2023年中考数学高频考点突破——一次函数与三角形综合

这是一份2023年中考数学高频考点突破——一次函数与三角形综合，共42页。试卷主要包含了定义，如图，直线l等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——一次函数与三角形综合
1．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，5），点E的坐标为（10，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2：y＝x相交于点P．
（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；
（2）Rt△ABC的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边BC平行于x轴，且AB＝3，BC＝．将Rt△ABC沿射线FE的方向平移，平移后的三角形记为△A'B'C'，边B'C'始终与x轴平行．已知Rt△ABC以每秒个单位长度的速度匀速移动（点A'与点E重合时停止移动），设移动的时间为t秒（t＞0）．
①在Rt△ABC移动过程中，当点A'与点P重合时，请直接写出此时t的值；
②在Rt△ABC移动过程中，当点B'落在直线l2时，请直接写出此时点A'的坐标及t的值．

2．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），AB∥OC，直线经过点B、C．
（1）点C的坐标为（　 　，　 　），点B的坐标为（　 　，　 　）；
（2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．
（3）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D．当CD＝10时，求直线l的解析式．

3．一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
（1）求C点坐标；
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使△ABC的面积和△ABM的面积相等，求M点坐标；
（3）点C′（2，0），在直线AB上是否存在一点P，使△AC′P为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．

4．定义：我们已知点P（x，kx+b）其中k、b为常数，k≠0，无论实数x取何值时，点P都在直线l：y＝kx+b上，我们就称直线l为点P的“磐石线”．例如，点P（a，2a+1），无论实数a取何值时，点P都在直线y＝2x+1上，即当x＝a时，y＝2a+1，则直线y＝2x+1是点P（a，2a+1）的“磐石线”．
（1）已知直线y＝﹣3x+1，它是　 　的“磐石线”（填序号）；
①点P（b，﹣3b）；②点P（﹣m，3m﹣1）；③点P（﹣m，3m+1）
（2）若点P（m，4m+8），求点P的“磐石线”解析式；
（3）若点P（m，km+8），m为任意实数，当m变化时，点P在它的“磐石线”上运动，若点P的“磐石线”与两条坐标轴围成了等腰直角三角形，求此时k的值．







5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21），一次函数y＝的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点．

（1）求证：OD＝BE；
（2）连接OM，若三角形ODM的面积为，求点M的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，点Q是平面内的一点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（﹣2，0），△ABO的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作PM⊥X轴交直线AB于M．

（1）求直线AB的解析式．
（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．


7．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D．
（1）若点D的横坐标为2，求直线BD的解析式和四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若y＝kx+b与函数y＝x+1的图象交于D始终在第三象限，则系数K的取值范围是　 　．（直接写结果）




9．如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，在y轴上有一点C（0，4），动点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为t秒．
（1）求点A的坐标；
（2）求当0＜t＜4时，△COM的面积S与时间t之间的函数表达式；
（3）当△ABM为等腰三角形时，求t的值．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），C为第一象限内一点，AC⊥y轴，BC⊥x轴，D坐标为（m，0）（0＜m＜4）．
（1）若D为OB的中点，求直线DC的解析式；
（2）若△ACD为等腰三角形，求m的值；
（3）E为四边形OACB的某一边上一点．
①若E在边BC上，满足△AOD与△DBE全等，求m的值；
②若使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个，直接写出符合条件的m的值．







11．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°．
（1）a＝　 　；b＝　 　．
（2）若点P在x轴上，请在图中画出图形（BP为虚线），并写出点P的坐标；
（3）若点P不在x轴上，是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图1，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例函数y＝x的图象交于点C．
（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点E是线段OD上一点，F是y轴正半轴上一点，且∠ECF＝45°，连接EF，求△OEF的周长．








13．（1）问题解决：①如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为A　 　、B　 　、C　 　．
（2）类比探究：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣3），点B坐标（4，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标．
（3）综合运用：如图2，在（2）的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是 　 　．

14．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），AB＝8，C点到x轴的距离CD为2，且∠ABC＝30°．
（1）求点C坐标；
（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，请求出这个最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．


