中考数学模拟汇编二52方案设计与决策型问题

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解答题
1．(杭州市金山学校中考模拟) (10分)（引3月杭州市九级数学月考试题第22题）
某公司有型产品40件，型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：
（1）设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元），求关于的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润．甲店的型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
【答案】（ 10分）
依题意，甲店型产品有件，乙店型有件，型有件，则
（1）．
由解得．3分
（2）由，
．
，，39，40．
有三种不同的分配方案．
①时，甲店型38件，型32件，乙店型2件，型28件．
②时，甲店型39件，型31件，乙店型1件，型29件．
③时，甲店型40件，型30件，乙店型0件，型30件．3分
（3）依题意：
．
①当时，，即甲店型40件，型30件，乙店型0件，型30件，能使总利润达到最大．
②当时，，符合题意的各种方案，使总利润都一样．
③当时，，即甲店型10件，型60件，乙店型30件，型0件，能使总利润达到最大．4分
2. （萧山区中考模拟）（本小题满分6分）
（1）画图，已知线段a和锐角，求作Rt△ABC，使它的一边为a，一锐角为（不写作法，要保留作图痕迹，作出其中一个满足条件的直角三角形即可）。
（2）回答问题：
eq \\ac(○,1)满足上述条件的大小不同的共有________种。
第18题
eq \\ac(○,2)若＝，求最大的Rt△ABC的面积。
【答案】 （1）图略………3分 （2）①3 ……1分 ②………2分
1．（南京市建邺区中考一模）某手机专营店代理销售A、B两种型号手机．手机的进价、售价如下表：
（1）第一季度：用36000元购进 A、B两种型号的手机，全部售完后获利6300元，求第一季度购进A、B两种型号手机的数量；
（2）第二季度：计划购进A、B两种型号手机共34部，且不超出第一季度的购机总费用，则A型号手机最多能购多少部？

解：（1）解：设该专营店第一季度购进A、B两种型号手机的数量分别为x部和y部．1分
由题意可知： eq \b\lc\{(\a\al(1200x+1000 y＝36000，,180x+200y＝6300))3分
解得：eq \b\lc\{(\a\al(x＝15，,y＝18))
答：该专营店本次购进A、B两种型号手机的数分别为15部和18部．4分
（2）解：设第二季度购进A型号手机a部．5分
由题意可知：1200a+1000(34－a)≤36000，6分
解得：a≤107分
不等式的最大整数解为10
答：第二季度最多能购A型号手机10部．8分
3．（南京市雨花台中考一模）某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．
⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？
⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案
解：（1）设安排辆甲型汽车，安排（20-x）辆乙型汽车。………1分
由题意得： 解得
∴整数可取8、9、10. …………………………4分
∴共有三种方案：
①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆；
②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆；
③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆. …………………………5分
（2）设租车总费用为元，则
随的增大而增大
∴当时，…………………………7分
∴最省钱的租车方案是：租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆．…………8分
竖式纸盒
横式纸盒
4．（南京市浦口区中考一模）(10分)某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．
现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒x个．
根据题意，完成以下表格：
②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?
(2)若有正方形纸162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜306．
求 a的值．
解：（1）①如表：---------------------------------------------- 2分
②由题意得 ， -----------------------------------------------------4分

解得38≤x≤40． -------------------------------------------------5分
又∵x是整数，∴x=38，39，40．
答：有三种方案：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个； --------------------------- 6分
（2）如果设x个竖式纸盒需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式纸盒需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可得方程组，-------------------8分
解得:
因为已知了a的取值范围是290＜a＜306，
所以68.4＜y＜71.6，----------------------------------------------------------------------------------9分
取y=70，则a=298；
取y=69时，a=303；
取y=71时，a=293．
293或298或303． --------------------------------------------------------------------------------10分
5．（南京市建邺区中考一模）（9分）
操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
说明：
方案一图形中的圆过点A、B、C；
方案二直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
方案一
纸片利用率= eq \f(纸片被利用的面积,纸片的总面积) ×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：
方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
解：
发现：（1）小明的这个发现正确．1分
理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC＝BC＝ eq \r(5) ，AB＝ eq \r(10)
∴AC2+BC2＝AB2 ∴∠BAC＝90°，2分
∴AB为该圆的直径．3分
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN．
又∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠BCN＋∠ACM＝90°，即∠BAC＝90°，2分
∴AB为该圆的直径．3分
图一
图二
N
（2）如图三：易证△ADE≌△EHF，∴AD＝EH＝1．4分
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(DE,CB) ∴ eq \f(1,4) ＝ eq \f(2,CB) ，∴BC＝8．5分
∴S△ACB＝16．6分
∴该方案纸片利用率＝ eq \f(展开图的面积,纸板的总面积) ×100%＝ eq \f(6,16) ×100%＝37.5% 7分
探究：（3） eq \f(180,361) 9分
6、(广东化州二模)（本小题满分10分）
某商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？
(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的。
①请你帮助该商场设计相应的进货方案；
②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价进价），最大利润是多少？

