高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀课堂检测

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3.3 幂函数 一、幂函数的图象与概念1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．3、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 二、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．  题型一 判断是否为幂函数【例1】下列函数是幂函数的是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.  【变式1-1】下列函数是幂函数的是（）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.  【变式1-2】下列函数中，不是幂函数的是（    ）A．y＝2x        B．y＝x－1        C．y＝        D．y＝x2【答案】A【解析】不是幂函数；，，为幂函数；故选：A.  【变式1-3】下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】A：，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意；B：，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意；C：，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意；D：，故函数的定义域为，故D正确；故选：D.  题型二 求幂函数的解析式【例2】（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（    ）A．        B．        C．        D．无解【答案】BC【解析】由已知可得，解得或.故选：BC.  【变式2-1】已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．【答案】【解析】由题意知，设幂函数的解析式为为常数)，则，解得，所以.  【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【解析】是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.  【变式2-3】已知幂函数在为减函数，则___________.【答案】【解析】为幂函数，所以，解得：或.当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.所以，所以.  【变式2-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．【答案】4【解析】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，符合题意.当时，，图象关于原点对称，不符合题意.所以的值为，∴. ，.  题型三 幂函数定义域问题【例3】函数的定义域是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.  【变式3-1】函数的定义域为______.【答案】【解析】由可知其定义域为.  【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ）A．R        B．C．        D．【答案】C【解析】设，因为的图象过点，所以，解得，则，故的定义域为．故选：C  【变式3-3】若有意义，则实数的取值范围是________【答案】【解析】若有意义，则，解得所以实数的取值范围是.  题型四 幂函数的值域问题【例4】函数在区间[－4，－2]上的最小值是____．【答案】【解析】因为函数在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－2时，．  【变式4-1】若幂函数的图象过点，则的值域为____________．【答案】【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以所以，所以  【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ）A．1        B．        C．        D．【答案】C【解析】由幂函数的图像过点，可得，解得，所以，函数，则，所以在区间上单调递增，所以的最小值.故选：  【变式4-3】幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.  【变式4-4】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．  题型五 幂函数图象的判断及应用【例5】幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：，故选：D  【变式5-1】函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是（    ）.A．①④        B．①        C．①②        D．①③④【答案】A【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，所以，若，可得，所以②错误；由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，所以，若时，可得，所以④正确.故选；A．  【变式5-2】已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（    ）A．     B．      C．      D．【答案】A【解析】设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，即，解得，所以，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选：A  【变式5-3】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ）A．、、        B．、、        C．、、        D．、、【答案】D【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.  【变式5-4】若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（    ）A．；        B．，；C．，；        D．，．【答案】B【解析】由图象知；在上递增，所以，由的图象增长的越来越慢，所以，在上递减，所以，又当时，的图象在的下方，所以，故选：B  【变式5-5】函数的图象是（    ）A．     B．    C．    D．【答案】A【解析】函数，满足，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；该函数是幂函数，，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误.故选：A.  题型六 幂函数图象过定点问题【例6】三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】当时，得到，，，故都过点.故选：.  【变式6-1】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】，，，所以，函数的图象过定点，又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点.故选：D.  【变式6-2】函数的图象必经过定点A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】令,解得,当时,,所以图象恒过，故选D  【变式6-3】函数恒过定点______．【答案】【解析】当，即时，，函数恒过定点.  【变式6-4】函数的图象过定点________．【答案】【解析】幂函数的图象过，将代入，可得，所以函数的图象过定点.  【变式6-5】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点____．【答案】【解析】因为幂函数过点，可解得，所以，故，当时，，故恒过定点.  题型七 利用幂函数单调性解不等式【例7】若幂函数的图象过点（16，8），则的解集为（    ）A．（–∞，0）∪（1，+∞）        B．（0，1）      C．（–∞，0）        D．（1，+∞）【答案】D【解析】设幂函数的解析式是，将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得，故函数在定义域是[0，+∞），故在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．故选D．  【变式7-1】已知函数，那么不等式的解集为__________．【答案】【解析】已知函数，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式等价于  【变式7-2】若 ，求a的取值范围.【答案】 【解析】的定义域为，且在上是减函数，原不等式等价于，即，，的取值范围是.  【变式7-3】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.【答案】且.【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得.因为，所以或2.又函数的图象关于轴对称，所以是偶数，而为奇数，为偶数，所以，所以，在上为增函数，在上为减函数，所以等价于且，解得且.故实数的取值范围为且.  【变式7-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的实数a的取值范围.【答案】【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得.又，所以.又函数）的图象关于y轴对称，所以为偶数，所以.，得或或，解得或，所以实数a的取值范围是.  题型八 幂函数性质的综合应用【例8】已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.当时，在上单调递增，满足题意.当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.∴.（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴.∵，，∴，∴解得.故实数的取值范围为.  【变式8-1】已知幂函数的图像关于y轴对称．（1）求的解析式；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或．又的图像关于y轴对称，所以，故．（2）由（1）可知，．因为，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故在上的值域为．  【变式8-2】已知函数．（1）若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：（2）若在上减函数，求的取值范围．【答案】（1）；（2）{或且}.【解析】（1）在上增函数，，解得又,，由为偶函数知，；（2）若在上减函数，则，解得或，即的取值范围是{或且}．  【变式8-3】已知幂函数为奇函数．（1）求实数m的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵函数为幂函数，，解得或5，当时，，为奇函数，当时，，为偶函数，函数为奇函数，；（2）由（1）可知，，则，，令，则，，则，，函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为  【变式8-4】已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.【解析】（1）因为幂函数（）在是严格减函数，所以，即 ，解得：，因为，所以，当时，，此时为奇函数，不符合题意；当时，，此时为偶函数，符合题意；当时，，此时为奇函数，不符合题意；所以，（2），令当时，，，此时是奇函数，当时，，此时是偶函数，当且时，，，，，此时是非奇非偶函数函数.