15．如图：在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣3，0），交y轴于点B（0，1），过点C（﹣1，0）作垂直于x轴的直线交AB于点D，点E（﹣1，m）在直线CD上且在直线AB的上方．
（1）求k、b的值；
（2）用含m的代数式表示S四边形AOBE，并求出当S四边形AOBE＝5时，点E的坐标；
（3）当m＝2时，以AE为边在第二象限作等腰直角三角形△PAE．直接写出点P的坐标．

16．过点C（﹣6，c）的直线y＝2x+6，交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）点A坐标 　 　；点B坐标 　 　；点C坐标 　 　；
（2）如图，在BC左侧有一点D，使△BCD是等腰直角三角形，并且BD＝CD，求点D的坐标；
（3）过点A的直线AE把△BOC的面积分为1：2，交△BOC另一边于点E，求点E的坐标．



17．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥CD，过点B作BE⊥CD，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ与x轴交于点Q（1，0），与y轴交于点P（0，3），以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR，请直接写出点R的坐标．

18．【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）①已知直线l1：y＝x+8与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；
②如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y＝﹣3x+6上的动点且在y轴的右侧．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．


19．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．

（1）求点A，点B的坐标．
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．
20．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．






参考答案：
1．【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线l1的表达式为y＝﹣x+5，
联立直线l1与直线l2的表达式并解得，
故点P的坐标为（4，3）；

（2）①由点F、P的坐标知，FP＝＝2，
则t＝＝2；
②当点B落在l2上时，则设此时点B的坐标为（m，m），
而此时点A在直线l1上，故设此时点A的坐标为（m，﹣m+5），
则此时AB＝﹣m+5﹣m＝3，解得m＝，
故点A（A′）的坐标为（，），
则AF＝＝，
则t＝＝．
2．【解答】解：（1）对于，令x＝0，则y＝6，当x＝8时，则＝，
故点C、B的坐标分别为（0，6）、（8，），
故答案为：0，6；8，；

（2）AC＝＝10，
①若AP＝AC，则点P的坐标为（﹣2，0）或（18，0）；
②若CA＝CP，则点P的坐标为（﹣8，0）；
③若PA＝PC，设点P的坐标为（m，0），则m2+62＝（8﹣m）2，
解得m＝，故点P的坐标为（，0）；
综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（18，0）或（﹣8，0）或（，0）；

（3）如图2，过C点作CN⊥AB于N，

∵AB∥OC，
∴∠OCM＝∠DMC，
由题意∠DCM＝∠OCM，
∴∠DCM＝∠DMC，
∴CD＝MD＝10，
∵OC＝6，
∵CN＝OA＝8，
∴DN＝＝6，
∴NM＝10﹣6＝4，
∴AM＝2，
∴M（8，2），
设l解析式y＝kx+b，则，解得．
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+6；
3．【解答】解：（1）对于y＝x+2，令y＝x+2＝0，解得x＝﹣2，令x＝0，则y＝2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），
则OA＝2，OB＝2，则AB＝＝＝4＝2OB，
∴∠BAO＝30°，则∠ABO＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°＝∠ABO，BC＝CA＝AB＝4，
∴AC∥y轴，故点C的纵坐标为4，
故点C的坐标为（﹣2，4）；

（2）∵△ABC的面积和△ABM的面积相等，
故CM∥AB，
设直线CM的表达式为y＝x+t，
将点C的坐标为代入上式得：4＝﹣×2+t，解得t＝6，
故直线CM的表达式为y＝x+6，
将点M的坐标坐标代入上式得：1＝m+6，解得m＝﹣5，
故点M的坐标为（﹣5，1）；

（3）设点P的坐标为（p，p+2），
由点A、C′、P的坐标得：PC′2＝（p﹣2）2+（p+2）2，PA2＝（p+2）2+（p+2）2，AC2＝（2+2）2，
当PC′＝PA时，则（p﹣2）2+（p+2）2＝（p+2）2+（p+2）2，
解得p＝1﹣；
当PC＝AC′时，则（p﹣2）2+（p+2）2＝（2+2）2，
解得p＝3；
当PA＝AC′时，则（p+2）2+（p+2）2＝（2+2）2，
解得p＝3﹣或﹣3﹣3；
故点P的坐标为（1﹣，）或（3+，3+）或（3﹣，）或（﹣3﹣3，﹣﹣1）．
4．【解答】解：（1）当x＝b时，y＝﹣3x+1＝﹣3b+1≠﹣3b，故①不符合题意，
当x＝﹣m时，y＝﹣3x+1＝3m+1≠3m﹣1，故②不符合题意，
当x＝﹣m时，y＝﹣3x+1＝3m+1，故③符合题意，
故答案为③；

