中考数学模拟汇编一55动态综合型问题

这是一份中考数学模拟汇编一55动态综合型问题，共106页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

动态综合型问题

一、选择题

1．（淮安市启明外国语学校第二学期初三数学期中试卷）如图，已知A、B两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3 B．
C． D．4



答案：B

2.（黄冈中考调研六）矩形中，，，是的中点，点在矩形的边上沿运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）







答案A
3.(浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，已知点的坐标为（3，0），点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点．设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：（），则结论：①；②；③；④中，正确结论的序号是（ ）
A、①③④ B、 ①③ C、 ①②③ D、 ①②③④

答案：C


4. (浙江省杭州市瓜沥镇初级中学中考数学模拟试卷)
如图，、、三点在正方形网格线的交点处.若将△绕着点逆时针旋转得到△，则的值为 ( )
A. B. C. D.
答案：B

5.（ 杭州三月月考）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点， 且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是（ ）

答案：A
6.（深圳市模四）如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DFE＝90°，点C落在DE的中点处，且AB的中点M、C、F三点共线，现在
让△ABC在直线MF上向右作匀速移动，而△DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为
y，向右水平移动的距离为x，则y与x的函数关系的图象大致是（ ）







答案：C







二、填空题

1、（浙江省杭州市中考数学模拟）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是上的一个动点，连结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G． 若，则BK﹦ ．
答案：，

2 .(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学中考数学模拟试卷)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm。P是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上。已知A、Q两点间的距离是O、P两点间距离的a倍。若用（a，t）表示经过时间t(s)时，△OCP、△PAQ 、△CBQ中有两个三角形全等.请写出（a，t）的所有可能情况 .



答案：（0，10），（1，4），（，5）

3．(江苏省东台市联考试卷）线段OA绕原点O逆时针旋转到的位置，若A点坐标为，则点的坐标为____________________.
答案：
4．（三门峡实验中学3月模拟）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为 .

答案：或




第4题





三、解答题
1、（重庆一中初级下期3月月考）如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．
(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；
(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．
求出此时△APQ的面积．
(3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯
形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

答案：解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3
∴AB＝
①P由O向A运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t
过Q作QH⊥AP于H点，由QH//BO得

∴
即 (0 ②当4 sin∠BAO=
OH=
∴
=··············(4分)
(2)由题意知，此时△APQ≌△DPQ
∠AQP＝900 ∴cosA=
当0 当4 ∴···············(6分)
(3)存在，有以下两种情况
①若PE//BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N
则有BM=QN,由PE//BQ得
∴
又∵AP=4－t, ∴AN=
∴由BM=QN,得
∴　　　∴···································(8分)
②若PQ//BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知
∵OP+AP=OA ∴
∴t··············(10分)
由①②得E点坐标为
(4)①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t
可得∠QOA=∠QAO ∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t ∴BQ=AQ=AE
∴······················(11分)
②当P由A向O运动时，OQ=OP=8－t
BQ=5－t,
在Rt△OGQ中，OQ2 = RG2 + OG2
即(8－t)2 =
∴t = 5·························(12分)



2．（淮安市启明外国语学校第二学期初三数学期中试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过、两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P＇，请直接写出P＇点坐标，并判断点P＇是否在该抛物线上．

第24题






答案：（1）抛物线解析式为：． 顶点的坐标为．
（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，
得 解得．∴直线解析式为．
，s=PE·OE ∴
．
∴当时，取得最大值，最大值为．
（3）当取得最大值，，，∴．[来源:学科网]
∴四边形是矩形．
作点关于直线的对称点，连接．
过作轴于，交轴于点．
设，则．
在中，由勾股定理，
．解得．
∵，∴．
由，可得，．
∴． ∴坐标． 不在抛物线上。

3. （浙江省杭州市高桥初中中考数学模拟试卷） 如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为,。直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：
（1）分别写出A、C、D、P的坐标；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。

答案：解：（1） C（４，１）、D（3，４）、P（2，2）
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）
（３）Ｓ＝－ｔ2＋２ｔ（０＜ｔ≤４）
Ｓ＝ｔ2－２ｔ（ｔ＞４）
当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝， Ｓ＝
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝， Ｓ＝
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝， Ｓ＝

4．（浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）.动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.
（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.
（2）△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积。
（3）随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF?









答案：（1）设要四边形PABQ为平行四边形，则
∴.
（2）不变.


∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13
∴S△PQF
（3）由(2)知， PF=OA=13
①QP=FQ，作QG⊥轴于G，则
②PQ=FP，
③FQ=FP，
综上，当时，△PQF是等腰三角形.

5．（河北省三河市九级数学第一次教学质量检测试题）已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O,直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB,AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）． 设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．
（1）如图1，点P与点O重合；
（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；
（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．








答案：（1）当x变化时，y不变．
如图1，．








（2）当x变化时，y不变．
如图2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F．
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．。
∴四边形AFPE是矩形，PF=PE．
∴四边形AFPE是正方形．
∵∠ADC=90°，
∴PE∥CD．
∴△APE∽△ACD．
∴．
∵AP=2PC，CD=3，
∴．
∴PE=2．
∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，
∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，
∴△PEN≌△PFM．
∴．
（3）x变化，y变化．
如图3，，0＜x＜3．

6．（河北省三河市九级数学第一次教学质量检测试题）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．



答案：（1）
（2）①点P不在直线ME上
②依题意可知：P（,），N（，）
当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：
=+=+=
=
∵抛物线的开口方向向下，∴当=，且0＜t＝＜3时，=
当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形
依题意可得，==3
综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值．

7．（黄冈中考调研六）如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止.

① 点A坐标为_____________，P、Q两点相遇时交点的坐标为________________;
② 当t=2时，____________;当t=3时，____________;
③ 设△OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式;
④ 当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。

解：①，过P作PM⊥PQ交y轴于M点，过M作MN⊥AC于N，则MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，有即，得PN=，MO=NC=故M点坐标为


① 过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点，通过△MOQ∽△QCP，求得M坐标为
② 以PQ为直径作⊙D，则⊙D半径r为，再过P作PE⊥y轴于E点，过D作DF⊥y轴于F点，由梯形中位线求得DF=，显然r＜DF，故⊙D与y同无交点，那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形.
综上所述，满足要求的M点或

8.（北京四中中考模拟19）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）.动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP.已知动点运动了x秒.
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。


解：（１）（6—x , x ）;
(2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=6—x，MA边上的高为x，
其中，0≤x≤6.
∴S=（6—x）×x=(—x2+6x) = — (x—3)2+6
∴S的最大值为6, 此时x =3.
(3)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ
①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2;
②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x
在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ (x) 2∴x=
③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝6—x ∴x=6—x ∴x=
综上所述，x=2，或x=，或x=.


