
0.2
0.5
1
1.5
2
3
…
y
…
10.4

4

5

…

(2)结合图象，写出该函数两条不同类型的性质：
性质一：
性质二：
(3)根据图象，当_______时，周长有最小值，最小值等于_________．
20．（2022·山西太原·统考一模）某校在调查八年级学生平均每天完成作业所用时间的情况时，从全校八年级学生中随机抽取了n名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间t（分钟）分成五个时间段进行统计：A．，B．，C．，D．，E．，并制成如下两幅不完整的统计图．

根据上述信息，解答下列问题：
(1)求n的值并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，时间段C所占的百分比为________，时间段D所对应的圆心角的度数等于______；
(3)小颖同学经过分析得出一个推断：这组数据的众数落在时间段C．请你分析她的推断是否合理．
21．（2022·山西太原·统考一模）2022年底，太忻一体化经济区将新建1994座5G基站．如图是建在坡度的斜坡上的一个5G基站塔，在坡角顶点A处测得塔顶D的仰角为，沿斜坡步行到达B处，在B处测得塔顶D的仰角为，点A，B，C，D，M，N在同一平面内．求基站塔高．
（结果精确到，参考数据：）

22．（2022·山西太原·统考一模）阅读与证明
三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如 角， 角， 角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分．
如图（1），，下面是两种三等分角的方法．

(1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画的平行线．求证：；

(2)用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，于点Q，．画直线，并且与之间的距离等于，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边经过点B，同时让点R落在边上．求证：．
23．（2022·山西太原·统考一模）综合与探究
问题情境，如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点，连接EF，BE，DF．将矩形纸片ABCD分别沿直线BE，DF折叠，点A的对应点为点M，点C的对应点为点N．　

(1)操作探究：如图（1），若点F与点M重合，与交于点G，求证：DG=GM；

(2)探究发现：如图（2），当点M，N落在对角线上时，判断并证明四边形的形状；
(3)探究拓广：当点M，N落在对角线上时．
①在图（3）中补全图形；
②若，，求的面积．
24．（2022·山西太原·统考一模）综合与实践
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E．

(1)求直线的函数表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
25．（2021·山西太原·统考一模）（1）计算：
（2）因式分解：
26．（2021·山西太原·统考一模）下面是小明设计的“三角形一边上的高”的尺规作图：
已知：
求作：的边上的高
作法：（1）分别以和为圆心，，为半径作弧，两弧相交于点，
（2）作直线交于点
所以，线段就是所求作的高


根据小明的作法解决下面问题：
（1）利用直尺和圆规补全图形（要求保留作图痕迹）
（2）小明给出作图设计的理由如下：
连接，
  
点在线段的垂直平分线上（依据1）
同理可证：点也在线段的垂直平分线上
垂直平分（依据2）
线段是的边上的高．
上面说理过程中的“依据1”，“依据2”分别指什么？
27．（2021·山西太原·统考一模）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图，
各年级参赛作文篇数统计图

请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 篇：
（2）图中： ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 ；
（3）把条形统计图补充完整：
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
28．（2021·山西太原·统考一模）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套需要600元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？
29．（2021·山西太原·统考一模）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨安装在窗框上，托悬臂安装在窗扇上，交点处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点，，始终在一直线上，延长交于点.已知，，.

（1）窗扇完全打开，张角，求此时窗扇与窗框的夹角的度数.
（2）窗扇部分打开，张角，求此时点，之间的距离（精确到）.
（参考数据：，）
30．（2021·山西太原·统考一模）阅读与思考：古希腊有三大几何问题：立方倍积、三等分角和画圆为方.下面是三等分角的作法之一：如图1，任意锐角可被取作矩形的对角线与边的夹角，以为端点的射线交于点，交的延长线于点，若，则射线是的一条三等分线

证明：如图2，取的中点，连接
四边形是矩形
，
在中，点是的中点：
（依据1）


（依据2）
（1）上面证明过程中的“依据1”，“依据2”分别指什么？并完成材料证明中的剩余部分；
（2）如图3，矩形中，，对角线与外角的平分线交于点，若CE=BD，则的长为 ．
31．（2021·山西太原·统考一模）实践与探究：主题背景，在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究．
如图1，正方形的顶点在正方形的对角线上，正方形的顶点是正方形对角线的交点．与相交于点，与相交于点，连接和．
（1）猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由：
（2）如图2，正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转角，延长，分别交，于点，，连接，，，．
求证：四边形是正方形：
（3）已知，正方形的边长为2，正方形的边长为3，在正方形旋转过程中，若的延长线恰好经过点．请你直接写出的长．

32．（2021·山西太原·统考一模）综合与探究：如图1，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，二次函数的图象过，两点，且与轴交于另一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点是二次函数图象的一个动点，设点的横坐标为，若．求的值；
（3）如图2，过点作轴交抛物线于点．点是直线上一动点，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．