（2）设x＝m，y＝4m+4＝4×4x+8＝16x+8，
故点P的“磐石线”解析式为y＝16x+8；

（3）由（2）知，y＝4kx+8，
令x＝0，则y＝8，令y＝0，即4kx+8＝0，解得x＝﹣，
则直线与坐标轴的交点为（0，8），（﹣，0），
∵点P的“磐石线”与两条坐标轴围成了等腰直角三角形，
∴8＝|﹣|，
解得k＝±．
5．【解答】解：（1）当x＝15时，y＝＝﹣9+15＝6，故点E（15，6），
对于y＝，令x＝0，则y＝15，故点D（0，15），
则DO＝15，BE＝21﹣6＝15＝OD；

（2）点M在直线ED上，则设点M（m，﹣m+15），
三角形ODM的面积＝×DO×m＝×15m＝，解得m＝5，
故点M的坐标为（5，12）；

（3）设点P（t，0），点N（a，b），由O、M的坐标知，OM＝＝13，
①当OM是边时，
点O向右平移5个单位向上平移12个单位得到点M，同样，点P（Q）向右平移5个单位向上平移12个单位得到点Q（P），
则t±5＝a且0±12＝b，
当t+5＝a且0+12＝b时，OP＝OM＝13＝|t|，解得或，
故点Q的坐标为（18，12）或（﹣8，12）；
当t﹣5＝a且0﹣12＝b时，OQ＝OM，
同理可得点Q的坐标为（5，﹣12）；
②当OM是对角线时，
由中点公式得：（t+a）＝（5+0）且（0+b）＝（0+12）①，
此时，OP＝OQ，即t2＝（5﹣t）2+122②，
联立①②并解得，
故点Q的坐标为（﹣11.9，12）；
综上，点Q的坐标为（18，12）或（﹣8，12）或（5，﹣12）或（﹣11.9，12）．
6．【解答】解：（1）S△ABO＝×OA×OB＝AO×2＝2，则OA＝2，即点A（0，2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
直线AB的表达式为：y＝x+2；
（2）t秒时，点P的坐标为（﹣2+t，0），则MP＝BP＝t，
S＝×PQ×MP＝2t＝t（0＜t≤2）；
（3）存在，理由：

t秒时，点M、N、Q的坐标分别为（﹣2+t，t）、（t，t+2）、（t，0），
则：MN2＝4+4＝8，MQ2＝4+t2，NQ2＝（t+2）2，
当MN＝MQ时，即：8＝4+t2，t＝2（负值已舍去），
当MN＝NQ时，同理可得：t＝2﹣2（负值已舍去），
当MQ＝NQ时，同理可得：t＝0（舍去），
故：当△MNQ是等腰三角形时，t＝2或2﹣2．
7．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，6），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵点C（2，4）在直线AB上，
∴2k+6＝4，
∴k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；

（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
令y＝0，
∴﹣x+6＝0，
∴x＝6，
∴B（6，0），
∴S△OBC＝OB•yC＝12，
∵△OPB的面积是△OBC的面积的，
∴S△OPB＝×12＝3，
设P的纵坐标为m，
∴S△OPB＝OB•m＝3m＝3，
∴m＝1，
∵C（2，4），
∴直线OC的解析式为y＝2x，
当点P在OC上时，x＝，
∴P（，1），
当点P在BC上时，x＝6﹣1＝5，
∴P（5，1），
即：点P（，1）或（5，1）；

（3）∵△OBP是直角三角形，
∴∠OPB＝90°，
①当点P在OC上时，如图，过点C作CH⊥x轴于H，
∵C（2，4），
∴CH＝4，OC＝2
∴S△OBC＝OB•CH＝OC•BP，
∴BP＝＝＝，
由（2）知，直线OC的解析式为y＝2x①，
设点P的坐标为（m，2m），
∵B（6，0），
∴BP2＝（m﹣6）2+4m2＝，
∴m＝
∴P（，），
②当点P在BC上时，同①的方法，
∴P（3，3），
即：点P的坐标为（，）或（3，3）．