9.（北京四中模拟26）如图，是⊙的直径，点是半径的中点，点在线段上运动（不与点重合）.点在上半圆上运动，且总保持，过点作⊙的切线交的延长线于点.
（1）当时，判断是 三角形；
（2）当时，请你对的形状做出猜想，并给予证明；
（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点在线段上运动到任何位置时，一定是 三角形.

答案：解（1）等腰直角三角形
（2）当J 等边三角形。
证明；
连结是⊙的切线


又 是等边三角形。
（3）等腰三角形。

10.（北京四中模拟26）如图1，在等腰梯形中，∥ 点从开始沿边向以3㎝╱s的速度移动，点从 开始沿CD边向D以1㎝ ╱s的速度移动，如果点 、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为.
（1） 为何值时，四边形是平等四边形？
（2） 如图2，如果⊙和⊙的半径都是2㎝，那么，为何值时，⊙和⊙外切？

答案：解：（1）∵DQ//AP，∴当AP=DQ时，四边形APQD是平行四边形。此时，3t=8-t.
解得t=2（s）.即当t为2s时，四边形APQD是平行四边形.
（2）∵⊙P和⊙Q的半径都是2cm，∴当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切.
而当PQ=4cm时，如果PQ//AD，那么四边形APQD是平行四边形.
①当 四边形APQD是平行四边形时，由（1）得t=2（s）.
② 当 四边形APQD是等腰梯形时，∠A=∠APQ.
∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，∴∠APQ=∠B.∴PQ//BC。
∴四边形PBCQ平行四边形 。此时，CQ=PB。∴t=12-3t。解得t3（s）.
综上，当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q相切.

11.（北京四中模拟28）如图，梯形ABCD中，AD//BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．点O为BC边上的动点，联结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，联结MN．
（1） 当BO=AD时，求BP的长；
（2） 点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
（3） 在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。










答案：解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3
∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，∴AD=EC=BC-BE=3--------------------------1分
当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP-------1分
∵,∴BH=------------------------------------------1分
∴BP=------------------------------------------------------------------------1分
（2）不存在BP=MN的情况-----------------------------------------------------------1分
假设BP=MN成立，∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC------1分
设BO=x，则PO=x,由，得BH=,
∴BP=2BH=--------------------------------------------------------------------------1分
∴BQ=BP×cosB=，PQ=，---------------------------------------1分
∴OQ=----------------------------------------------------------1分
∵△PQO∽△DOC，∴即，得-------------1分
当时，BP==＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况
(注：若能直接写出不成立的理由是：只有当点P和点M分别在BA的延长线及OD的延长线上时才有可能成立，而此时不符题意。则给6分)
Q
H
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------1分，1分
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤.-------1分，1分






12. （黄冈市浠水县中考调研试题）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
1、 求直线AC的解析式；
2、 设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
3、 在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
4、 过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由.

答案：解：(1)
(2)
(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H。
由AP＝t，可得AE＝.
由可得GH＝，所以GC＝GH＝.
于是，GE＝AC－AE－GC＝＝。即GE的长度不变.
当2＜t≤4时，同理可证.
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值.



13. （北京四中中考全真模拟16）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q 的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。

答案：














中考数学模拟试题（16）参考答案:



























14. (湖北省天门市一模)如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
（第14题图2）
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？



解：（1）略
（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝ S△QEO，
∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，
又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，
∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED
G
＝×BE×ED＝×8×6＝24.


[来源:Z&xx&k.Com]


②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，
即∠2＝∠1，∴OP=OC=3， 过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，
∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，
∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.
∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.

15.(浙江省杭州市8模)如图1，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；
（2）操作：固定，将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图2）．
①探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
②探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．




解：（1）△AGF与△ABC的面积比是1：４．
（2）①能为菱形． （1分）
由于FC∥，CE∥，
四边形是平行四边形．
当时，四边形为菱形，
此时可求得．
当秒时，四边形为
②分两种情况：
①当时，
如图3过点作于．
，，，为中点，
．
又分别为的中点，
．

等腰梯形的面积为6．
，．
重叠部分的面积为：．
当时，与的函数关系式为．
②当时，
设与交于点，则．，，
作于，则．
重叠部分的面积为：
．
综上，当时，与的函数关系式为；当时，

16、(浙江杭州模拟14)如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；






答案：
解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD． ……………………………………………2分
∴． 即，∴． …………………………………1分
（2）或或4． ……………………………………………3分
（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得． 即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分
∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分
即
当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.
．
由题意得，．
∴ ． ∴．
∴ ． ∴．
∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t
∴ CH=AD=HF= t-2 …………………………………………………………1分
∴S△PQC =PQ·CH= ………………………………………1分
即y=
综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分


17．（浙江省杭州市瓜沥镇初级中学中考数学模拟试卷）
已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB 方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作
EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m
之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，
并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8┄┄┄┄┄┄┄………1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC,
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8） ┄┄┄┄┄…………3分
将A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，
　解得
∴所求二次函数的表达式为y＝－x2－x＋8 ┄┄┄┄┄┄┄┄………5分
2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10.
∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄………6分
∴＝ .　　即＝ . ∴EF＝. ┄┄┄┄…………7分
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ .
∴＝ .　 ∴FG＝·＝8－m. ┄┄┄┄┄┄┄┄…………8分
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m.
自变量m的取值范围是0＜m＜8.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄………9分
(3)存在． 理由如下:
∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8,　　且－＜0,
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄……10分
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄………12分
(其它正确方法参照给分)


18．(河北省中考模拟试卷)如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．









图1
图3
图2



答案：解：（1）①证明：连结DB，在Rt△ABC中，∵AB=BC，AD=DC．∴DB=DC=AD， ∠BDC=90°．∴∠ABD=∠C=45°．∵∠MDB+∠BDN=∠NDC+
∠BDN=90°．∴∠MDB=∠NDC．∴△BMD≌△CND．∴DM=DN．②四边形DMBN的面积不发生变化．由①知: △BMD≌△CND，∴△BMD与△CND的面积相等，∴四边形DMBN的面积等于△BDC的面积，都等于△ABC的面积的一半， 等于．（2）DM=DN仍然成立．证明: 连结DB，在Rt△ABC中， ∵AB=BC，AD=DC．∴DB=DC， ∠BDC=90°．∴∠DCB=∠DBC=45°．∴∠DBM=∠DCN=135°．∵
∠BDM+∠CDM=∠CDN+∠CDM=90°．∴∠BDM=∠CDN．∴△BMD≌△CND．∴DM=DN．（3）DM=DN．

19．(江苏省东台市联考试卷）如图，矩形ABCD中，边长AB=3，,两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度在边BC、CD上运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B、E、C、G在同一直线上，DE与BF交于点O.
(1)若BE＝1，求DH的长；
(2)当E点在BC边上的什么位置时，△BOE与△DOF的面积相等？
(3)延长DH交BC的延长线于M，当E点在BC边上的什么位置时，DM=DE？








第19题图

答案：①; ②; ③.