33．（2021·山西太原·统考一模）（1）计算：（﹣）-2+sin45°﹣（﹣4+2）2，
（2）化简再求值：，其中x＝﹣3+．
34．（2021·山西太原·统考一模）正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）求这两个函数的表达式．
35．（2021·山西太原·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．

36．（2021·山西太原·统考一模）为丰富同学们的生活体验，学校计划引进“晋式传统刺绣，仕女面塑艺术，唐风篆刻，汉风传统彩绘艺术”四个太原市非物质文化遗产项目，为学生提供课后服务，要求每名学生必须且只能选定其中一个项目，在开学第一周，随机抽取部分学生进行了问卷调查，为了方便统计，这四个项目依次用字母A，B，C，D标记，将结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图（不完整），结合图中信息解答下列问题：

（1）被调查的学生共有　 　人；在扇形统计图中，B所对应的圆心角的度数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1600学生，请估计选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数．
37．（2021·山西太原·统考一模）太原市是山西省政府命名的“山西省园林城市”，从2018年起，我市围绕“一核”“三圈”，以“两个百万亩森林建设”为重点建设十大骨干工程，到2018年底，林地面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，建设整洁、优美、宜居的现代化城市，再现锦绣太原城盛景，经过两年的努力，到2020年底我市林地面积约423.5万亩．
（1）求这两年林地面积的年平均增长率；
（2）若要实现到2021年底林地面积至少为508.2万亩的目标，求2021年林地面积的增长率不低于多少．
38．（2021·山西太原·统考一模）某养殖场需要定期购买饲料，已知该养殖场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元/千克，饲料的保管费与其他费用平均每天为0.05元/千克，购买饲料每次的运费为180元．
任务1：该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
小明的分析如下：如果2天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×0.05＝10（元）；如果3天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×2×0.05+200×0.05＝30（元）；如果4天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×3×0.05+200×2×0.05+200×0.05＝60（元），他发现已有的数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决，设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元，下面是他解决这个问题的过程，请解答相关问题．
（1）计算得到x与y的部分对应值如下表，请补全表格；
x/天
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
Y/元
…
455.0
430.0
420.0


415.7
417.5
420.0
423.0
…

（2）在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应的点；

（3）结合图象：养殖场　 　天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
任务2：提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．
39．（2021·山西太原·统考一模）综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．
探究发现

（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广
（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
40．（2021·山西太原·统考一模）综合与实践
如图1，抛物线y＝﹣x2﹣x+6与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线AC的表达式；
（2）点E在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当∠OPQ的平分线恰好经过OC的中点时，求t的值．

参考答案：
1．（1），；（2），
【分析】（1）根据配方法，先把常数项移到等式右边，再两边同时加上36，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果；
（2）根据配方法，先把二次项系数化为1，然后把常数项移到等式右边，再两边同时加上1，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果．
【详解】（1）

，；
（2）

，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法——配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的方法．
2．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析

【分析】（1）以点M为圆心适当长度为半径画弧，交于两点，作这两点间线段的垂直平分线交于点C即可；
（2）按照作角平分线的方法作的平分线，交于即可；
（3）以点D顶点，为一边作一个角等于，这个角的另一边交于点E，根据同位角相等两直线平行，得到，满足题意．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）如图，为所作；

（3）如图，为所作．

【点睛】此题考查了角平分线、垂线、平行线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
3．（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）从3个球类项目中选一项，恰好是篮球运球的概率为；………3分
（2）列表如下：

足球运球
篮球运球
排球垫球
足球运球
√


篮球运球

√

排球垫球


√

两人选择同一个项目的概率为，故答案为．………………8分
考点：概率．
4．(1)y＝﹣；
(2)﹣6＜x＜0或x＞6；
(3)y＝﹣x+6

【分析】（1）利用y＝﹣x求出点A的坐标为（﹣6，2），将点A（﹣6，2）代入反比例函数中求出k即可；
（2）根据对称性得到点B的横坐标为6，再结合图象即可得到解集；
（3）连接AC、BC，设平移后的解析式为y＝﹣x+b，根据平移的性质得到S△ABD＝S△ABC，列得b×12＝36，求出b即可得到函数解析式．
【详解】（1）解：（1）令一次函数y＝﹣x中y＝2，则2＝﹣x，
解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，2），
∵点A（﹣6，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）由对称性可知：xB＝﹣xA，
∵xA＝﹣6，
∴xB＝6，
由图象可知，﹣x＜的解集为﹣6＜x＜0或x＞6；
（3）连接AC、BC如图所示．

设平移后的解析式为y＝﹣x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵△ABD的面积为36，
∴S△ABC＝OC•（xB﹣xA）＝36，
∴b×12＝36，
∴b＝6，
∴平移后的直线的函数表达式为y＝﹣x+6．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
5．（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8.
【详解】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8．

