中考数学模拟汇编二47开放探究型问题

这是一份中考数学模拟汇编二47开放探究型问题，共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组
二、填空题
1．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG＝45°，点F在边AD的延长线上，且DF= BE．则下列结论：①∠ECB是锐角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG= BE＋GD中一定成立的结论有 ▲ (写出全部正确结论)．
答案： ①③④
2．（南京市六合区中考一模）写出绝对值小于2的一个负数： ▲ ．
答案：不唯一如：—1
3．（南京市鼓楼区中考一模）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x＋4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有 ▲ 个．
答案：6
三、解答题
1．（南京市雨花台中考一模）（8分）如图，△ABC中，点O在边AB上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD，交直线OD于点E。
（1）求证：OE＝OD ；
（2）当点O在什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，还需△ABC满足什么条件时，四边形BDAE是正方形？写出你确定的条件，并画出图形，不必证明。

解：（1）∵是的平分线，∴。
∵∥，∴
∴
∴
∵ ∴
∴
∴
∴
∴ ………………………3分
（2）当点是边的中点时，四边形是矩形。…………4分
理由：当点是边的中点时，
∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形 ………………………5分
（3）△是以为直角的直角三角形时，
四边形是正方形。 ………………………6分
（说出“为直角”即可）
如图2。（可以不将四边形画完整） ………………………8分
（其它解法，正确合理可参照给分。）
2、（南京市浦口区中考一模（6分）如图，在和中，、交于点M.
（1）求证：≌；
（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.
解：（1）在△ABC和△DCB中，
AB=DC,AC=DB,BC为公共边.
△ABC≌△DCB（SSS） ……………………………………………………2分
（2）四边形BNCM为菱形……………………………………………………3分
△ABC≌△DCB
∠DBC=∠ACB
即 MB=MC ……………………………………………………4分
BN‖AC ,CN‖BD
四边形BNCM为平行四边形.……………………………………………………… 5分
又MB=MC
平行四边形BNCM为菱形.……………………………………………………………… 6分
3．（南京市江宁区中考一模）（本题6分）如图，四边形是正方形，点在上，，垂足为，请你在上确定一点，使，请你写出两种确定点G的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明．
方案
一： ；
方案
二：（1）作法：
(2) 证明：
答案：解：方案
：（一）过点B作BG⊥AE,垂足为G；
（二）在AE上截取AG=DF；
（三）作交AE于点G；…………………………2分
（注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二）
（作法正确）……………………………………………………………………………3分
（2）①如果是过点B作BG⊥AE,垂足为G，证明如下：
∵，BG⊥AE，
∴.……………………………………………………………4分
由题意知，
∴.……………………………………………………………………5分
∵四边形是正方形，∴AD=AB,
在与中，，，AD=AB,
∴（AAS）. ………………………………………………………6分
②如果是在AE上截取AG=DF，证明如下：
∵，AD⊥AE，
∴
∴.……………………………………………………………………4分
∵四边形是正方形，∴AD=AB, ……………………………………………5分
在与中，AG=DF，，AD=AB,
∴（SAS）. ………………………………………………………6分
③如果作交AE于点G，证明如下：
∵，AD⊥AE，
∴
∴.……………………………………………………………………4分
∵四边形是正方形，∴AD=AB, ……………………………………………5分
在与中，， AD=AB，
∴（ASA）. ………………………………………………………6分
4．（南京市建邺区中考一模）（9分）
操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
说明：
方案一图形中的圆过点A、B、C；
方案二直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
方案一
纸片利用率= eq \f(纸片被利用的面积,纸片的总面积) ×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：
方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
发现：（1）小明的这个发现正确．1分
理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC＝BC＝ eq \r(5) ，AB＝ eq \r(10)
∴AC2+BC2＝AB2 ∴∠BAC＝90°，2分
∴AB为该圆的直径．3分
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN．
又∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠BCN＋∠ACM＝90°，即∠BAC＝90°，2分
∴AB为该圆的直径．3分
图一
图二
N
（2）如图三：易证△ADE≌△EHF，∴AD＝EH＝1．4分
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(DE,CB) ∴ eq \f(1,4) ＝ eq \f(2,CB) ，∴BC＝8．5分
∴S△ACB＝16．6分
∴该方案纸片利用率＝ eq \f(展开图的面积,纸板的总面积) ×100%＝ eq \f(6,16) ×100%＝37.5% 7分
探究：（3） eq \f(180,361) 9分
5.（广州六校一摸）如图，已知矩形，在上取两点（在左边），以为边作等边三角形，使顶点在上，分别交于点．
（1）求的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当与不重合时，先直接判断与是如下关系中的哪一种：然后证明你的判断。
①与全等；
②与相似；
③与成中心对称；
④与成轴对称；
（3）若的边在线段上移动．试猜想：与有何数量关系？并证明你猜想的结论．
25.（1）过作于
矩形，即，又 是等边三角形在中，的边长为．
（2）判断： 矩形
又
（3）猜想：与的数量关系是：
证法一：在中， 是等边三角形

