高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品一课一练

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5.3 诱导公式 一、诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：，，，其中诱导公式二： ，，，其中诱导公式三： ，，，其中诱导公式四：，，，其中诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.3、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．三、利用诱导公式求值与求解解题策略1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 题型一 利用诱导公式给角求值【例1】的值等于（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】.故选:C.  【变式1-1】（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】故选：B．  【变式1-2】计算：______.【答案】【解析】原式.故答案为：.  【变式1-3】计算：___________.【答案】0【解析】故答案为：0  题型二 利用诱导公式给值求值【例2】若且是第二象限角，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】由，得，又由为第二象限角，所以．故选：B.  【变式2-1】设，若则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.  【变式2-2】若，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】∵，∴，∴.故选：A.  【变式2-3】设，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为，，，所以.故选：C.  【变式2-4】已知，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】.故选：B.  题型三 利用互余互补关系求值【例3】已知，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】∵，∴.故选:D．  【变式3-1】已知，则的值为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】，故选：A.  【变式3-2】若则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】因为，所以，故选：B.  【变式3-3】已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.【答案】0【解析】∵，，.故答案为：0.  【变式3-4】已知函数.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）因为，所以，，故.  题型四 利用诱导公式化简求值【例4】化简的结果为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】，，故选：C  【变式4-1】（多选）已知角满足，则的取值可能为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】AC【解析】因为，则且，当为奇数时，原式；当为偶数时，原式.故原式的取值可能为、.故选：AC.  【变式4-2】已知是第四象限角，且，则___________.【答案】【解析】由题设，，.故答案为：  【变式4-3】（1）化简：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式；（2）因为，所以函数的周期为6，，，，，，；由于，所以＋＋＋…＋.  【变式4-4】已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得：（2）∵，∴.∴为第一或第二象限角，∴，∴  题型五 三角恒等式的证明【例5】已知、、为的三个内角，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，则.所以，，故原等式得证.  【变式5-1】（1）求证：；（2）设，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）左边==右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边====右边，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左边====右边，等式成立.  【变式5-2】求证：＝．【答案】证明见解析【解析】左边.右边.∴左边＝右边，故原等式成立．  【变式5-3】证明：，．【答案】证明见解析【解析】证明：当n为偶数时，令，，左边．右边，∴左边=右边．当n为奇数时，令，，左边．右边，∴左边=右边．综上所述，，成立．