考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
6．（1）一次函数解析式为；图象见解析；
（2）图象与两坐标轴围成的三角形面积为4；
【分析】（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可，用两点法画函数的图象（确定两点，描点，连线）．
（2）根据函数的图象与坐标轴的交点，即可求得此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】解：（1）由题意得：，
解得：，
故一次函数的解析式是：．
画出函数的图象如图：

（2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的画法以及用待定系数法求函数解析式的方法，解题的关键是求出解析式．
7．（1）见解析（2）5
【分析】（1）作出线段BC的垂直平分线交直线a于点A，连结AB，AC，则△ABC即为所求；
（2）过点C作CD⊥a于D，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ACD，然后利用“角角边”证明△ABE≌△CAD，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，BE=AD，再利用勾股定理列式求出AC的长，然后根据等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）如图所示：△ABC即为所求．

（2）如图，过点C作CD⊥a于D，则∠ACD+∠CAD=90°．

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAE+∠CAD=180°﹣90°=90°，∴∠BAE=∠ACD．
在△ABE和△CAD中，∵，∴△ABE≌△CAD（AAS），∴AE=CD，BE=AD．
∵BE=1，BF=2，∴AD=1，AE=CD=1+2=3．在Rt△ACD中，AC==．
∵△ABC是等腰直角三角形，∴=5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的画法，等腰三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
8．(1)；
(2)；
(3)

【分析】（1）逆向考虑，抛物线平移到抛物线，即可求抛物线的解析式；
（2）求出、、的点的坐标，设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，可以证明ΔBNQ∽ΔPMB，由相似可得，求出即可；
（3）求出、、点坐标，设的解析式为，将点代入解析式可得，再由直线与抛物线只有一个交点，联立方程，由判别式△可得，则直线为，在求出点坐标代入的解析式即可求解．
【详解】（1）由已知可知，抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线，
抛物线，
故答案为：；
（2），
令，，
解得或，
，，
点，在抛物线上，
，解得，
，，
设，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
，
或，
点在第二象限，
，
，；

（3）点与在上，
，
轴，
，
设的解析式为，
，
，
，
直线与抛物线只有一个交点，
，
△，
，
直线的解析式为，
，设点D的坐标为(x，y)
∴，
∴
，
∵点D在直线MD上
，
整理得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的平移特点，通过构造直角三角形相似求点的坐标，并会求直线与抛物线交点坐标是解题的关键．
9．（1）；（2），解集在数轴上表示见解析
【分析】（1）根据负指数幂、二次根式化简、绝对值，特殊角三角函数依次计算即可；(2)分别解不等式，再求出它们公共的部分，然后把解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）原式

；
（2）解，
解不等式①得，
解不等式②得．
故原不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：

【点睛】本题考查了实数的混合运算和解不等式组，熟练掌握实数的运算法则和解不等式组找解集的规律是解题的关键．
10．四边形BEDF是菱形，理由见解析
【分析】根据菱形的性质及，得到四边形BEDF是平行四边形，结合即可确定．
【详解】四边形BEDF是菱形．
理由如下：连接BD，交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【点睛】本题考查菱形的性质与判定，涉及到平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键．
11．(1)；
(2)
(3)

【分析】（1）把代入到求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把、两点坐标代入一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；
（2）根据进行求解即可；
（3）观察图象即可求得．
（1）
解：直线与双曲线交于，两点，
，解得：，
双曲线的表达式为：，
把代入，得，解得：，
，
把和代入得：，解得：，
直线的表达式为：；
（2）
解：，轴交轴于点，
，
设直线交轴于，
在中，令，则，解得，
，
，
；
（3）
解：如图所示：

当点与重合时，，
观察图象，当时，，
即当时，点的横坐标的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及到待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积，数形结合是解答本题的关键．
12．(1)100、40%、54
(2)补全条形统计图见解析
(3)估计该校学生对“在线听课”和“在线答疑”感兴趣的共有660人
(4)“至少1名女生”被选中参加话题讨论的概率为．

【分析】（1）由在线阅读人数及其所占百分比求出总人数，用在线听课人数除以总人数可得其对应百分比，用360°乘以在线讨论人数所占比例可得其对应圆心角度数；
（2）根据四种方式的人数之和等于总人数求出在线答疑人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中在线听课和在线答疑人数所占比例可得答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的至少有1名女生的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
(1)
解：本次接受问卷调查的学生共有25÷25%=100（人），
在扇形统计图中“在线听课“所占的百分比为×100%=40%，
在扇形统计图中“在线讨论“所对应扇形圆心角为360°×=54°，
故答案为：100、40%、54；
(2)
解：在线答疑对应的人数为100-（25+40+15）=20（人），
补全条形图如下：
；
(3)
解：（人），
答：估计该校学生对“在线听课”和“在线答疑”感兴趣的共有660人；
(4)
解：画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中“至少1名女生”被选中参加话题讨论的有14种结果，
所以“至少1名女生”被选中参加话题讨论的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．(1)A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元
(2)当B型口罩每盒售价为65元时，最大日均总利润为1125元

