人教版5 数学广角 （鸽巢问题）教案及反思

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第五单元   数学广角--鸽巢问题大单元设计单元分析课标分析：1、领域：“数与代数”领域2、学段：第三学段3、主题：“数与运算”主题，4、核心素养：培养学生数感、抽象能力、运算能力、推理意识、模型意识、应用意识、创新意识。教材分析：专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的旧教材相比,这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世界的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。学情分析：“抽屉原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“抽屉原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中,应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。单元主题数学广角--鸽巢问题单元学习目标1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。    2.提高学生解决简单的实际问题的能力。    3.通过“抽屉原理”的灵活应用,感受数学的魅力。单元评价 初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。教学建议1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。 2.有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体问题时,能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,是解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴;再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思维和能力的重要体现。 3.要适当把握教学要求。“抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。因此,用“抽屉原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如,有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”。因此,教学时,不必过于要求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就可以了,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。 课时整合1鸽巢问题             1课时2“鸽巢问题”的具体应用 1课时                                         教  学  设  计学  科数学地  点 日  期 年  级六年级单  元第五单元备课人 集体备课成员 课  题5.1鸽巢问题课  时1课时教材编排意 图（依据课标所规定的教学原则和要求）本节教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢原理”，使学生在理解的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢原理”去解决。学情分析（应侧重知识与能力的分析）虽然六年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力都有了较大的提高，但因为鸽巢原理的实质是揭示了一种存在性，比较抽象，因此要真正让小学生深刻理解，还是很有挑战性的。学习目标1、通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解抽屉原理，运用抽屉原理的知识解决简单的实际问题。2、在抽屉原理的过程中，使学生逐步理解和掌握抽屉原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。3、通过对抽屉原理的理解，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。重、难点重点：经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理。难点：理解抽屉原理，并对一些简单的实际问题加以模型化。教学用具准备教师准备：PPT课件学生准备：预习，铅笔，笔筒中心发言人备课内容讨论修改补充一、 新知导入导入语：3只鸽子，2个窝，要怎样放它们回家呢？（课件出示图片）生：第一只鸽子进第一个窝，第二只鸽子进第二个窝，第三只鸽子可以进第一个窝，也可以进第二个窝。【设计意图：通过简单的鸽子飞进窝里的小游戏，激发学生的求知欲望，唤起学生的主题意识，为学生自主探究、发现问题、解决问题营造氛围。】二、 新知建构1.教学例1课件出示题目：把4支铅笔放入3个笔筒里，可以怎样放？    （1）学生自己动手在小组内摆一摆，说一说，教师巡视。【设计意图：尊重学生的个性差异，引导学生用自己的方式去探究、发现，经历抽屉原理的探究过程。】（3）师生共同探究师：解决这个问题，我们可以用列举法，就是把所有的可能都列举出来。第一种，4支铅笔都放在第一个笔筒里。第二种，第一个笔筒里放3支铅笔，第二个笔筒里放1支。第三种，第一个笔筒里放2支铅笔，第二个笔筒里放2支铅笔。第四种，第一个笔筒里放2支铅笔，第二个笔筒里放1支，第三个笔筒里放1支。    把这些情况以表格的方式呈现出来。    师：观察这个表格，你发现了什么？    生：一定会有一个笔筒会有2支或2支以上的铅笔    师：这里的“一定会”就是“总有”，“2支或2支以上的铅笔”就是“至少有2支”，也就是说把4支铅笔放入3个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。    师：刚才我们用的列举法，你还能用别的方法得出结论吗？教师讲解假设法假设每个笔筒里都先放一支铅笔。师：为什么假设每个笔筒里都先放一支铅笔。生：因为4÷3=1（支）……1（支）（平均分）师：剩下的一支不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。（4）小结    把 （n+1） 个物体任意放进 n 个抽屉中，（ n 是非0自然数），总有一个抽屉中至少放进了 2 个物体。【设计意图：让学生通过列举、假设等方法把抽象的数学知识同具体的分析策略结合起来，经历知识发生、发展过程，体验策略的多样化。】    2.教学例2    课件出示题目：    把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？    师：刚才我们用了列举法和假设法，这道题我们采用什么方法呢？    生：在实际生活中，有时数据较大，用“列举法”就不太方便。 师：那么用假设法怎样解答呢？7÷3=2（本）……1（本）把7本书平均分成3份，假设每个抽屉放2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。也就是说把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。师：如果有8本书会怎样呢？10本呢？教师介绍计算法7    ÷    3    =    2（本）……1（本）8    ÷    3    =    2（本）……2（本）10   ÷    3    =    3（本）……1（本）被除数是总本数，除数是抽屉数，商是平均每个抽屉放进的本数，余数是剩下的本数，如果余下1本，任选其中1个抽屉放进去。那么总有一个抽屉里至少有3本数，如果余下2本，任选其中1个或2个抽屉放进去，那么总有一个抽屉里至少有3本数。