8．【解答】解：（1）∵点D的横坐标为2，点D在y＝x+1的图象上，
∴D（2，3），
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣1，
∴A（0，1），C（，0），
∴S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD＝×1×2+××3＝；
（2）存在；
∵D（2，3），
由y＝x+1得到A（0，1），H（﹣1，0），
∴OA＝OH，
∴∠HAO＝∠QAD＝45°，
∴AD＝2，
当AP＝AD＝2时，
在Rt△APO中，OP＝＝，
∴P（，0），（﹣，0）
当AP＝DP时，点P在AD的中垂线上，
作AD的中垂线交x轴于P′，交y轴于Q，
∵∠QAD＝45°，
∴∠QP′O＝45°，
∴OP′＝OQ＝1+2，
∴OP′（3，0），
当AD＝PD＝2＜3，
∴不存在，
综上所述；点P的坐标为：（，0），（﹣，0），（3，0）；

（3）若y＝kx+b与函数y＝x+1的图象交于D始终在第三象限，则﹣1＜k＜1且k≠0，
故答案为：﹣1＜k＜1且k≠0．


9．【解答】解：（1）对于直线AB：y＝﹣x+2，
当y＝0时，x＝4，
∴A点的坐标为（4，0）；

（2）∵C（0，4），A（4，0），
∴OC＝OA＝4，
当0＜t＜4时，OM＝OA﹣AM＝4﹣t，
∴S＝S△OCM＝×4×（4﹣t）＝8﹣2t；

（3）∵直线AB：y＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝2，
则B点的坐标为（0，2），
△ABM是等腰三角形，有三种情形：

①当BM＝AM时，设BM＝AM＝t，则OM＝4﹣t，
在Rt△OBM中，OB2+OM2＝BM2，
∴22+（4﹣t）2＝t2，
∴t＝，
∴t＝时，△ABM是等腰三角形；
②当AM′＝AB＝＝2时，即t＝2时，△ABM是等腰三角形；
③当BM″＝BA时，
∵OB⊥AM″，
∴OM″＝OA＝4，
∴AM″＝8，
∴t＝8时，△ABM是等腰三角形．
综上所述，满足条件的t的值为或2或8．
10．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（4，0），四边形AOBC是矩形，
∴OA＝BC＝3，OB＝AC＝4，
∴C（4，3），
∵点D为OB中点，
∴D（2，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣3．

（2）①当DA＝DC时，D（2，0）．
∴m＝2，
②当AD＝AC＝4时，在Rt△AOD中，OD＝＝，
∴D（，0）．
∴m＝；
③当CD＝AC时，在Rt△BCD中，BD＝＝，
∴D（4﹣，0）．
∴m＝4﹣，
即m的值为2或或4﹣；
（3）①若△AOD≌△DBE，
∴DB＝OA＝3，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∴m＝1．
若△AOD≌△EBD，
∴OD＝BD＝2，OA＝BE＝3，
∴m＝2，
综上所述，m＝1或2时，△AOD与△DBE全等；
②如图1中，当m＝3时，使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个；

如图2中，当E与C重合时，OD＝DC＝m，
在Rt△CDB中，∵CD2＝BD2+BC2，
∴m2＝（4﹣m）2+32，
∴m＝．此时使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个；

综上所述，m＝3或时，△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个．

11．【解答】解：（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝a2﹣4a+4+b2﹣8b+16＝（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝4，
故答案为：2，4；

（2）如图，

由（1）知，b＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4．
∵点P在直线AB的右侧，P在x轴上，∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0）；