【分析】(1) 设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求得；
(2) 设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，根据题意即可得出w关于m的二次函数，再根据二次函数的性质，即可解答．
（1）
解：设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，
根据题意得：
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
2x-10=60-10=50，
答：A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元；
（2）
解：设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，
根据题意得：w=(m-50)[100-5(m-60)]=-5m2+650m-20000=-5(m-65)2+1125，
，
时w取得最大值，最大值为1125元，
答：当B型口罩每盒售价为65元时，销售B型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用与性质，根据题意列出方程和函数关系式是解决本题的关键．
14．(1)
(2)205m

【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，分别在Rt△ACD和Rt△CDB中，解直角三角形即可求得BC的长；
（2）由题意可得AC+BC及AB的长，则计算AC+BC−AB即可求得结果．
【详解】（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），

故景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得：AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．
【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，；

【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，可得，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（3）以为直径作，连接，，由题意可得点在以为直径的上，则当点在上时，有最小值，由勾股定理可求的长，可得，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得，即可求解．
(1)
证明：，
，
，
∵四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
；
(2)
证明：法一：延长CD，BF交于点H，如图所示：

∵点E是AB的中点，
，
∵四边形ABCD是正方形，
，，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
法二：证明：过点D作于点H，如图所示：

则，
，
，
∵点E为AB中点，
在中，，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，
；
(3)
；．
理由如下：
以BC为直径作，连接AO，OG，如图所示：

，
，
∴点G在以BC为直径的上，
∵在中，，
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时，如图所示：

，点O是BC中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可得，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16．(1)，；
(2)△PAD的面积最大值为，P（1，）；
(3)（0，）或（0，-9）

【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；
（2）过点P作PEy轴交AD于E，设P（n，），则E（n，），根据，得到PE的值最大时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可；
（3）如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点（1，-6），设D交y轴于点，则∠AD=45°，分别求出直线DT，直线D的解析式即可解决问题．
【详解】（1）解：将点A、B、D的坐标代入，，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
∵直线l经过点A，D，
∴设直线l的解析式y=kx+m，
，得，
∴直线l的解析式为；
（2）如图1，过点P作PEy轴交AD于E，

设P（n，），则E（n，），
∵，
∴PE的值最大时，△PAD的面积最大，
∵
=，
∴当n=1时，PE的值最大，最大值为，
此时△PAD的面积最大值为，P（1，）；
（3）如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），

设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点（1，-6），
则直线D的解析式为y=3x-9，
设D交y轴于点，则∠AD=45°，
∴（0，-9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，-9）．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，直线与y轴的交点，熟练掌握知识点并应用解决问题是解题的关键．
17．（1）
（2）任务一：①一，等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6）；②移项法则（或等式的基本性质一）；任务二：①； ②去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）任务一：①判断小明解方程的方法，再找出出错的步骤和分析出错的原因即可；②找出第三步变形依据的性质或法则即可；任务二：①正确求出一元一次方程的解即可；②写出解一元一次方程时应注意的事项即可．
【详解】解：（1）原式=1-9+
  
．
（2）任务一：①一；等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6），
②移项法则（或等式的基本性质一），
任务二：①，
去分母，得3(x+3)-(5x-3)=6，
去括号，得3x+9-5x+3=6，
移项，得3x-5x=6-9-3，
合并同类项，得-2x=-6，
系数化为，得，
故答案为：x=3；
②答案不唯一如：
Ⅰ．去分母时，注意不要漏乘（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅱ．移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅲ．去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则和解一元一次方程是解本题的关键．
18．种挂件每件的售价为68元，种挂件每件的售价为78元
【分析】设种挂件每件的售价为元，种挂件每件的售价为元，根据“定购3件种挂件和2件种挂件，需支付360元；如果定购2件种挂件和3件种挂件，需支付370元”建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设种挂件每件的售价为元，种挂件每件的售价为元，
由题意得：，
解得，
答：种挂件每件的售价为68元，种挂件每件的售价为78元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．
19．(1)5 ；4.3（或）；6.7（或）；画图象见解析
(2)函数有最小值；当时，y随x的增大而减小（或当时，y随x的增大而增大）；（答案不唯一）
(3)1；4

【分析】（1）将x＝0.5，1.5，3，分别代入y＝2x＋中，求出对应的y值，填表如下；根据表格找出6个点的坐标，描在平面直角坐标系中，然后用平滑的曲线作出函数图象即可；
（2）根据函数图象可以找出函数的最小值；根据自变量x的取值范围得出y的增减性；函数的值不可能为0；
（3）根据函数图象，找出当时，函数的最小值，且最小值为4即可．
（1）
解：把x＝0.5，1.5，3，分别代入y＝2x＋中，求出对应的y值，填表如下：
x
…
0.2
0.5
1
1.5
2
3
…
y
…
10.4
5
4
4.3
5
6.7
…