20．（ 天一实验学校 二模）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
答案：
⑴
①全等。
理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时BP=3,CP=5,CQ=3
∵D为AB中点，AB=10，∴BD=5.
∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
②若Q与P的运动速度不等，则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等，则BP=CP=4
CQ=5,Q的运动速度为5×cm/s
⑵设经过t秒两点第一次相遇则
（-3）t=20
t=
3t=80,
80÷28=2
×28=24,所以在AB边上.
即经过两点第一次相遇，相遇点在AB上.

21.（ 天一实验学校 二模）已知：如图，直线：经过点M(0,)，一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：A1（x1,0）, A2（x2,0）, A3（x3,0）,……An+1（xn+1,0）（为正整数），设
（1）求的值；
（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）
（3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值．

答案：
⑴∵M(0,在直线y=x+b上，
∴b=
⑵由⑴得y=x+,∵B1(1,y1)在直线l上，∴当x=1时，y1=×1+=
∴B1(1,)
又∵A1(d,0) A2(2-d,0)
设y=a(x-d)(x-2+d),把B1(1,)代入得：a=-
∴过A1、B1、A2三点的抛物线解析式为y=-(x-d)(x-2+d)
(或写出顶点式为y=- (x-1) +)
⑶存在美丽抛物线。
由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0 ∵当x=1时，y1=×1+=<1;
当x=2时，y2=×2+=<1
当x=3时，y2=×3+=1>1
∴美丽抛物线的顶点只有B1B2.
①若B1为顶点，由B1(1,)，则d=1-=
②若B2为顶点，由B2(2,)，则d=1-=
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线。

22．（ 天一实验学校 二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请写出所有符合条件的点B的坐标，并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由.







答案：
解：（1）当t=4时，B(4,0)
设直线AB的解析式为y= kx+b .
把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： , 解得： ,
∴直线AB的解析式为：y=－x+6.
(2) 过点C作CE⊥x轴于点E
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.
∴，
∴BE= AO=3，CE= OB= ，
∴点C的坐标为(t+3，).
∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= AB·BC= BC2.
在Rt△ABC中，BC2= CE2+ BE2 = t2+9，
即S△ ABC= t2+9.
(3)存在，理由如下：
①当t≥0时.
Ⅰ.若AD＝BD.
又∵BD∥y轴
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD.
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴，
∴= ，
∴t=3，即B(3，0).

Ⅱ.若AB＝AD.
延长AB与CE交于点G，
又∵BD∥CG
∴AG＝AC
过点A画AH⊥CG于H．
∴CH＝HG＝CG
由△AOB∽△GEB，
得＝ ，
∴GE= .
又∵HE＝AO＝６，CE＝
∴＋６＝×（＋）
∴t2-24t-36=0
解得：t=12±6. 因为 t≥0，

所以t=12＋6，即B(12＋6，0).

Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB.
当t≥12时，BD≤CE ∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况.
②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.设AD=AB，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F.
可求得点C的坐标为(t+3，)，
∴CF=OE=t+3，AF=6－，
由BD∥y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴ ，
∴， ∴t2-24t-36=0
解得： t=12±6.因为－3≤t<0，
所以t=12－6，即B (12－6，0).

③当t<－3时，如图，∠ABD是钝角.设AB=BD，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
可求得点C的坐标为(t+3，)，
∴CF= －(t+3)，AF=6－，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD.
又∵BD∥y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF.
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF＝AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6－ =－2(t+3)，
解得：t=－8，即B(－8，0).
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：
B1 (3，0)，B2 (12＋6，0)，B3 (12－6，0)，B4(－8，0). （共6分，每个坐标1分，其中一个求解过程2分）

23．（杭州市西湖区模拟）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与三点组成的三角形全等？
（2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？


答案：解：（1）①经过秒后，与 全等 …………1分
∵秒， ∴厘米，
∵厘米，点为的中点， ∴厘米．
又∵厘米， ∴厘米， ∴．
又∵， ∴， ∴． …………3分
②∵， ∴，又∵，
，则，
∴点，点运动的时间秒， …………5分
∴厘米/秒． …………6分
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得， …………7分
解得秒． …………8分
∴点共运动了厘米． …………9分
∵，
∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
…………10分
24．（安徽中考模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
【解】

答案：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分
所以
所以 3分
（2）的周长之和为定值． 4分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 8分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 8分
（3）设BE＝x，则
所以 11分
配方得：．
所以，当时，y有最大值． 13分
最大值为． 14分
25. （杭州上城区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.




答案：解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,

则 解得

∴抛物线的解析式为: …… 3分（三个系数中，每对1个得1分）
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2分（解析式和t取值范围各1分）
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意. …… 1分
【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. …… 1分
【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上. …… 1分
综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意.
（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…… 2分

26 ．（杭州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为，
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（第26题图）







答案：解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），∴, ,
∴所在直线的函数解析式为.………………………………………………2分
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，） ……………………………………4分
② ∵==， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短. ……………………………………6分
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，
∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：，.
代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.……………………………………………12分

27. （湖北武汉调考一模）如图，在平面直角坐标系中，以点M(-l，0)为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-x-与⊙M相切于点h，交x轴于点E，交y轴于点F.
(1)求⊙M的半径；
(2)如图2，弦HQ交x轴于点P，且PD：PH=4：，求点P的坐标；





(3)如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点G，连接AG.过点M作MN ⊥x轴交BK于N．是否存在这样的点K，使得AG=MK?若存在，请求出GN的长；若不存在，请说明理由．

答案：解:(1)OE=5,OF=，∴EF=
∴∠OEF=30°,∴HM=EM=2
即⊙M的半径为2；
⑵作HT⊥ OC于T，连接CH、MH，由(1)知△CMH为正三角形，
∴CT=1,TH=．设PD=4x，PH=x．
∵TH2+TP2=PH2，∴ 3+(3-4x)2=7x2,
∴=2(舍)，=
（3)假设存在，则有AG=MK.作直径AR交BK于S，连接GR.
则△AGR≌△KMN，
∴GR=MN.则△CRS≌△MNS，于是GN=MR=2．
28.（浙江杭州靖江模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE＝8，BC＝12，CD＝4，∠C＝30°，∠B＝60°。点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x。
（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。
（3）P在BC 上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形。
（根据浙江新中考专题六运动型问题改编）


答案：
∴DG＝2，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4……………………………………………………………2分
显然，当P点与F或点G重合时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
所以x=2或x=6…………………………………………………………2分
(2) ∵AD=BE=4，且AD∥BE
∴当点P与B重合时，
即x=0时。点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形………………………………2分
又∵当点P在CE中点时，EP＝AD＝4，且EP∥AD，
∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形…………………………………2分
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4
∴x=0时，且PA＝AD，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。……………1分
∵AB＝BE，且∠B＝60°
∴△ABE为正三角形。
∴AE＝AD＝4。
即当x=8时，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。………………………1分

29. （安徽芜湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.