考查内容：
答案：解：(1) (2 420+1 980)×13%=572．…………(2分)
答：可以享受政府572元的补贴．
(2) ①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，………(3分)
根据题意，得 ………(5分)
解不等式组，得≤x≤ ……………(6分)
∵x为正整数． ∴x= 19,20，21．
∴该商场共有3种进货方案：
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；
方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台．………(8分)
②设商场获得总利润y元，根据题意，得
y=(2 420 2 320)x+(1 980 40-x)=20x+3 200，
显然，当x=21时，y最大=20×21+3 200=3 620．
答：方案三商场获得利润最大，最大利润是3 620元． ………(10分)
7、(广东化州二模)（本小题满分8分）
用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.

(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
考查内容：
答案：（1）如图
…………………2分
（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE。∴BC＝2AB， 即
由题意知 是方程的两根
∴ …………………4分
消去a，得
解得 或 …………………6分
经检验：由于当，，知不符合题意，
舍去.符合题意.∴ …………………8分
答：原矩形纸片的面积为8cm2.
8、(宁波江北模拟)（10分）坐落在伊丽莎白港的曼德拉海湾球场是2010南非世界杯的比赛场地之一，这座球场就是以南非黑人领袖纳尔逊-曼德拉来命名的。某公司承担该球场草坪的铺设和养护任务，计划用A 、B两种草皮共5000块，其中比赛期间的养护费用按一次性计算，赛事组委会要求A 、B两种草皮的铺设块数必须是100的倍数，该公司所筹铺设资金不少于23500美元，但不超过24000美元，此两种类型草皮的成本和养护费如下表：
（1）请你为该公司设计铺设的可行性方案？
（2）你认为该公司如何进行铺设所花费用最少？
（3）根据市场调查，B型草皮的成本不会改变，A型草皮的成本将会下降m元（m＞0），该公司应该如何进行铺设所花费用最少？（注：费用＝成本+养护费）
考查内容：
答案：解：（1）设A型x块，B型（5000-x）块
23500≤5.2x+4.15(x-5000) ≤24000
解得-------------------------2分
X取100的倍数，∴x为2700，2800，2900，3000
∴有4种方案
A型2700块，B型2300块
A型2800块，B型2200块
A型2900块，B型2100块
④A型3000块，B型2000块-------------------------3分
（2）设总费用为W元
W=5.2x+4.15(x-5000)=1.05x+20750--------------------------5分
当x=2700时，总费用为最少为23585元--------------------------6分
（3）W=(5+0.2-m)x+4.15(x-5000)=(1.05-m）x+20750--------------------7分
当m>1.05时，当x=3000时费用最少，选择方案④A型3000块，B型2000块
当m<1.05时，当x=2700时费用最少，选择方案①A型2700块，B型2300块
当m=1.05时，四种方案费用一样。--------------------------10分
B组
52.方案设计与决策型问题
1. (广东化州市中考模拟) (本小题满分10分)
台州奉化一果农有一批经过挑选的橙子要包装出售，现随意挑选10个，橙子测量直径，数据分别为（单位：cm）7.9 , 7.8 , 8 , 7.9 , 8 , 8 , 7.9 , 7.9 , 7.8 , 7.8.橙子内包装模型的横截面如图（1），凹型为半圆形，半圆的直径为这批橙子大约平均值加0.2cm,现用纸箱作外包装，内包装嵌入纸箱内，每箱装一层，一层装5×4个如图（2）所示，纸箱的高度比内包装高5cm.
(1)估计这批橙子的平均直径大约是多少？
（2）设计纸箱（不加盖子）的长、宽、高各为多少？（数据保留整数，设计时长和宽比内包装各需加长0.5cm）.