（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
当∠BAP＝90°时，过点P作PH⊥x轴于H，

∴∠AOB＝∠AHP＝90°，
∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°，
∴∠OBA＝∠HAP，
又∵∠APB＝45°，
∴AP＝AB，
∴△OBA≌△AHP（AAS），
∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2，
故点P的坐标为（2，﹣2）；
当∠ABP＝90°时，
同理可得：点P的坐标为（4，2），
故点P的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
12．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴一次函数y＝﹣x+3，
∵与函数y＝x的图象交于点C，
∴﹣x+3＝x，
∴x＝2，
当x＝2时，y＝x＝2，
∴C点的坐标（2，2）．
（2）设P（0，m），
∵B（0，3），C（2，2）．
∴BC2＝（0﹣2）2+（3﹣2）2＝5，
PC2＝（0﹣2）2+（m﹣2）2＝4+（m﹣2）2，
BP2＝（m﹣3）2，
要使△BCP是等腰三角形，
①BC＝PC，
∴BC2＝PC2，
4+（m﹣2）2＝5，
m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1，
m＝3或m＝1，
当m＝3时与P点重合（舍去），
∴m＝1，
∴P（0，1），
②BC＝BP，
∴BC2＝BP2，
∴（m﹣3）2＝5，
m﹣3＝或m﹣3＝﹣，
∴m＝3+或m＝3﹣，
∴P（0，3+）或P（0，3﹣），
③PC＝BP，
∴PC2＝BP2，
∴4+（m﹣2）2＝（m﹣3）2，
解得m＝，
∴P（0，）．
综上所述，P点的坐标为：（0，1）或（0，3+）或（0，3﹣）或（0，）．
（3）过点C作CP交x轴于点P，使DP＝HF，过点C作CH⊥y轴，

∵CH⊥y轴，OD⊥y轴，CD⊥x轴，OH⊥x轴，
∴∠CHO＝∠HOD＝∠OPC＝∠PCH＝90°，
∴四边形HODC为长方形，
∵C（2，2）．
∴CD＝OD＝2，
∴四边形HODC为正方形，
∴CH＝CD，
∵在△CHF和△CDP中，∠CHF＝∠CDP＝90°，CH＝CD，HF＝DP，
∴△CHF≌△CDP（SAS），
∴CF＝PC，∠HCF＝∠DCP，
∵∠HCD＝∠HCF+∠FCE+∠ECD＝∠HCF+∠FCD＝90°，
∴∠DCP+∠FCD＝90°，
∴∠HCP＝∠FCD+∠DCP＝90°，
∵∠FCE＝45°，
∴∠ECP＝∠FCP﹣∠FCE＝90°﹣45°＝45°，
在△ECF和△ECP中，∠FCE＝∠ECP，CE＝CE，CF＝CP，
∴△CFE≌△CPE（SAS），
∴EF＝EP，
∵EP＝ED+DP＝ED+HF，设OE＝m，OF＝n，
∴HF＝OH﹣OF＝2﹣n，ED＝2﹣m+2﹣n＝4﹣m﹣n，
∴△OEF的周长＝OE+OF+EF
＝m+n+4﹣m﹣n
＝4．
13．【解答】解：（1）∵一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣5，0），B（0，1），
过点C作CD⊥x轴于D，

∵∠CAD+∠BAO＝90°且∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
∵∠CDA＝∠AOB，AC＝AB，
∴△CDA≌△AOB，
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝5，
∴C（﹣6，5），
故答案为：A（﹣5，0），B（0，1），C（﹣6，5）；
（2）过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，

∵点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，
∴设D（m，﹣2m+2），
∴F（0，﹣2m+2），
∵BP⊥x轴，点B坐标（4，0），
∴G（4，﹣2m+2），
∵∠ADF+∠PDG＝90°且∠FAD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝∠PDG，
∵AD＝PD，∠AFD＝∠PGD＝90°，
∴△ADF≌△DPG（AAS），
∴AF＝DG，DF＝PG，
设DF＝m，
∵DF+DG＝OB＝4，
∴m+|﹣2m+2+3|＝4，
∴m＝1或m＝3，
∴D（1，0）或D（3，﹣4），
当m＝3时，DF＝3＝PG，
∴DG＝4﹣3＝1＝AF，
∴G（4，4），
∴BP＝4﹣3＝1，
∴P（4，﹣1），
当m＝1时，DF＝1＝PG，
∴DG＝4﹣1＝3＝AF，
∴G（4，4），
∴BP＝4﹣3＝1，
∴P（4，﹣1），
故答案为：D1（3，﹣4）P1（4，﹣1）或D2（1，0）P2（4，﹣1）．
（3）设M（t，0）过点N作NH⊥x轴交x轴于H，

根据旋转的性质可得△AOM≌△MHN，
∴OM＝HN，OA＝HM，
∴N（t+3，﹣t），
∴ON+AN＝＝S，
S可以看作点（t，t）到（﹣3，0）和（﹣3，3）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，
如图，

