高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算练习

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高二数学（下）第六章计数原理（必修二）检测（时间120分钟，满分150分）一．    选择题（1-8每小题5分，共计40分）1. （，）可以表示为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】结合排列数的计算公式计算出正确选项.【详解】依题意：.故选：B.2. 若，则 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用组合的性质即可得出结果.【详解】由，得，；故选：C.3. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（       ）A．36 B．72 C．600 D．480【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个.故选：.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.4. 若二项式的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出展开式的通项，由的指数为0可得出关系.【详解】由题意，得的展开式的通项为，当，即时，为常数项，此时，所以m，n应满足.故选：A.5. 五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有1人，则不同排法的总数是(　　)A．48  B．36C．18  D．12【答案】B【解析】甲、乙中间任排一人有C种，3人捆绑视为一个元素有CA种排法，再与另外2人，3个元素全排，则一共有CAA＝36种排法．6. 现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（       ）A．2本 B．3本 C．4本 D．5本【答案】C【解析】【分析】设出语文课本数，利用互斥事件概率的加法公式并借助组合数列出方程求解即得.【详解】设语文课本有n本，则数学课本有本，从7本书中任取2本的试验有个基本事件，它们等可能，其中至多有1本语文课本的事件A是恰1本语文课本的事件A1和没有语文课本的事件A2的和，它们互斥，事件A1所含的基本事件数为，事件A2所含的基本事件数为，则，，因此，，化简整理得，解得或(舍去)，所以语文课本有4本.故选：C7. 在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（       ）A．第11项 B．第13项C．第18项 D．第20项【答案】D【解析】【分析】先求出x4的系数55，代入等差数列的通项公式即可求出n＝20.【详解】(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为.以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.故选：D8. 横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（       ）A．1860 B．1320 C．1140 D．1020【答案】C【解析】【分析】根据女嘉宾被选中的人数进行分类，选中两位女嘉宾时用插空法进行排列.【详解】由题意可知分为两类：第一类，2位女嘉宾只有一位被选中，则还需从6位男嘉宾里选出3位，然后全排列，所以不同的演讲顺序有，第二类，2位女嘉宾同时被选中，则还需从6位男嘉宾里选出2位，所以2位女嘉宾的演讲顺序不相邻的不同演讲顺序有，综上，不同的演讲顺序的种数是，故选：C.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．二．    多项选择题（9-12每小题5分，共计20分）9. 的展开式中含项的系数为2，则a的值为（       ）A．1 B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】利用二项式展开式可得，解方程即可求解.【详解】的展开式中含项的系数为即，∴，∴或.故选：AD10. 若，则n的可能取值有（       ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABCD【解析】【分析】直接解组合数不等式即可得到正确答案.【详解】由得⇒又n∈N*，则n＝6，7，8，9.∴该不等式的解集为{6，7，8，9}．故选：ABCD.11. 下列选项中正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】【分析】根据阶乘的计算公式，逐项计算即可得解.【详解】∵，∴A正确；∵，∴B正确；∵，∴C错误；∵，∴D错误.故选：AB12. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（       ）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为【答案】ABD【解析】【分析】A.利用组合的概念进行计算并判断；B.分类考虑：物理和化学只选一门、物理和化学都选，由此计算并判断；C.利用间接法进行分析计算并判断；D.将问题分为三类进行分析：只选物理、只选化学、同时选物理和化学，由此进行计算并判断.【详解】A. 任意选择三门课程，属于组合问题，可得选法的总数为，故错误；B.物理和化学只选一门的选法数：，物理和化学同时选的选法数：，所以选法总数为，故错误；C.物理和历史同时选的选法数：，所以物理和历史不能同时选的选法总数为，故正确；D.只选物理时，不选化学和历史，选法数为：；只选化学时，不能选物理，选法数为：；物理和化学同时选，不能选历史，选法数为：，所以选法总数为：，且，故错误；故选：ABD.三．    填空题（13-16每小题5分，共计20分）13. 已知，，成等差数列，则＝________.【答案】91【解析】【分析】利用等差中项及组合数公式即求.【详解】∵，，成等差数列，∴2＝＋，∴2×＝＋整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，则.故答案为：91.14.某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有________种.（用数字作答）【答案】624【解析】【分析】讨论甲的位置，把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列排列即可求解．