答案: 解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：
所以二次函数的表达式为： ………………3分
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=
∴=．
∴=
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.


当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积．= ………………14分

30.（浙江杭州靖江模拟） 如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。
（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线
o
交y轴于点F，顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。


答案：
解：（1）C（ 4，），D（1，）； （4分）
（2）由抛物线的顶点坐标为（）（2分）可得抛物线
的解析式为 （2分）
（3）设抛物线沿直线y=平移后的抛物线
的顶点为，
则平移后抛物线的解析式为
当时，
若，则
解得
∴
若，则
解得
∴
若，则∠120°（不合题意，舍去）
当时，
∠为钝角，则当⊿EFG为等腰三角形时，
∴
解得，∴ （4分）

31.（浙江杭州进化一模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；



[来源:学科网ZXXK]






答案：解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD． ……………………………………………2分
∴． 即，∴． …………………………………1分
（2）或或4． ……………………………………………3分
（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得． 即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分
∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分
即
当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.
．
由题意得，．
∴ ． ∴．
∴ ． ∴．
∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t
∴ CH=AD=HF= t-2 …………………………………………………………1分
∴S△PQC =PQ·CH= ………………………………………1分
即y=
综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分





32.（河南新乡模拟）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：１２分）（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（1分）
∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) ．
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分）
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （5分）
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=.[来源:学科网]
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5. ……………………（7分）
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），
∴ BD=DE.
即D是BE的中点. ………………………………（9分）
（3） 存在. ………………………………（10分）
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1
∵ 动点P的坐标为)，
∴. x－1= ………………………………（11分）
解得 ，. ∴ ，.
∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（12分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

33（北京四中模拟）己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为。
（1）求线段AC的长和的度数。
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒个
单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始
在线段OA上以每秒个单位长度的速度向点A移动，
（P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒。
①设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，
并求出当t为何值时，S有最小值。
②是否存在这样的时刻t，使得与相似，并说明理由？
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。（直接写出结果，每漏写或写错一点坐标扣一分，直到扣完为止。）
答案：（1）令得 ∴A点坐标为（0，1）
令得 ∴ C点坐标为（，0）
∴
在中，∵ ∴
（2）P、Q两点同时开始移动t秒时
① ∵， t
∴
t
∵
∴
∴当 时，最大为
②ⅰ假设存在∽ ∴ ∴
ⅱ∽∴∴
（3），，，，，
34（杭州模拟20）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
答案：(1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,
则 解得

∴抛物线的解析式为: …… 3分（三个系数中，每对1个得1分）
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2分（解析式和t取值范围各1分）
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意. …… 1分
【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. …… 1分
【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上. …… 1分
综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意.
（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…… 2分
35.（黄冈市浠水县）如(图1)，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且．动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，点M、N在x轴上(M在点N的左侧)，以P、M、N为顶点的三角形是等边三角形，设运动时间为秒．
(1) 求直线的解析式；
(2) 求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；
(3) 如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点 在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．





答案：解：（1）直线的解析式为：．
（2），，，
，，
是等边三角形，，
，．
当点与点重合时，
，
．
，
．
（3）①当时，见图2．
设交于点，
重叠部分为直角梯形，
作于．
，，
，
，
，
，
，
，
．
随的增大而增大，
当时，．
②当时，见图3．
设交于点，
交于点，交于点，
重叠部分为五边形．
作于，，
，
，
．
，当时，有最大值，．
③当时，，即与重合，
设交于点，交于点，重叠部
分为等腰梯形，见图4．
，
综上所述：当时，；
当时，；
当时，．
，的最大值是．
36.（江西省九校2010—第一次联考）如图，已知∠=90°，线段AB=10，若点A在上滑动，点B随着线段AB在射线 上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE = 4时，求⊙K的半径r；
（3）当Rt△AOB的面积为S，AE为，试求：S与之
间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长．






答案：解：（1）不会发生变化的是△AOB的外接圆半径，
∵ ∠O=90°， ∴AB是△AOB的外接圆的直径
AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变…… ………………3分
（2）设⊙K的半径为r，⊙K与Rt△AOB相切于E、F、P，连EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠C=90°， ∴四边形EOFK是矩形，又OE=OF
∴四边形EOFK是正方形，………………………………………5分
∴OE=OF=r，AE=AP=4，
∴PB=BF=6， ∴
=-12（不合） =2…………………………………………7分
（3）设AO=b，OB=a，⊙K与Rt△AOB三边相切于E、F、P，
∴

， ∴，
∴
∴……………………………………………………9分
另一解法：，∴
S=·r（OA +OB+AB）=r (r+x+10-x+r+10)= r (20+2r)=
∴S==)
又∵=+25
∵当x=5时，S最大，即AE=BF=5，∴OA=.…………10
37．（深圳二模）如图，已知抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．
（１）求ａ的值；
（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；
（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．
（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）



[来源:学科网]
第37题
解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4经过点（0，8）
∴ａ－4ａ－4＝8
解得：ａ＝6，ａ＝－2（不合题意，舍去）
∴ａ的值为6…………………………………………4分
（２）由（１）可得抛物线的解析式为
ｙ＝ｘ－6ｘ＋8
当ｙ＝0时，ｘ－6ｘ＋8＝0
解得：ｘ＝2，ｘ＝4
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（4，0）
当ｙ＝8时，
ｘ＝0或ｘ＝6
∴D点的坐标为（0，8），C点坐标为（6，8）
DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ
当四边形OQPD为矩形时，DP＝OQ
2＋t＝6－2t，t＝，OQ＝2＋＝
S＝8×＝
即矩形OQPD的面积为…………………………………………8分
（３）四边形PQBC的面积为，当此四边形的面积为14时，
（2－t＋2t）×8＝14
解得t＝（秒）
当t＝时，四边形PQBC的面积为14…………………………………………12分