D（t，t）是y＝x上的动点，
∴F（﹣3，0），E（﹣3，3），
∴S＝DE+DF，
F关于y＝x的对称点为P（0，﹣3），
∴DF＝DP，
∴当E、D、P三点共线时，S取得最小值＝3，
即ON+AN的最小值是3．
故答案为：3．
14．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，
∴BD＝CD＝＝6，
∴OD＝1，
∴点C的坐标为（1，2）；
（2）过点A作AG∥EF，且AG＝EF，连接EG，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′E，得EC′＝EC，
∴四边形EFAG是平行四边形，
∴EG＝AF，
∴线段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，
当C′、E、G三点共线时，线段CE+AF+有最小值，
∵点C′的坐标为（﹣1，2），点G的坐标为（3，），
∴C′G＝＝，
∴线段CE+EF+AF的最小值＝；
（3）存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形，
由平移性质可知∠BB′G′＝∠CBG＝60°，
又∵∠G′B′H′＝30°，
∴∠MB′B＝90°，G′B′＝GB＝CB＝＝4，
分三种情形
①B′M＝B′G′，如图4，∠MB′G′＞90°，
∴MB′＝G′B′＝4，
在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，
∴MB＝2MB′＝8，
∴点M的坐标为（﹣5﹣8，0）；
如图6，此时MB′＝G′B′＝4，
在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，
∴MB＝2MB′＝8，
∴点M的坐标为（﹣5+8，0）；
②如图，M与A重合，此时MB′＝MG′＝4，
∴BM＝BA＝8，
∴点M的坐标为（3，0）；
③如图7，B′G＝MG′＝4，
在△B′G′M中，∠B′G′M＝120°，
∴B′M＝4×＝12，
∴MB＝12×2＝24，
∴OM＝24﹣5＝19，
∴点M坐标为（19，0），
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（﹣5+8，0）或（﹣5﹣8，0）或（19，0）．




15．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣3，0），交y轴于点B（0，1），
∴，解得；

（2）由（1）可知，直线AB的解析式为y＝x+1，
∵EC⊥OA，E（﹣1，m），
∴D（﹣1，），
∴DE＝m﹣，
∴S四边形AOBE＝S△ABE+S△AOB＝•（m﹣）•3+×3×1＝m+，
当S四边形AOBE＝5时，即m+＝5，解得m＝3，
故点E（﹣1，3）；

（3）当m＝2时，EC＝AC＝2．

∵∠ACE＝90°，AC＝EC，
∴△AEC是等腰直角三角形，
当AE是等腰直角三角形的斜边时，P（﹣3，2），
当AE是等腰直角三角形的直角边时，P1（﹣5，2）或P2（﹣3，4）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣3，2）或（﹣5，2）或（﹣3，4）．
16．【解答】解：（1）令y＝0，0＝﹣2x+6，x＝﹣3，则A（﹣3，0）；
令x＝0，y＝6，则B（0，6）；
把x＝﹣6代入直线关系式得：y＝﹣2×（﹣6）+6＝﹣6，
则D（﹣6，﹣6），
故答案为：（﹣3，0），（0，6）、（﹣6，﹣6）；

（2）如图，过点D作DE⊥y于点E，过点C作CF⊥DE与点F，交x轴于点H，

则∠FDC+∠FCD＝90°，∠CFD＝∠DEB＝90°
∵△BDC为等腰直角三角形，BD＝CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDE+∠CDF＝90°，
∴∠BDE＝∠DCF
∵∠CFD＝∠DEB，∠BDE＝∠DCF，BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，BE＝DF，
∵C（﹣6，﹣6），
∴CH＝FE＝6，
∴FH＝DF＝BE，
∵B（0，6），
∴BO＝6，
∴EO＝BE＝3，
∴DE＝FE+DF＝6+3＝9，
∴D（﹣9，3）；
（3）△BOC的面积＝×BO×|xC|＝×6×6＝18，
同理可得：S△AOB＝S△AOC＝9，

①当点E（E′）在边BO上时，
由题意得：S△BAE′＝S△BOC＝×18＝6＝×BE′×AO＝×BE′×3，解得BE′＝4，
而点B（0，6），
故点E′的坐标为（0，2）；
②当点E在边CO上时，
由题意得：S△AEC＝S△BOC＝×18＝6，
而S△AOC＝9，故S△AEO＝9﹣6＝3＝×AO×|yE|＝×3×|yE|，解得yE＝﹣2，
由点O、C的坐标知，直线OC的表达式为y＝x，
当y＝﹣2时，y＝x＝﹣2，
故点E的坐标为（﹣2，﹣2），
故点E的坐标为（0，2）或（﹣2，﹣2）．
17．【解答】（1）证明：