证法二：在中，

是等边三角形，

在中，，即 在中，

证法三：在中，，
是等边三角形
①即 ②
把②代入①得，
6. (增城市综合测试)如图，正方形ABCD的边长为2α, H是BC为直径的半圆上的一点，过点H作一条直线与半圆相切交AB、CD分别于点E、F。
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两交点也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否变化？证明你的结论。
（2）若∠BEF=,求四边形BEFC的周长。
（3）若α=6, △BOE的面积为，△COF的面积为面积为，正方形ABCD的面积为s, 若+=s,求BE、CF的长。
答案: 解：（1）四边形AEFD的周长不变。 1分
∵ ∠B=∠C=,BC为⊙的直径，
∴AB、DC为⊙的切线,
∵EF切⊙于H，
∴EB = EH ，FC = FH ，
∴EF = EB + FC
∴四边形AEFD的周长=AE+EF+FD+AD=AB+CD+DA=6α
（2）四边形BEFC的周长为（）α，
∵∠BEF=，∠CFE=，
由（1）得EO,FO分别平分∠BEF，∠CFE，
∴∠BEO=，∠CFO=，
∴BE=α，CF=α，
∴四边形BEFC的周长为（）α
（3）若α=6，则=3BE， =3CF， s=144,
∵+=s,
∴BE+FC=13,
由（2）∠BEO+∠CFO=得，∠BEO=∠FOC
∴△BEO ∽△COF，
∴，
∴BE·FC=6×6=36，
∴BE、CF为方程的两根，
解得x1＝9，x2＝4
∴BE=9，CF=4
B组
47.开放探究型问题
1(广州四中初三第一次模拟测试)如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；
① ②
解：(1) 如图，过P点作交BC于F
∵P是AB的中点
∴
∵
∴易证得≌△
∴
∵
∴---------------------------------------6分
(2)分两种情况讨论，得为定值，是不变的线段
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作交BC于F
为等腰三角形




为定值--------------------------------------------------------------10分
同理，如图，若P在BA的延长线上，
作的延长线于M

综上所述，线段ED的长度保持不变-----------------------------14分

2 （北京市西城区初三一模试卷）
在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（答案
2）若，，求∠APE的度数.
答案
解：（1）如图9，∠APE= 45 °. ……………………2分
（2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF．
……………………3分
则四边形AEFD是平行四边形．
∴ AD∥EF，AD=EF．
∵ ，，
∴ ，．
∴ ．……………………………………………………4分
∵ ∠C=90°，
∴ ．
∴ ∠C=∠BDF．
∴ △ACD∽△BDF．………………5分
∴ ，∠1=∠2．
图10
∴ ．
∵ ∠1+∠3=90°，
∴ ∠2+∠3=90°．
∴ BF⊥AD ．
∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6分
∴ 在Rt△BEF中，．
∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7分
解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．………………3分
则四边形ACDF是平行四边形．
∵ ∠C=90°，
∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°．
∵ 在Rt△AEF中，，
在Rt△BDF中，，
∴ ．
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°．
∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分
又∵ ，
∴ △ADF∽△EBF． ………………………………………………5分
∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴ ∠APE=∠3=30°．………………………………………………7分
3.(浙江嵊州新昌中考数学模拟试题)将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角得到正方形，如图1所示.
（1）当=45时(如图2)，若线段与边的交点为，线段与的交点为，可得下列结论成立 ①；②，试选择一个证明.
答案
（2）当时,第（1）小题中的结论还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.
答案
（3）在旋转过程中，记正方形与AB边相交于P,Q两点，探究的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与之间的关系;如果不变，请直接写出的度数.
答案
（1）若证明①
当=45时,即,又
∴ ,同理
∴ 2分
在Rt和Rt中，有
∴ 2分
若证明②
法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分
法二：证明，同①先证明
得
∵∴即 2分
在和中有
∴≌
∴ 2分
（2）成立 1分
证明如下：法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分
法二
如图，作,垂足分别为E,F
则 ,
在Rt和Rt中，有
∴
2分
∵∴即
在和中有
∴≌
∴ 2分
（3）在旋转过程中,的度数不发生变化， 1分
2分