（４）t＝时，PBQ是等腰三角形．…………………………………………14分

38.（广东省澄海实验学校模拟）已知：如图，抛物线与轴交于点、点，与直线相交于点、点，直线与轴交于点。
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积；
第38题图

（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？


解：（1）在中，令，
， 1分
又点在上
…………………………………2分
的解析式为………………………3分
（2）过点C作CD⊥AB于点D.
第38题答案图
由，得 5分
， ， ………………………………………6分
7分
（3）过点作于点
8分
由直线可得： 在中，，，则
， ∵BM=4－t ∴△MBN的面积= ×BM×NP= (4－t)·t
10分
11分
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分
39.（湖北省崇阳县城关中学模拟）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；






（1）不变。

…… 1′
又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
…… 1′
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
…… 2′
当
…… 2′
当
∴当第秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形
…… 1′
（3）不变。
∴
…… 1′
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴ 又
…… 1′
∴
40.（深圳市模四）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？
（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？
第40题图

解：（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4，
则由题意得AP=x，BP=5－x，BQ=2x,
由BP·BQ=4，得（5－x）·2x=4， 解得，x1=1，x2=4．
当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故x=1
（2）由BP+BQ=5得（5－x）+（2x）=5,
解得x1=0（不合题意），x2=2．
所以2秒后，PQ的长度等于5。

41.（深圳市模四）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。



第41题图


解：（１）（6－x , x ）;
(2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=6﹣x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤6.∴S=（6—x）×x=(﹣x2+6x) = — (x﹣3)2+6。∴S的最大值为6, 此时x =3.
(3)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ
①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2;
②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x
在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ (x) 2∴x=
③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝6—x ∴x=6—x ∴x=
综上所述，x=2，或x=，或x=。


42.（北京四中33模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x
（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM//AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式。








答案：解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC…………………………………………
∴，即，∴
∵AM⊥AN，∴……………
（2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，
则AO=OD=MN
在Rt△ABC中，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，即，∴，∴……………
过M作MQ⊥BC于Q，则
则△BMQ∽△ABC，
∴，∴
∵
∴…………………………………………………………………………
（3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°
∴四边形AMPN是矩形…………………
∴PN=AM=x
又∵四边形BFNM是平行四边形，
∴FN=BM=8－x，PF=PN－FN=x－(8－x)=2x－8…（
又Rt△PEF∽Rt△ABC，∴，
∴
∵
………
43、（北京四中34模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？


答案：（1）如图1 过点B作BN⊥OC于点N
∵OB=OC=10 BN=OA=8
∴ON=AB= ∴B（6,8）
（2）如图2 ∵∠BON=∠POH ∠ONB=∠OHP=90°
∴⊿BON∽⊿POH
∴
∵PC=5t ∴OP=10-5t ，OH=6-3t ，PH=8-4t …
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4 …
∴ …（0≤t＜2）…
（3）如图3 ，当点G在E上方时
过点B作BN⊥OC于点N
BN=8 ，CN=4 ，CB==4
∵BM∥PC，BC∥PM
∴BMPC是平行四边形
图2
∴PM=BC=4 BM=PC=5t
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∵PM∥BC ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP
∵∠OPD+∠RMP=90°∠ODP+∠MPH=90°
∴∠RMP=∠MPH
∴EM=EP ……
∵点F为线段PM的中点
∴EF⊥PM
∴⊿MEF∽⊿MRP
∴ ∵MF=, MR=8 ,RP=4 ∴ME=5 ,EF=
∵ ∴EG=2 MG=5-2=3 ……
∵∠MBO=∠BON ,∠BMG=∠BNO
∴⊿BMG∽⊿ONB ∴ ∴BM==PC ……

∴5t= 得t= ……


当点G在E的下方时
可得MG=5+2=7
BM=5t= ∴t= ……
∴当t=或t=时，

44、（浙江杭州27模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE＝8，BC＝12，CD＝4，∠C＝30°，∠B＝60°.点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x.
（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.
（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.
（3）P在BC 上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形.

答案：
(1)分别过点A、D作BC的垂线，垂足分别为F、G.
∵∠C=30°,且CD＝
∴DG＝2，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4……………………………………………………………
显然，当P点与F或点G重合时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.
所以x=2或x=6………………………………………………………
(2) ∵AD=BE=4，且AD∥BE
∴当点P与B重合时，
即x=0时。点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形…………………………
又∵当点P在CE中点时，EP＝AD＝4，且EP∥AD，
∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形………………………………
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4
∴x=0时，且PA＝AD，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。…………
∵AB＝BE，且∠B＝60°
∴△ABE为正三角形。
∴AE＝AD＝4。
45、（浙江杭州28模）即当x=8时，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形.
如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）.动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.
（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.
（2）△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积。
（3）随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF?
答案：（1）设要四边形PABQ为平行四边形，则
∴.
（2）不变. （1分）


∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13
∴S△PQF（2分）
（3）由(2)知， PF=OA=13
①QP=FQ，作QG⊥轴于G，则
②PQ=FP，
③FQ=FP，
综上，当时，△PQF是等腰三角形.

46．（杭州市上城区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
答案：解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,

则 解得

∴抛物线的解析式为: …… 3分（三个系数中，每对1个得1分）
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2分（解析式和t取值范围各1分）
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意. …… 1分
【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. …… 1分
【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上. …… 1分
综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意.
（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…… 2分

47. （杭州市模拟）（本题10分）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与三点组成的三角形全等？
（2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
答案：解：（1）①经过秒后，与 全等
∵秒， ∴厘米，
∵厘米，点为的中点， ∴厘米．
又∵厘米， ∴厘米， ∴．
又∵， ∴， ∴．
②∵， ∴，又∵，
，则，
∴点，点运动的时间秒，
∴厘米/秒．
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，
∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
48. （浙江省杭州市模2）
如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；






答案：（1）不变。

又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形
（3）不变。
∴
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴ 又
∴
49. （浙江省杭州市模2）
o
第49题
如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。
（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物
线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后
的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）。
平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG为等腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说
明理由。
答案：（1）
（2）由二次函数对称性得顶点横坐标为，代入一次函数，得顶点坐标为（，），
∴设抛物线解析式为，把点代入得，
∴解析式为
（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则
∴可设解析式为
①当FG=EG时，FG=EG=2m，代入解析式得：
，得m=0(舍去)，，
此时所求的解析式为：；
②当GE=EF时，FG=4m，代入解析式得：
，得m=0(舍去)，，
此时所求的解析式为：；
③当FG=FE时，不存在；



















B组
一、选择题
1．（ 杭州三月月考）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点， 且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是（ ）

答案：A

2、（深圳市模四）如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠ACB＝∠DFE＝90°，点C落在DE的中点处，且AB的中点M、C、F三点共线，现在让△ABC在直线MF上向右作匀速移动，而△DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为y，向右水平移动的距离为x，则y与x的函数关系的图象大致是（ ）







答案：C

二、填空题
1．（三门峡实验中学3月模拟）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为 .