∵∠ACB＝90°，AD⊥l，
∴∠ACB＝∠ADC，
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，

（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝MN，且∠OMN＝90°
∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，
∵M（1，3），
∴MF＝1，OF＝3，
∴MG＝3，NG＝1，
∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，
∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，
∴点N的坐标为（4，2），

（3）解：分三种情况：
当点P为直角顶点时，如图3，

过点R1作R1E⊥y轴于点E，
由（1）知，△R1EP≌△POQ，
∴ER1＝OP，EP＝OQ，
∵Q（1，0），P（0，3），
∴OQ＝1，OP＝3，
∴OE＝3+1＝4，ER1＝3，
∴R1（3，4），
同理可得R2（﹣3，2）．
当点Q为直角顶点时，如图4，

过点R3作R3D⊥x轴于点D，
由（1）知△R3DQ≌△QOP，
∴DR3＝OQ，OP＝DQ，
∵Q（1，0），P（0，3），
∴OQ＝1，OP＝3，
∴OD＝3+1＝4，DR3＝1，
∴R3（4，1），
同理可得R4（﹣2，﹣1）．
当点R为直角顶点时，如图5，

过点R5作y轴的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线，交ER5于点D，
由（1）知△R5DP≌△QER5，
∴DR5＝EQ，PD＝R5E，
∵Q（1，0），P（0，3），
∴OQ＝1，OP＝3，
设QE＝a，则PD＝a+1，
∴a+1+a＝3，
∴a＝1，
∴R5（2，2），
同理可得R6（﹣1，1）．
综上所述可得点R的坐标为（3，4）或（﹣3，2）或（4，1）或（﹣2，﹣1）或（2，2）或（﹣1，1）．

18．【解答】解：（1）∵∠EBC+∠ECB＝90°，∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC＝90°，CB＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；

（2）①直线l1：y＝x+8与坐标轴交于点A、B，则点A、B的坐标分别为：（﹣6，0）、（0，8），
则AO＝6，OB＝8，
如图2，过点B作CB⊥AB交l2于点C，过点C作CH⊥y轴于点H，

由（1）知：△CHB≌△BOA（AAS），
∴CH＝OB＝8，HB＝OA，故点C（﹣8，14），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
l2的表达式为：y＝﹣7x﹣42；
②点D在y＝﹣3x+6上，设点D（m，﹣3m+6），
过点D作x轴的平行线交y轴于点M，交CB的延长线于点N，

则△DMA≌△PND（AAS），
∴AM＝DN，即8﹣m＝|﹣6+3m﹣6|，
解得：m＝2或5；
故点D的坐标为：（2，0）或（5，﹣9）．
19．【解答】（1）一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；

（2）联立y＝﹣x+6、y＝x并解得：x＝3，故点C（3，），
S△AOC＝8×＝15＝S△BCP＝BP×（yP﹣yC）＝BP×（6﹣），
解得：BP＝，
故点P（，6）或（﹣，6）

（3）设点E（m，m）、点P（n，6）；
①当∠EPA＝90°时，
当点P在y轴右侧时，
当点P在点E的左侧时，如图1，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，
∵△EMP≌△PNA（AAS），
则ME＝PN＝6，MP＝AN，
即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，
解得：m＝，
当点P在点E的右侧时，如下图，

同理可得m＝16，
当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，

同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，
解得：m＝14，故点E（14，）；
故点E（，）或（14，）或（16，20）；
如3图，

同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），
故MP＝EN，AM＝AN＝6，
即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14，
故点E（2，）或（14，）；
综上，E（，）或（14，）或（2，）或（16，20）．
20．【解答】（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），
∴3k1＝4，
∴k1＝，
∴正比例函数解析式为y＝x．
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，

在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，
∴AO＝＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴B（0，﹣5），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．
（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
∵A（3，4），
∴AD＝3，
∴S△AOB＝；
（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），
当AO＝AP时，P3（6，0），
当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，
∴，
满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．