(3)加工成一只纸箱的硬纸板面积较合理需多少cm2,请给出一种方案。（不计接头重叠部分，盖子顶面用透明纸）
答案: (1)（7.9 +7.8 + 8 +7.9 + 8 +8 +7.9+7.9 +7.8 +7.8）÷2=7.9(cm) ………………… （2分）
(2)长=（7.9+0.2）×5+6+0.5=47（cm）………………………………………… （1分）
宽=（7.9+0.2）×4+5+0.5=38（cm）………………………………………… （1分）
高=（7.9+0.2）÷2+1+5=10（cm）………………………………………… （1分）
(3)箱身=47×38+47×10×2+38×10×2=3486（cm）2 ……………… （2分）
盖子=47.4×10×2+38.4×10×2=1716（cm）2 ……………… （2分）
较合理的一种方案：面积为3486+1716=5202cm2.(盖子长，宽不加长应该说不合理)
……………… （1分）
2. （广东化州市文楼镇中考模拟一）（本小题满分10分）
某电器经营业主计划购进一批同种型号的冷风扇和普通电风扇，若购进8台冷风扇和20台普通电风扇，需要资金17400元，若购进10台冷风扇和30台普通电风扇，需要资金22500元．
（1）求冷风扇和普通电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的冷风扇可获利200元，销售一台这样的普通电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元．
①试问该经营业主有哪几种进货方案？
②设该业主计划购进空调台，这两种电器销售完后，所获得的利润为元. 求关于的函数解析式,并利用函数的性质说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？
解：（1）设冷风扇和普通电风扇每台的采购价格分别为元和元
依题意，得(2分)
解得
即冷风扇和普通电风扇每台的采购价分别为元和元．(1分)
（2）设该业主计划购进冷风扇台，则购进普通电风扇台
则(2分)
解得：
为整数 为9，10，11
故有三种进货方案，分别是：方案一：购进冷风扇9台，普通电风扇61台；
方案二：购进冷风扇10台，普通电风扇60台；
方案三：购进冷风扇11台，普通电风扇59台．(3分)
设这两种电器销售完后，所获得的利润为，则
(1分)
由于随的增大而增大．
故当时，有最大值，
3．（河南油田模拟一）（9分）某超市推出两种优惠方法：①购1个水杯，赠送1包茶叶；②购水杯和茶叶一律按9折优惠．水杯每个定价20元，茶叶每包定价5元．小明需买4个水杯，茶叶若干包（不少于4包）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买茶叶包数x（包）之间的函数关系式；
（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小明需买这种水杯4个和茶叶12包，请你设计怎样购买最经济．
解：（1）设按优惠方法①购买需用元，按优惠方法②购买需用元 ……1分

． ……………………3分
（2）①设，即5x+60=4.5x+72
∴当时, 选择优惠方法①，②均可.
②设，即，．
当的整数时，选择优惠方法②．……………………4分
③设y1＜y2，即5x+60＜4.5x+72,
∴当整数时，选择优惠方法①．…………………………5分
（3）因为需要购买4个水杯和12包茶叶，而，所以有以下2种购买方案：
方案一：用优惠方法①购买，需；…………6分
方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个水杯，需要=80，同时获赠4包茶叶；
用优惠方法②购买8包茶叶，需要；共需80+36=116．
显然116<120． ……………………8分
最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个水杯，获赠4包茶叶；再用优惠方法②购买8包茶叶．……………………9分
型利润
型利润
甲店
200
170
乙店
160
150
型 号
A
B
进 价
1200元/部
1000元/部
售 价
1380元/部
1200元/部
纸盒
纸板
竖式纸盒(个)
横式纸盒(个)
x
100－x
正方形纸板(张)
▲
2(100－x)
长方形纸板(张)
4x
▲
类别
冰箱
彩电
进价（元/台）
2 320
1 900
售价（元/台）
2 420
1 980
类 型
A
B
成本（美元/块）
5
4
养护费（美元/块）
0.2
0.15