答案：或

第1题


三、解答题
1．（ 天一实验学校 二模）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
答案：
⑴
①全等。
理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时BP=3,CP=5,CQ=3
∵D为AB中点，AB=10，∴BD=5.
∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
②若Q与P的运动速度不等，则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等，则BP=CP=4
CQ=5,Q的运动速度为5×cm/s
⑵设经过t秒两点第一次相遇则
（-3）t=20
t=
3t=80,
80÷28=2
×28=24,所以在AB边上。
即经过两点第一次相遇，相遇点在AB上。

2.（ 天一实验学校 二模）已知：如图，直线：经过点M(0,)，一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：A1（x1,0）, A2（x2,0）, A3（x3,0）,……An+1（xn+1,0）（为正整数），设
（1）求的值；
（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）
（3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值．


答案：
⑴∵M(0,在直线y=x+b上，
∴b=
⑵由⑴得y=x+,∵B1(1,y1)在直线l上，∴当x=1时，y1=×1+=
∴B1(1,)
又∵A1(d,0) A2(2-d,0)
设y=a(x-d)(x-2+d),把B1(1,)代入得：a=-
∴过A1、B1、A2三点的抛物线解析式为y=-(x-d)(x-2+d)
(或写出顶点式为y=- (x-1) +)
⑶存在美丽抛物线。
由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0 ∵当x=1时，y1=×1+=<1;
当x=2时，y2=×2+=<1
当x=3时，y2=×3+=1>1
∴美丽抛物线的顶点只有B1B2.
①若B1为顶点，由B1(1,)，则d=1-=
②若B2为顶点，由B2(2,)，则d=1-=
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线。


3．（ 天一实验学校 二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请写出所有符合条件的点B的坐标，并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由.







答案：
解：（1）当t=4时，B(4,0)
设直线AB的解析式为y= kx+b .
把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： , 解得： ,
∴直线AB的解析式为：y=－x+6.
(2) 过点C作CE⊥x轴于点E
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.
∴，
∴BE= AO=3，CE= OB= ，
∴点C的坐标为(t+3，).
∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= AB·BC= BC2.
在Rt△ABC中，BC2= CE2+ BE2 = t2+9，
即S△ ABC= t2+9.
(3)存在，理由如下：
①当t≥0时.
Ⅰ.若AD＝BD.
又∵BD∥y轴
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD.
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴，
∴= ，
∴t=3，即B(3，0).

Ⅱ.若AB＝AD.
延长AB与CE交于点G，
又∵BD∥CG
∴AG＝AC[from:www.xk100.com]
过点A画AH⊥CG于H．
∴CH＝HG＝CG
由△AOB∽△GEB，
得＝ ，
∴GE= .[from:www.xk100.com][来源:学科网]
又∵HE＝AO＝６，CE＝
∴＋６＝×（＋）
∴t2-24t-36=0
解得：t=12±6. 因为 t≥0，

所以t=12＋6，即B(12＋6，0).

Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB.
当t≥12时，BD≤CE ∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况.
②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.设AD=AB，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F.
可求得点C的坐标为(t+3，)，
∴CF=OE=t+3，AF=6－，
由BD∥y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴ ，
∴， ∴t2-24t-36=0
解得： t=12±6.因为－3≤t<0，
所以t=12－6，即B (12－6，0).

③当t<－3时，如图，∠ABD是钝角.设AB=BD，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
可求得点C的坐标为(t+3，)，
∴CF= －(t+3)，AF=6－，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD.
又∵BD∥y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF.
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF＝AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6－ =－2(t+3)，
解得：t=－8，即B(－8，0).
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：
B1 (3，0)，B2 (12＋6，0)，B3 (12－6，0)，B4(－8，0). （共6分，每个坐标1分，其中一个求解过程2分）


4．（杭州市西湖区模拟）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与三点组成的三角形全等？
（2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
答案：解：（1）①经过秒后，与 全等
∵秒， ∴厘米，
∵厘米，点为的中点， ∴厘米．
又∵厘米， ∴厘米， ∴．
又∵， ∴， ∴． …………3分
②∵， ∴，又∵，
，则，
∴点，点运动的时间秒， …………5分
∴厘米/秒． …………6分
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得， …………7分
解得秒． …………8分
∴点共运动了厘米． …………9分
∵，
∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．

5．（安徽中考模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
【解】

答案：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分
所以
所以 3分
（2）的周长之和为定值． 4分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 8分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 8分
（3）设BE＝x，则
所以 11分
配方得：．
所以，当时，y有最大值． 最大值为．

6. （杭州上城区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.








答案：解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,

则 解得

∴抛物线的解析式为: …… 3分（三个系数中，每对1个得1分）
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2分（解析式和t取值范围各1分）
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意. …… 1分
【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. …… 1分
【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上. …… 1分
综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意.
（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…… 2分


7．（杭州市模拟）(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为，
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（第24题图）












答案：解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），∴, ,
∴所在直线的函数解析式为.………………………………………………2分
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，） ……………………………………4分
② ∵==， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短. ……………………………………6分
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，
∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：，.
代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.……………………………………………12分

8. （湖北武汉调考一模）如图，在平面直角坐标系中，以点M(-l，0)为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-x-与⊙M相切于点h，交x轴于点E，交y轴于点F.
(1)求⊙M的半径；
(2)如图2，弦HQ交x轴于点P，且PD：PH=4：，
求点P的坐标；
(3)如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），
连接BK交⊙M于点G，连接AG.过点M作MN ⊥x轴交BK于N．
是否存在这样的点K，使得AG=MK?若存在，请求出GN的长；
若不存在，请说明理由．

答案：解:(1)OE=5,OF=，∴EF=
∴∠OEF=30°,∴HM=EM=2
即⊙M的半径为2；
⑵作HT⊥ OC于T，连接CH、MH，由(1)知△CMH为正三角形，
∴CT=1,TH=．设PD=4x，PH=x．
∵TH2+TP2=PH2，∴ 3+(3-4x)2=7x2,
∴=2(舍)，=
（3)假设存在，则有AG=MK.作直径AR交BK于S，连接GR.
则△AGR≌△KMN，
∴GR=MN.则△CRS≌△MNS，于是GN=MR=2．

9.（浙江杭州靖江模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE＝8，BC＝12，CD＝4，∠C＝30°，∠B＝60°。点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x。
（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。
（3）P在BC 上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形。
（根据浙江新中考专题六运动型问题改编）


答案：
∴DG＝2，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4……………………………………………………………2分[来源:学.科.网]
显然，当P点与F或点G重合时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
所以x=2或x=6…………………………………………………………2分
(2) ∵AD=BE=4，且AD∥BE
∴当点P与B重合时，
即x=0时。点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形………………………………2分
又∵当点P在CE中点时，EP＝AD＝4，且EP∥AD，
∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形…………………………………2分
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4
∴x=0时，且PA＝AD，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。……………1分
∵AB＝BE，且∠B＝60°
∴△ABE为正三角形。
∴AE＝AD＝4。
即当x=8时，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。………………………1分


10. （安徽芜湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.