【详解】当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有；当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有；当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有；因为共有．故答案为：624．15. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行第1行第2行第3行第4行第5行11　11　2　11　3　3　11　4　6　4　11　5　10　10　5　1【答案】34【解析】【分析】利用二项式系数的性质及组合数公式即求.【详解】在第n行中，即(a＋b)n的展开式中第14个与第15个二项式系数分别为和，∴∶＝2∶3，即，∴n＝34.故答案为：34.16. 把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种．【答案】96【解析】【分析】计数综合问题，可先对b，b，，进行排列，然后用“插空法”解决三个“a”两两不相邻的问题，最后减去两个“b”相邻的情况即为所求【详解】根据题意，分情况进行分析：①先排列b，b，，，若，不相邻，则有（种）排法，若，相邻，则有（种）排法．所以b，b，，的排法有（种），排好后有5个空位．②从所形成的5个空中选3个插入a，共有（种）方法，若b，b相邻，从所形成的4个空中选3个插入a，共有（种）方法，故三个“a”两两步相邻，且两个“b”也不相邻的排法共有（种）．故答案为：96四．    解答题（17-22共计70分）17.（本题10分） 化简：(1)；（2）【答案】(1)；（2）1【分析】（1）由二项式定理可化简；（2）根据排列数公式计算.【解析】(1)；（2）.18. （本题10分）求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用组合数公式进行证明，即可得到答案；【详解】，所以等式成立.19. （本题12分）相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位中．（1）若要求有3辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？（2）若要求有2辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？（3）若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？【答案】（1）8种；（2）6种；（3）9种.【解析】【分析】(1)分两步，选出停在原车位的一辆车，再停放余下3辆车，用分步乘法计数原理计算即得；(2)分两步，选出停在原车位的两辆车，再停放余下2辆车，用分步乘法计数原理计算即得；(3)将4辆车分别编号为，，，，将车停在另三辆车的原车位之一，再停车所停车位对应的原车，最后停余下两辆即可作答.【详解】（1）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有种情况，第二步，停放剩下的3辆车，有2种停法，根据分步乘法计数原理，共有种停法；（2）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那2辆车，有种情况，第二步，停放剩下的2辆车，有1种停法，根据分步乘法计数原理，共有种停法；（3）将4辆车分别编号为，，，，将4个停车位分别编号为一、二、三、四，不妨设车先选停车位，此时有3种停法，若车选了二号停车位，那么车再选，有3种停法，剩下的车和车都只有1种停法，根据分步乘法计数原理，共有种停法．20. （本题12分）已知（n为正整数）.(1)若，求n的值；(2)若，，，求和的值（结果用指数幂的形式表示）.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由列方程可求出n的值，（2）分别令，求出，，进而可求出的值，【解析】(1)二项式展开式的通项公式为，则，因为，所以，化简得，，得或（舍去），(2)当时，，令，得，令，得，因为，，所以，，所以，21. （本题12分）由0，1，2，3，4这五个数字．（1）能组成多少个无重复数字的五位数？（2）能组成多少个无重复数字，且数字1与3相邻的五位数？（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？【答案】（1）96；（2）36；（3）65.【解析】【分析】(1)先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；(2)把数字1与3捆在一起视为一个元素，先排数字0，再排余下元素列式即可得解；(3)按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答.【详解】(1)计算符合要求的五位数个数需两步：先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位有，再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得：，所以能组成96个无重复数字的五位数；(2)计算数字1与3相邻的五位数个数，把1与3捆在一起视为一个元素，相当于4个元素的排列，且0不在最高位，同(1)有种，但1与3有左右之分，有种，由分步乘法计数得：，所以能组成36个无重复数字，且数字1与3相邻的五位数；(3)计算比21034大的五位数的个数分两类：万位比2大的五位数个数是：，万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，由分类加法计数原理得：，所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.22. （本题14分）从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）（2）利用分类分步的方法，结合排列组合的计算公式求出M中不含有数字0或含有数字0的元素的个数即可；（3）应用古典概型的概率求法求随机选择一个元素能被5整除的概率.【详解】（1）M中不含有数字0的元素：1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，2、从2、4、6、8中任取2个数字有种取法，3、将前两步所得的四个数字全排列：个四位数，∴M中共有不含有数字0的元素个.（2）M中含有数字0的元素：1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，2、从2、4、6、8中任取1个数字有种取法，3、将前两步所得的四个数字全排列，排除0在第一位的元素：个四位数，∴M中共有含有数字0的元素个.（3）由（1）（2）知：M中共有个元素，M中能被5整除的元素，即个位为0或5的元素，1、个位为0的元素有个，2、个位为5的元素有个，∴M中能被5整除的元素个，则随机选择一个元素能被5整除的概率.