根据表格找出6个点的坐标，描在平面直角坐标系中，然后用平滑的曲线作出函数图象，如图所示：

（2）
根据函数图象可以得出函数的性质：
Ⅰ．函数有最小值．
Ⅱ．当时，y随x的增大而减小（或当时，y随x的增大而增大）．
Ⅲ．．（答案不唯一）
（3）
根据函数图象可知：当时，函数的最小值，且最小值为4，即当x=1时，周长有最小值，最小值等于4．
故答案为：1；4．
【点睛】此题考查了利用描点法画函数图象，以及根据函数图象获取信息，利用描点法在方格纸中画出函数图象，是解题的关键．
20．(1)n的值是50．条形统计图见解析
(2)，
(3)不合理．理由见解析

【分析】（1）用时间段A的人数除以时间段A所求的百分比，可得n的值，再分别求出时间段B的人数，时间段D的人数，即可求解；
（2）用时间段C的人数除以总人数可得时间段C所占的百分比；用时间段D所占的百分比乘以360°，可得时间段D所对应的圆心角的度数，即可求解；
（3）根据从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，即可求解．
【详解】（1）解：因为在条形统计中时间段A的人数为4，在扇形统计图中时间段A占，
所以，．
答：n的值是50．  
时间段B的人数为（名），
时间段E的人数为（名），
补全图形，如下图：

（2）解：时间段C所占的百分比，
时间段D所对应的圆心角的度数等于，
故答案为：，；
（3）解：不合理．理由如下：
从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，所以无法得到数据的众数，因此，小颖同学的推断不合理．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
21．基站塔高约为44.3米
【分析】延长交于点E，过点B作于点F，延长交于点G，则．解，得，由勾股定理，得，即可求出解得，则AF=48，从而求出EF=10，再解在中，求出，则，然后，是斜坡的坡度为，则，求出，最后，由，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，过点B作于点F，延长交于点G，则．

在中，由斜坡的坡度知
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理，得，
即．解得．
∴．
在中，，，
由，，得．
∵于点G，
∴．
在中，，
由，，得．
在中，，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．  
∵斜坡的坡度为，
∴．
∴．
∴（米）．
答：基站塔高约为44.3米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由得，，再根据三角形外角性质得，，再结合平行线的性质最后可得；
（2）如图，连接，过点P作于点F，根据线段垂直平分线的判定与性质得，
，进一步可得，再由，，，最后可得．
（1）
证明：∵，
∴，，    
∵是的外角，是的外角，
∴，．
∴，   
∵，
∴，   
∴；
（2）
如图，连接，过点P作于点F，   

∵于点Q，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，    
∵，并且与间的距离等于，
∴，  
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边对等角、三角形外角的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是找到图形中角之间的相互关系．
23．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形．证明见解析
(3)①补全图形见解析；②的面积是

【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质证明∠GMD=∠NDM，即可证明DG=GM；
（2）根据矩形的性质以及折叠的性质得到∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠BDF=∠FDC=∠BDC，可证明EB∥DE，即可证明四边形BFDE是平行四边形；
（3）①根据题意补全图形即可；
②证明△ADC∽△DCF，利用相似三角形的性质得到，利用三角形面积公式求解即可．
（1）
证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°．       
∵矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点是点M，
∴AB=BM，AE=EM，∠A=∠BME=90°．
∴∠ABC=∠BME=90°．
∴AB∥EM．
∴DC∥EM．
∴∠GMD=∠MDC．
∵矩形纸片ABCD沿DF折叠，点C的对应点为点N，
∴∠NDM=∠MDC．
∴∠GMD=∠NDM．
∴DG=GM；
（2）
解：四边形BFDE是平行四边形．   
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，∠ABD=∠BDC．
∵矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点是点M，沿DF折叠，点C的对应点为点N，
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠BDF=∠FDC=∠BDC．
∴∠EBD=∠BDF．
∴EB∥DF．       
又AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（3）
①所作图形如图：

②∵四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，
∴∠ADC=∠DCF=90°，DC=AB=2，BC=AD=3，BC∥AD．
∴∠ADF=∠DFC．
∵矩形纸片ABCD沿DF折叠，点C的对应点是点N，
∴DF是CN的垂直平分线．记垂足为点O，则∠DOC=90°．
∴∠ADF+∠FDC=∠FDC+∠ACD=90°．
∴∠DFC=∠ADF=∠ACD．
∵∠ADC=∠DCF=90°，
∴△ADC∽△DCF．  
∴，
∴，
∴．  
∴．
∴．
即，的面积是．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质判定和性质，矩形的判定和性质等知识，综合运用这些知识解决问题是本题的关键．
24．(1)直线的函数表达式为
(2)线段的最大值为4
(3)点F的坐标为或或或