答案: 解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：
所以二次函数的表达式为： ………………3分
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=
∴=．
∴=
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.


当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积．= ………………14分

11.（浙江杭州靖江模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。
（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线
o
交y轴于点F，顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。


答案：
解：（1）C（ 4，），D（1，）；
（3） 由抛物线的顶点坐标为（）
可得抛物线的解析式为
（3）设抛物线沿直线y=平移后的抛物线
的顶点为，
则平移后抛物线的解析式为
当时，
若，则
解得
∴
若，则
解得
∴
若，则∠120°（不合题意，舍去）
当时，
∠为钝角，则当⊿EFG为等腰三角形时，
∴
解得，∴ （4分）

12.（浙江杭州进化一模）(本小题满分12分)
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；










答案：解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD． ……………………………………………2分
∴． 即，∴． …………………………………1分
（2）或或4． ……………………………………………3分
（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得． 即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分
∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分
即
当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.
．
由题意得，．
∴ ． ∴．
∴ ． ∴．
∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t
∴ CH=AD=HF= t-2 …………………………………………………………1分
∴S△PQC =PQ·CH= ………………………………………1分
即y=
综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分









13.（河南新乡模拟）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：１２分）（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（1分）
∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) ．
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分）
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （5分）
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=.
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5. ……………………（7分）
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），
∴ BD=DE.
即D是BE的中点. ………………………………（9分）
（3） 存在. ………………………………（10分）
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1
∵ 动点P的坐标为)，
∴. x－1= ………………………………（11分）
解得 ，. ∴ ，.
∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（12分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)


14、（北京四中模拟）己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为。
（1）求线段AC的长和的度数。
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒个
单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始
在线段OA上以每秒个单位长度的速度向点A移动，
（P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒。
①设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，
并求出当t为何值时，S有最小值。
②是否存在这样的时刻t，使得与相似，并说明理由？
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。（直接写出结果，每漏写或写错一点坐标扣一分，直到扣完为止。）
答案：（1）令得 ∴A点坐标为（0，1）
令得 ∴ C点坐标为（，0）
∴
在中，∵ ∴
（2）P、Q两点同时开始移动t秒时
① ∵， t
∴
t
∵
∴
∴当 时，最大为
②ⅰ假设存在∽ ∴ ∴
ⅱ∽∴∴
（3），，，，，

15、（杭州模拟20）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
答案：(1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,
则 解得

∴抛物线的解析式为: …… 3分（三个系数中，每对1个得1分）
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2分（解析式和t取值范围各1分）
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意. …… 1分
【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. …… 1分
【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上. …… 1分
综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意.
（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…… 2分

16、（黄冈市浠水县）如(图1)，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且．动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，点M、N在x轴上(M在点N的左侧)，以P、M、N为顶点的三角形是等边三角形，设运动时间为秒．
(1) 求直线的解析式；
(2) 求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；
(3) 如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点 在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．





答案：解：（1）直线的解析式为：．
（2），，，
，，
是等边三角形，，
，．
当点与点重合时，
，
．
，
．
（3）①当时，见图2．
设交于点，
重叠部分为直角梯形，
作于．
，，
，
，
，
，
，
，
．
随的增大而增大，
当时，．
②当时，见图3．
设交于点，
交于点，交于点，
重叠部分为五边形．
作于，，
，
，
．
，当时，有最大值，．
③当时，，即与重合，
设交于点，交于点，重叠部
分为等腰梯形，见图4．
，
综上所述：当时，；
当时，；
当时，．
，的最大值是．

17、（江西省九校2010—第一次联考）如图，已知∠=90°，线段AB=10，若点A在上滑动，点B随着线段AB在射线 上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE = 4时，求⊙K的半径r；
（3）当Rt△AOB的面积为S，AE为，试求：S与之
间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长．




答案：解：（1）不会发生变化的是△AOB的外接圆半径，
∵ ∠O=90°， ∴AB是△AOB的外接圆的直径
AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变…… ………………3分
（2）设⊙K的半径为r，⊙K与Rt△AOB相切于E、F、P，连EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠C=90°， ∴四边形EOFK是矩形，又OE=OF
∴四边形EOFK是正方形，………………………………………5分
∴OE=OF=r，AE=AP=4，
∴PB=BF=6， ∴
=-12（不合） =2…………………………………………7分
（3）设AO=b，OB=a，⊙K与Rt△AOB三边相切于E、F、P，
∴

， ∴，
∴
∴……………………………………………………9分
另一解法：，∴
S=·r（OA +OB+AB）=r (r+x+10-x+r+10)= r (20+2r)=
∴S==)
又∵=+25
∵当x=5时，S最大，即AE=BF=5，∴OA=.…………10

18．（深圳二模）如图，已知抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．
（１）求ａ的值；
（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；
（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．
（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）


解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4经过点（0，8）
∴ａ－4ａ－4＝8
解得：ａ＝6，ａ＝－2（不合题意，舍去）
∴ａ的值为6…………………………………………4分
（２）由（１）可得抛物线的解析式为
ｙ＝ｘ－6ｘ＋8
当ｙ＝0时，ｘ－6ｘ＋8＝0
解得：ｘ＝2，ｘ＝4
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（4，0）
当ｙ＝8时，
ｘ＝0或ｘ＝6
∴D点的坐标为（0，8），C点坐标为（6，8）
DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ
当四边形OQPD为矩形时，DP＝OQ
2＋t＝6－2t，t＝，OQ＝2＋＝
S＝8×＝
即矩形OQPD的面积为…………………………………………8分
（３）四边形PQBC的面积为，当此四边形的面积为14时，
（2－t＋2t）×8＝14
解得t＝（秒）
当t＝时，四边形PQBC的面积为14…………………………………………12分

