高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算一课一练

6.1.3共面向量定理

知识点01 共面向量

1.定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.

2.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。

【即学即练1】对于空间中的任意三个向量，，，它们一定是（    ）

A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量

【即学即练2】对于空间中的三个向量，，，它们一定是（    ）

A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．无法判断

知识点02  空间四点共面的条件

四点共面的条件：已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.

注意：

（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.

（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.

【即学即练3】下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【即学即练4】在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．

◆考点01 共面向量概念的理解

【典例1】如果存在三个不全为零的实数x、y、z，使得，则关于、、（    ）

A．两两相互垂直 B．只有两个向量互相垂直

C．共面 D．有两个向量互相平行

【典例2】有下列命题：

①若与平行，则与所在的直线平行；

②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；

③若、、两两共面，则、、一定也共面；

④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．

其中正确命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【典例3】（多选）下列说法正确的是（    ）

A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行；

B．已知空间任意两向量，，则向量，共面；

C．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得；

D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有.

◆考点02 向量共面的判断与证明 

【典例4】已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ）

A．，共线 B．，共线

C．，，共面 D．，，不共面

【典例5】设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．

①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．

【典例6】在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．

【典例7】已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．

◆考点03 空间四点共面的条件

◆类型1 四点共面的判断

【典例8】已知点分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“四点共面”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【典例9】已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．

(1)；

(2)．

【典例10】下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（    ）个

①

②

③

④

A．0 B．1 C．2 D．3

◆类型2 四点共面的证明

【典例11】如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面．

【典例12】已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．

【典例13】如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．

(1)试用向量表示向量；

(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．

◆类型3 含参问题

【典例14】已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

【典例15】已知、、不共面，，，，且A、B、C、D四点共面，则的值为________．

【典例16】如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.

题组A  基础过关练

一、单选题

1．下面关于空间向量的说法正确的是（       ）

A．若向量，平行，则，所在直线平行

B．若向量，所在直线是异面直线，则，不共面

C．若，，，四点不共面，则不共面

D．若，，，四点不共面，则不共面

2．A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（    ）

A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面

3．对于空间的任意三个向量，，，它们一定是（    ）．

A．共面向量 B．共线向量

C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量

4．有下列说法:

①若，则与，共面；

②若与，共面，则=x+y；

③若=x+y，则P，M，A，B共面；

④若P，M，A，B共面，则=x+y.

其中正确的是（    ）

A．①②③④

B．①③④

C．①③

D．②④

5．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（    ）

A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点

C．一定共面 D．一定不共面

二、多选题

6．如图，在正四面体ABCD中，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．对任意点M，N，都有MN与AD异面

B．存在点M，N，使得MN与BC垂直

C．对任意点M，存在点N，使得与，共面

D．对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等

7．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

8．已知在正方体中，为空间任意两点，如果有，那么点必在平面_________内.

9．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．

10．在棱长为1的正方体中，点M和N分别是正方形ABCD和的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足，其中m、n、，且，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是______．

四、解答题

11．如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．

12．如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：

(1)，，，四点共面；

(2)平面平面ABCD．

13．在平面向量中有如下结论：已知，不共线，若，且，则P，A，B三点共线．你能据此得到空间向量中类似的结论吗？

题组B  能力提升练

一、单选题

1．在正方体中，E为中点，，使得，则（    ）

A． B． C．1 D．

2．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ）

A． B． C． D．2

3．已知棱长为的正方体中，为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

4．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．以上都不对

5．已知非零向量，不共线，若，则A，B，C，D四点（    ）

A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点

C．一定共面 D．一定不共面

二、多选题

6．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（    ）

A． B．

C． D．

7．给出下列命题，其中不正确的命题为（    ）

A．若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；

B．若，则是钝角；

C．若为直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是l的方向向量；

D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面．

三、填空题

8．图，已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是棱的中点，设M是该正方体表面上的一点，若，则点M的轨迹所形成的长度是________．

9．已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.

10．已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．

四、解答题

11．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；

(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．

12．已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：

(1)；

(2)．

题组C  培优拔尖练

1．如图，在四棱台中，，，则的最小值是__________．