【分析】(1)首先可求得点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求得；
(2) 设点D的坐标为，点E的坐标为，可得，再根据二次函数的性质，即可求得；
(3)分三种情况，分别计算即可求得．
(1)
解：把代入，得．  
把代入，得．
解得，．
∴点A的坐标是，点C的坐标是．
设直线的函数表达式为．
∵点在直线上，
∴．解得．
∴直线的函数表达式为．
(2)
解：∵点D在抛物线上，
∴可设点D的坐标为．
∵轴，且点E在直线上，
∴点E的坐标为．
∴．   
∵，
∴当时，的长取得最大值是．
∴线段的最大值为4．
(3)
解：设点F的坐标为(-1,n)，
则，，，
当时，，
得
解得，
故此时点F的坐标为；
当时，，
得，
得，
解得，
故此时点F的坐标为或；
当时，，
得
解得，
故此时点F的坐标为；
综上，点F的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求主一次函数的解析式，二次函数的性质，利用勾股定理解决问题，分三种情况分别是解决本题的关键．
25．（1）；（2）2
【分析】（1）先算零次幂、化简二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先按完全平方公式展开，再合并同类项，最后按照提取公因式及平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）



（2）




【点睛】本题考查了零次幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及提公因式及公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）上面说理过程中的“依据1”，“依据2”分别指：与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BA=BE，CA=CE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．
【详解】解：（1）如图，AD为所作；

（2）证明：连接BE，CE．
∵BA=BE
∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上   ）
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上
∴BC垂直平分AE（两点确定一条直线   ）
∴AD是△ABC的高．
上面说理过程中的“依据1”，“依据2”分别指：与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握基本作图，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．
27．（1）100篇；（2），；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）根据七年级的篇数以及百分比，求出总篇数即可；
（2）先求出八年级的篇数，再计算百分比即可；有总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；
（3）求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可；
（4）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．利用列表法画出图形即可解决问题．
【详解】解：（1）
参赛作文的篇数共100篇；
（2）八年级的篇数为：篇
，
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为
（3）由（2）知，八年级的篇数为45篇，补全条形图如图所示：

（4）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．
列表如下：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
AB

BC
BD
C
AC
BC

CD
D
AD
BD
CD


由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的有6种结果，
∴七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率为．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
28．（1）A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元；（2）最多可购进A种茶具30套．
【分析】（1）找到总价等量关系和公式（单价´数量=总价）构建二元一次方程组求解即可；
（2）计算A种茶具提高后的单价为元，B种茶具的原进价的八折为元，然后分别算出A、B两种茶具的总费用的和建立不等量关系求解即可．
【详解】解：（1）设A种茶具每套进价为元，B两种茶具每套进价元，
根据题意得

解得：
A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元；
（2）设最多购进A种茶具套，则B种茶具为套，
根据题意得

解得：
a取正整数

的最大值为30
最多可购进A种茶具30套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，找到等量关系式和不等量关系式建立方程和不等式是解题的关键．
29．（1）；（2）.
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得到，根据平行线的性质即可得到的度数.
（2）如图，过点作于点，根据锐角三角函数进行求解即可.
【详解】（1）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴.
（2）如图，过点作于点，
∵，
∴，
，
∵，，∴，
在中，，
∴.

【点睛】考查平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，解直角三角形等，注意辅助线的作法.
30．（1）故依据1是指：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；依据2是指：等边对等角；（2）
【分析】（1）先依据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证得AB=FG=AG，再依据等边对等角证明∠ABG=∠AGB，再依据三角形的外角性质及平行线的性质证得∠ABF=2∠FBC，进而证明结论；
（2）同（1）的方法求得∠E=30，过D作DN⊥CE于N，利用解直角三角形的方法即可求得CE的长．
【详解】（1）证明：如图2，取EF的中点G，连接AG，