（４）t＝时，PBQ是等腰三角形．…………………………………………14分

19、（广东省澄海实验学校模拟）已知：如图，抛物线与轴交于点、点，与直线相交于点、点，直线与轴交于点。
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积；
（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）在中，令，
， 1分
又点在上
…………………………………2分
的解析式为………………………3分
（2）过点C作CD⊥AB于点D.
由，得 5分
， ， ………………………………………6分
7分
（3）过点作于点
8分
由直线可得： 在中，，，则
， ∵BM=4－t ∴△MBN的面积= ×BM×NP= (4－t)·t
10分
11分
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分

20.（湖北省崇阳县城关中学模拟）（本小题满分10分）
如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；









（1）不变。

…… 1′
又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
…… 1′
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
…… 2′
当
…… 2′
当
∴当第秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形
…… 1′
（3）不变。
∴
…… 1′
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴ 又
…… 1′
∴
21.（深圳市模四）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？
（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？
第4题图

解：（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4，
则由题意得AP=x，BP=5－x，BQ=2x,
由BP·BQ=4，得（5－x）·2x=4， 解得，x1=1，x2=4．
当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故x=1
（2）由BP+BQ=5得（5－x）+（2x）=5,
解得x1=0（不合题意），x2=2．
所以2秒后，PQ的长度等于5。


22.（深圳市模四）（深圳市模四）（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。




第5题图

解：（１）（6－x , x ）;
(2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=6﹣x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤6.∴S=（6—x）×x=(﹣x2+6x) = — (x﹣3)2+6。∴S的最大值为6, 此时x =3.
(3)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ
①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2;
②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x
在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ (x) 2∴x=
③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝6—x ∴x=6—x ∴x=
综上所述，x=2，或x=，或x=。
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23、（北京四中33模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x
（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM//AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式。

答案：解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC……………………………………………………………（1分）
∴，即，∴
∵AM⊥AN，∴…………………
（2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，
则AO=OD=MN
在Rt△ABC中，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，即，∴，∴………………………
过M作MQ⊥BC于Q，则
则△BMQ∽△ABC，
∴，∴
∵
∴…………………………………………………………………………
（3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°
∴四边形AMPN是矩形…………………
∴PN=AM=x
又∵四边形BFNM是平行四边形，
∴FN=BM=8－x，PF=PN－FN=x－(8－x)=2x－8…（
又Rt△PEF∽Rt△ABC，∴，
∴
∵
………




24、（北京四中34模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？


答案：（1）如图1 过点B作BN⊥OC于点N
∵OB=OC=10 BN=OA=8
∴ON=AB= ∴B（6,8）
（2）如图2 ∵∠BON=∠POH ∠ONB=∠OHP=90°
∴⊿BON∽⊿POH
∴
∵PC=5t ∴OP=10-5t ，OH=6-3t ，PH=8-4t …
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4 …
∴ …（0≤t＜2）…
（3）如图3 ，当点G在E上方时
过点B作BN⊥OC于点N
BN=8 ，CN=4 ，CB==4
∵BM∥PC，BC∥PM
∴BMPC是平行四边形
图2
∴PM=BC=4 BM=PC=5t
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∵PM∥BC ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP
∵∠OPD+∠RMP=90°∠ODP+∠MPH=90°
∴∠RMP=∠MPH
∴EM=EP ……
∵点F为线段PM的中点
∴EF⊥PM
∴⊿MEF∽⊿MRP
∴ ∵MF=, MR=8 ,RP=4 ∴ME=5 ,EF=
∵ ∴EG=2 MG=5-2=3 ……
∵∠MBO=∠BON ,∠BMG=∠BNO
∴⊿BMG∽⊿ONB ∴ ∴BM==PC ……

∴5t= 得t= ……


当点G在E的下方时
可得MG=5+2=7
BM=5t= ∴t= ……
∴当t=或t=时，








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25、（浙江杭州27模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE＝8，BC＝12，CD＝4，∠C＝30°，∠B＝60°。点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x。
（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。
（3）P在BC 上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形。
答案：
(1)分别过点A、D作BC的垂线，垂足分别为F、G。
∵∠C=30°,且CD＝
∴DG＝2，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4……………………………………………………………
显然，当P点与F或点G重合时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
所以x=2或x=6………………………………………………………
(2) ∵AD=BE=4，且AD∥BE
∴当点P与B重合时，
即x=0时。点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形…………………………
又∵当点P在CE中点时，EP＝AD＝4，且EP∥AD，
∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形………………………………
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4
∴x=0时，且PA＝AD，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。…………
∵AB＝BE，且∠B＝60°
∴△ABE为正三角形。
∴AE＝AD＝4。


26、（浙江杭州28模）即当x=8时，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。
如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）.动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.
（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.
（2）△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积。
（3）随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF?
答案：（1）设要四边形PABQ为平行四边形，则
∴.
（2）不变. （1分）


∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13
∴S△PQF（2分）
（3）由(2)知， PF=OA=13
①QP=FQ，作QG⊥轴于G，则
②PQ=FP，
③FQ=FP，
综上，当时，△PQF是等腰三角形.

27．（杭州市上城区一模）（本小题满分12分）
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
答案：解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,

则 解得

∴抛物线的解析式为:

(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2分（解析式和t取值范围各1分）
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意. …… 1分
【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. …… 1分
【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上. …… 1分
综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意.
（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…… 2分

28. （杭州市模拟）（本题10分）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与三点组成的三角形全等？
（2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
答案：解：（1）①经过秒后，与 全等
∵秒， ∴厘米，
∵厘米，点为的中点， ∴厘米．
又∵厘米， ∴厘米， ∴．
又∵， ∴， ∴．
②∵， ∴，又∵，
，则，
∴点，点运动的时间秒，
∴厘米/秒．
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，
∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．

29. （浙江省杭州市模2）（本小题满分10分）
如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；






答案：（1）不变。

又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形
（3）不变。
∴
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴ 又
∴


30. （浙江省杭州市模2）(本小题满分12分)
o
第24题
如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。
（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物
线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后
的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）。
平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG为等腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说
明理由。
答案：（1）
（2）由二次函数对称性得顶点横坐标为，代入一次函数，得顶点坐标为（，），
∴设抛物线解析式为，把点代入得，
∴解析式为
（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则
∴可设解析式为
①当FG=EG时，FG=EG=2m，代入解析式得：
，得m=0(舍去)，，
此时所求的解析式为：；
②当GE=EF时，FG=4m，代入解析式得：
，得m=0(舍去)，，
此时所求的解析式为：；
③当FG=FE时，不存在；