在这里，至少数=商+1，不管余数是几，都加1。也就是总有一个抽屉里至少有（商+1）个物体。小结：分放的物体÷抽屉数=商……余数总有一个抽屉里至少有商+1 个物体【设计意图：抓住假设法的核心思路，用有余数的除法形式表示，让学生直观的理解如果把书尽量多的平均分给各个抽屉，看看每个抽屉能分到多少，余下的多少，都能保证总有一个抽屉里的数量至少是商+1。】三、 课堂练习1.5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？2.11 只鸽子飞进了 4 个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了 3 只鸽子。为什么？3.9个小朋友分30块糖，至少有一名小朋友分到几块糖？4.新兴镇上设置了3个信箱，现在有16封信要发出去，不管这些信怎么投，必有一个信箱里至少要投进6封信。你知道为什么吗？【设计意图：这些练习既巩固新知，又让学生体验思维的乐趣，培养了学生应用数学知识的能力，充分调动了学生的学习积极性。】四、 课堂小结师：通过这堂课的学习，你有哪些收获？学生畅所欲言鸽巢问题    把m个物体放入n个抽屉里（m＞n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。【设计意图：通过让学生谈学习中的收获和困惑，既了解学生在学习过程中的得与失，又能体察到学生在学习过程中的情感体验。】五、作业设计教材练习十三第1-3题。选做：A类1.1001只鸽子飞进50个鸽舍,无论怎么飞,我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里面至少有(　　)只鸽子。2.从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了(　　)个苹果。3.从(　　)(填最大数)个抽屉中拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果。(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决简单的具体问题)B类你能证明在任意的37人中,至少有4人的属相相同吗?说明理由。(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决生活中的实际问题) 板书设计鸽巢问题    m个物体放入n个抽屉里（m＞n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。板书设计 课后反思             交流反思               教  学  设  计学  科数学地  点 日  期 年  级六年级单  元第五单元备课人 集体备课成员 课  题5.2鸽巢原理的应用课  时1课时教材编排意 图（依据课标所规定的教学原则和要求）本节课在学生初步掌握鸽巢原理的基础上，进行简单的反向运用和解决问题。这对鸽巢问题的进一步研究，使学生加深理解，也是对鸽巢原理运用范围的进一步拓展，为今后深度学习打下坚实的基础。因此，我们着力遵循教材体系，引导学生从模糊到清晰再到熟练，促学习力提升。学情分析（应侧重知识与能力的分析）已有：学生对物体数除以抽屉数等于商余余数，至少数等于商加一这个模型有了初步感知，能正向运用鸽巢原理解决问题困难：反向运用鸽巢原理解决问题及清楚辨析谁是物体数，谁是抽屉数有一定的困惑。因此，本节课我们主要引导学生聚焦数学眼光，在分析推理中明晰抽屉数和物体数，不断发展学生的数学思维。学习目标1、经历“鸽巢原理”的探究过程，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3、通过“鸽巢原理”的灵活运用，感受数学的魅力。重、难点理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。教学用具准备PPT课件中心发言人备课内容讨论修改补充一、新知导入导入语：同学们，上节课我们学习了“鸽巢原理”，我们一起来看看这道题，能不能用我们学过的“鸽巢原理”来解决呢？课件出示：把12颗荔枝放入5个果盘里，总有一个果盘里至少有多少颗荔枝。学生思考并回答：生：12颗荔枝是要分放的物体，5个果盘是抽屉数，根据分放的物体÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1，列出算式：12÷5=2（颗）……2（颗）2+1=3（颗）答：把12颗荔枝放入5个果盘里，总有一个果盘里至少有3颗荔枝。师：我们学习了“鸽巢原理”今天我们就用“鸽巢原理”来解决简单的实际问题。（板书课题）【设计意图：通过复习“鸽巢原理”引入新知，为学生自主探究、发现问题、解决问题营造氛围。】二、新知建构教学例3课件出示题目：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？                学生先猜一猜。   师生共同探究猜测1：摸出 2 个如果只摸出2个球，有三种情况，第一种情况是一红一蓝，第二种情况是两个红球，第三种情况是两个蓝球。所以只摸 2 个球不能保证是同色的。猜测2：摸出 3 个如果只摸出3个球，有四种情况，第一种情况是一红两蓝，第二种情况是两红一蓝，第三种情况是三个红球，第四种情况是三个蓝球。所以只摸 3 个球能保证是同色的。猜测3：摸出 5 个如果只摸出5个球，有四种情况，第一种情况是一红四蓝，第二种情况是两红三蓝，第三种情况是三红两蓝，第四种情况是四红一蓝。所以只摸 5 个球能保证是同色的，但不是最少的。师：我们还可以把颜色看成“抽屉”，摸出的红球放入“红抽屉”，蓝球放入“蓝抽屉”，一定有2个同色的就是说总有一个抽屉至少有2个球。根据把 （n+1） 个物体任意放进 n 个抽屉中，总有一个抽屉中至少放进了 2 个物体。抽屉数就是n，也就是2，物体数就是n+1，也就是2+1=3。也就是摸出的球数 = 颜色种类 + 1 。【设计意图：此种类型的题目是“鸽巢原理”的逆应用，在学习了“鸽巢原理”之后对此类题目的逆向思考，培养学生全面思考的能力。】三、课堂练习1.把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到2个颜色相同的球？2.把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球？3.把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到a个颜色相同的球？4.在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？【设计意图：这些练习既巩固新知，又让学生体验思维的乐趣，培养了学生应用数学知识的能力，充分调动了学生的学习积极性。】四、课堂小结师：通过这堂课的学习，你有哪些收获？学生畅所欲言利用鸽巢原理解决实际问题的方法1.根据题意，把实际问题转化为鸽巢问题，即构造鸽巢和找出要分放的物体。2.把物体放进鸽巢，进行分析。3.说明理由，得出结论。【设计意图：通过让学生谈学习中的收获和困惑，既了解学生在学习过程中的得与失，又能体察到学生在学习过程中的情感体验。】五、 作业设计教材练习十三第4-6题。选做：A类1.某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书?2.有4双不同颜色的手套,至少拿几只手套才能保证有两只手套是成对的?(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:运用“鸽巢问题”的原理解决实际问题)B类有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起,如果让你闭上眼睛去摸,你至少要摸出几根才能保证有2根筷子是同色的?为什么?至少摸出几根,才能保证有4根同色的筷子?为什么?(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:运用“鸽巢问题”的原理解决问题) 板书设计鸽巢原理的应用   板书设计 课后反思    交流反思