∵四边形BCAD是矩形，
∴∠DAC=90° ， AD//BC，
在RtΔAEF中，点G是EF的中点，
∴AG=EF （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵EF=2AB，
∴AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB（等边对等角），
∵AG=EF=GF，
∴∠GAF=∠F，
∴∠ABG=∠AGB=2∠F，
∵AD//BC，
∴∠F=∠FBC，
∴∠ABG=2∠FBC，
∴∠ABC =3∠FBC，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线；
故依据1是指：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
依据2是指：等边对等角；
（2）解：如图，取BD的中点M，连接CM，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=∠DCF=90° ，AB=CD=2，
∵CE是∠DCF的平分线，
∴∠DCE=∠ECF=∠DCF=45，
∴∠1+∠E=∠ECF=45，
在RtΔBCD中，点M是BD的中点，
∴CM=BD=BM，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1+∠2=2∠1，
∵CE=BD，
∴CE=CM，
∴∠3=∠E，
∴∠E=2∠1，
∵∠1+∠E=45，
∴∠E=30，
过D作DN⊥CE于N，
∴ΔNCD是等腰直角三角形，且CD=2，
∴DN=NC=，
在RtΔEDN中，∠E=30，
∵，
∴EN=，
∴CE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
31．（1）BF=CH，BF⊥CH；（2）详见解析；（3）AP=
【分析】（1）利用正方形的性质证明△BEF≌△CEH，即可得到结论；
（2）证明△AEP≌△BEQ，得到△PEQ是等腰直角三角形，同理：△PEN，△NEM，△QEM都是等腰直角三角形，推出PE=QE=NE=ME，PN=PQ，由此得到结论；
（3）如图，连接AE、BE，作EM⊥AD，EN⊥AB，设AP=BQ=x，证明△FEN∽△ENQ，得到，列得，求解方程即可．
【详解】解：（1）BF=CH，BF⊥CH；
连接CE、BE，设BF交CH于点O，
∵点是正方形对角线的交点，
∴，BE=CE，
∵EG是正方形EFGH的对角线，
∴，EF=EH，
∴∠BEF=∠CEH，
∴△BEF≌△CEH，
∴BF=CH，∠BFE=∠CHE，
又∵∠1=∠2，
∴-（∠BFE+∠1）=-（∠CHE+∠2），
∴∠FOH=∠FEH=，
∴BF⊥CH；
．  
（2）∵四边形ABCD、EFGH都是正方形，
∴∠FEH=∠AEB=，AE=BE，∠PAE=∠QBE=，
∴∠AEP=∠BEQ，
∴△AEP≌△BEQ，
∴PE=QE，
∴△PEQ是等腰直角三角形，
同理：△PEN，△NEM，△QEM都是等腰直角三角形，
∴PE=QE=NE=ME，PN=PQ，
∴四边形MNPQ是矩形，
∵PN=PQ，
∴四边形MNPQ是正方形；
（3）如图，连接AE、BE，作EM⊥AD，EN⊥AB，
由（2）可知△AEP≌△BEQ，
∴AP=BQ，
设AP=BQ=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AE=BE=，NB=NE=1，
∵NQ=NB-BQ=1-x，
∴，
∵∠FEQ=∠ENQ，∠FQE=∠EQN，
∴∠EFN=∠NEQ，
∴△FEN∽△ENQ，
∴
∴，
∴，
解得x=或x=（舍去），
∴AP=．
．
【点睛】此题考查正方形的性质及判定，等腰直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟记各性质定理及判定定理并熟练应用是解题的关键．
32．（1）二次函数的解析式为；（2）m的值为或；（3）点N的坐标为(，)或(，)或(，)．
【分析】（1）先求得点B、C的坐标，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）先求得，∠ABP，设直线BP交轴于E，利用待定系数法求得直线BE的解析式，解方程组即可求解；
（3）根据菱形的性质，分①当CN为对角线、②DN为对角线、③CD为对角线三种情况讨论，根据图形分别求解即可．
【详解】（1）∵一次函数的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，
令，则，令，则，
∴B(4，0)，C (0，)，
把B(4，0)，C (0，)代入，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）∵B(4，0)，C (0，)，
∴OB=4，OC=，
∴，
∴，
若∠ABC=2∠ABP，则∠ABP，
设直线BP交轴于E，

,
∴OE=，
∴E1(0，)或E2 (0，)，
设直线BE1的解析式为，
∵B(4，0)，
∴，
∴直线BE1的解析式为，
解方程，
整理得，
∴，即m的值为；
同理可求得直线BE2的解析式为，
解方程，
整理得，
∴，即m的值为；
综上，m的值为或；
（3）由（2）知，
∵CD//x轴，
∴，即，
抛物线的对称轴为，
∴CD=2，
设点M的坐标为(，)，如图：

①当CD、CM为边，CN为对角线时，
则CD=CM=2，△MDC是等边三角形，
∴点M在线段CD的垂直平分线上，
∴，
∴点M的坐标为(，)，
∴点N1的坐标为(，)；
②当CD、DM为边，DN为对角线时，
同理可得点N2的坐标为(，)；
③当CD为对角线时，
根据菱形的对称性知：点M与点N关于对角线CD对称，
∴点N3的坐标为(，)；
综上，点N的坐标为(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了菱形的性质、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，特殊角的三角函数值，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考和解决问题，属于中考压轴题．
33．（1）8；（2），
【分析】（1）分别计算负整数指数幂、特殊角三角函数、乘方，再计算二次根式的乘法，最后依次相加减即可；
（2）先计算括号内的异分母分式的加法，然后将除法化为乘法后约分，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=8；
（2）原式=
=
=．
将x＝﹣3+代入
原式=．
【点睛】本题考查实数的混合运算、分式的化简求值．（1）中能分别正确计算负整数指数幂、特殊角三角函数、乘方、二次根式的乘法是解题关键；（2）中切记除法化为乘法后方能约分．
34．（1）A（1，3），B（-1，-3）；（2），．
【分析】（1）反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称；
（2）由k的值可直接写出函数解析式．
【详解】解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称，
又∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为-3，
∴点A的纵坐标是3，点B的横坐标是-1．
∴A（1，3），B（-1，-3）；
（2）把A（1，3）的值代入函数与可得，
，
两函数解析式分别为，．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据反比例函数图象的中心对称性求得A、B的坐标是解题的关键．
35．∠ABD=102°．
【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数．
【详解】解：∠AOB＝96°，
∴∠ACB＝48°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，
又∵点D是的中点，
∴，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键．
36．（1）100，54°；（2）补全条形统计图见解析；（3）估计选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数为560人．
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，利用A组频数20除以A组所占百分比20%，即可得到本次抽样调查的学生总数，再利用360°乘以B组所占百分比得到扇形统计图中B所在扇形的圆心角度数即可；
（2）先利用100乘以30%求得C组频数，再利用100减去A、C、D组的频数得到B组的频数，进而补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体，用1600乘以样本中选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数所占的百分比即可估计全校选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数．
【详解】解：（1）20÷20%=100（人），
1－20%－30%－35÷100＝15%，
360°×15%＝54°，
故答案为：100，54°；
（2）C组：100×30%＝30（人），
B组：100－20－30－35＝15（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）（人），
答：估计选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数为560人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
37．（1）这两年林地面积的年平均增长率为 10%；（2）2021 年林地面积的增长率不低于 20%．
【分析】（1）依据增长率公式列出方程即可求解；
（2）设 2021 年林地面积的增长率为 y，列出一元一次不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设这两年林地面积的年平均增长率为x.
350(1+x )2= 423.5 ， x1= 0.1 =10%; x2=2.1(舍);
答：这两年林地面积的年平均增长率为 10%.
（2）设 2021 年林地面积的增长率为 y. 根据题意得， 423.5´ (1+y ) ³ 508.2，
y ³ 0.2 ；
答：2021 年林地面积的增长率不低于 20%.
【点睛】本题考查了平均增长率的问题，要求学生能从题干中找出相等关系或不等关系，列出方程或不等式进行求解，解题的关键是牢记增长率公式．
38．任务1：（1）补全表格；416.0，415.0；（2）见解析；（3）6；任务2：需要考虑这一优惠条件，理由见解析．
【分析】（1）根据题意列出x与y的函数关系，再求出和对应的y值，再补充表格即可；
（2）根据表格信息一一对应描点即可；
（3）根据图中得出信息，求出10天购买一次饲料享受优惠的费用，再和原来10天购买一次饲料的费用比较得出结论．
【详解】任务1：
（1）设每天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为元，
饲料的保管费与其他费用每天比前一天少（元）．
∴ 天饲料的保管费用共：

=
=
=
∴
∴当时，
当时，
补全表格；
x/天
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
Y/元
…
455.0
430.0
420.0
416.0
415.0
415.7
417.5
420.0
423.0
…

（2）如图所示；

（3）由图可知，养殖场6天购买一次饲养才能使平均每天支付的总费用最少，
若考虑此优惠条件，则10天购买一次饲料，
当时，，享受优惠后90%=380.7（元），
由（2）可知，不享受优惠时，最小为415，
∵，∴需要享受这一优惠条件．
【点睛】本题考查了函数与实际问题的应用，理解题意，学会运用函数与方程的思想是解题的关键．
39．（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；
（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得；通过勾股定理，得；再通过勾股定理计算，记得得到答案；
（3）过点作交于点；根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【详解】（1）由题意得，∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE
∴AD=AE
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∴∠ECD=90°，BD⊥CE．
（2）由（1）得：△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∵，BD＝2DC，即,
∴，
∵AD=AE
∴
∴∠B=∠ACB=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°
∴CD2+CE2=DE2，即，
∴；
（3）如图，过点作交于点

∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴
∴
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
40．（1）直线AC的表达式为；（2）点E1的坐标为；点E2的坐标为；点E3的坐标为；点E4的坐标为；（3）t的值为5．
【分析】(1)根据，得：，解得，，进而求出直线AC的表达式；
(2)求出，，，由两点间距离公式得：，，，得到A、C、E三点形成，分为三种情况分别进行求解即可；
(3) 记OC中点D，作于点H ，过点C作AO平行线交PQ于点G，连接DG，求证，再进行求解即可．
【详解】解：(1)令，得：，
解得：，，
，，
令，得：，
，
∴直线AC的表达式：，
(2)对称轴：，
设，，，
由两点间距离公式得：
，，，
∵A、C、E、F为矩形，
∴A、C、E三点形成，
①当时，
∴，
∴，
解得：，
，
②当，
∴，
∴，
解得：，
，
③当，
∴，
∴，
解得：，，
，，
综上所述：、、、，
(3)记OC中点D，作于点H ，过点C作AO平行线交PQ于点G，连接DG，如图所示：

∵DP为角平分线
∴，
∴，，

∴，
∴，
∴，


∴，

∴，

∴，
∴，
∴，


直线AC的表达式：，
，
设的解析式为：


PQ的解析式为：，
将点代入PQ得，
，
解得：，，
经检验：，都是原方程的根，但不合题意，舍去，
故
【点睛】本题考查了二次函数相关解析式，锐角三角函数的应用，属于综合题目，正确读懂题意是解题的关键．