高中6.3空间向量的应用精练

这是一份高中6.3空间向量的应用精练

6.3.4空间距离的计算目标导航知识精讲知识点01 两点间的距离1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），|AB|=(x1−x2）2+（y1−y2）2+（z1−z2）22用向量表示 两点间距离AB=(x1−x2,y1−y2,z1−z2),|AB|=(x1−x2）2+（y1−y2）2+（z1−z2）2【即学即练1】如图所示，在120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．【即学即练2】如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是边长为23的正三角形，AA1=7，顶点A1在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线AC1,A1B上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ）A．72 B．2 C．6 D．62知识点02 点到平面的距离 定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d=|AP∙n||n|【即学即练3】已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)A．10　　　　　　　　　 B．3C．eq \f(8,3) D．eq \f(10,3)【即学即练4】如图所示，已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．知识点03 点到直线的距离定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d==|PQ|=|AP|2−|AQ|2=|AP|2−|AP∙e|e||2设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=|AP|sin【即学即练5】在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°．D是BC边的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是________．【即学即练6】如图，在四棱锥P−ABCD中，AC∩BD=O，底面ABCD为菱形，边长为4，∠ABC=60°，PO⊥平面ABCD，异面直线BP与CD所成的角为60°，若E为线段OC的中点，则点E到直线BP的距离为______ .知识点04 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离1.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝eq \f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．2.当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝eq \f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．【即学即练7】两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A1,2,3，且两平面的一个法向量n=−1,0,1，则两平面间的距离是（    ）A．2 B．22 C．3 D．32【即学即练8】已知正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，求平面A1BD 与平面B1CD1 间的距离．能力拓展◆考点01 用向量法求点线距 【典例1】已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=3，E点为棱AB的中点．(1)求二面角A−EC1−C的余弦值；(2)连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线BB1距离最短时，线段EP的长度．【典例2】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥ 平面ABCD，点G为AB 的中点，AB=BE=2 .(1)求证：EG∥ 平面ADF ；(2)求点D到直线EG的距离.◆考点02 用向量法求点面距 【典例3】布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是（    ）A．14 B．12 C．22 D．32【典例4】如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．(1)求证：BE∥平面DCF；(2)求点B到平面DCF的距离．【典例5】如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.(1)求证：EF⊥BD；(2)求点F到平面BDE的距离.◆考点03 用向量法求线面距【典例6】如图，在多面体ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，CA⊥平面ABB1A1，CC1⊥平面ABC,AA1=AC=4,CC1=2,AB=3.(1)求证：CC1 ∥平面ABB1A1；(2)求直线A1C1与平面ABC1所成角的正弦值；(3)求直线A1B1到平面ABC1的距离.【典例7】如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=2，Q是棱PD的中点.(1)求证：PB∥平面ACQ；(2)求直线PB到平面ACQ的距离.◆考点04 用向量法求面面距【典例8】直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A=3，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．(1)求证：平面AMN //平面EFDB；(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．◆考点05 用向量法求线线距【典例9】如图，在长方体ABCD−A1BC1D1中，AD=AA1=1，AB=2，求：(1)点A1到直线BD的距离；(2)点A1到平面BDC1的距离；(3)异面直线BD,CD1之间的距离.分层提分题组A 基础过关练一、单选题1．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AE，则P到AB的距离为（    ）A．34 B．45 C．56 D．352．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，分别取棱AA1，A1D1的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面ACD1的距离为（    ）A．32 B．3 C．1 D．333．已知平面α的法向量为n=−2,−2,1，点Ax,3,0在平面α内，点P−2,1,4到平面α的距离为103，则x=（    ）A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-214．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(−1,0,0),B(1,2,−2),C(0,0,−2),D(2,2,−4)，则以下错误的是（    ）A．AC⋅AB=6 B．AC,AB夹角的余弦值为156C．A，B，C，D共面 D．点O到直线AB的距离是635．在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上下底面均为矩形，AB=1，AD=AA1=A1B1=2，则下列各棱中，最长的是（    ）A．BB1 B．B1C1 C．CC1 D．DD1二、多选题6．已知AB=0,1,1，BE=2,−1,2，BE⊥平面BCD，则（    ）A．点A到平面BCD的距离为23 B．AB与BE所成角的正弦值为26C．点A到平面BCD的距离为13 D．AB与平面BCD所成角的正弦值为267．在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动（不与顶点重合），则点B到平面AD1P的距离可以是（    ）A．2 B．3 C．2 D．58．（多选）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为1,2,3，则下列说法错误的是（    ）A．点P到原点O的距离是6 B．点P到x轴的距离是13C．点P到平面xOy的距离是3 D．点P到平面yOz的距离是3三、填空题9．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；②直线B1D1到平面CMN的距离是22；③存在点P，使得∠B1PD1=90∘；④△PDD1面积的最小值是455．其中所有正确结论的序号是__________．10．在空间直角坐标系Oxyz中，A1,2,1，B2,1,m，C0,1,2，若点C到直线AB的距离不小于102，写出一个满足条件的m的值：______.11．正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为1，侧棱长为2,P,Q分别是异面直线AD1和BD上的任意一点，则P,Q间距离的最小值为___________.四、解答题12．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点.(1)证明：BD1//平面C1DE；(2)求平面C1DE与平面ABCD的夹角的正切值；(3)求点A1到平面C1DE的距离.13．直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=CC1=2，点D为线段AC的中点，直线BC1与B1C的交点为M，若点P在线段CC1上运动，CP的长度为m．(1)求点M到平面A1BD的距离；(2)是否存在点P，使得二面角P−BD−A1的余弦值为−13，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．14．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．(1)求点A1到直线B1E的距离；(2)求直线FC1到直线AE的距离；(3)求点A1到平面AB1E的距离．题组B 能力提升练一、单选题1．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°,EA⊥平面ABCD，EA//BF，AB=AE=2BF=2，点M在棱EC上，且EM=λEC，平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，则下列说法错误的是（    ）A．平面EAC⊥平面EFC B．λ=34C．点M到平面BCF的距离为34 D．多面体ABCDEF的体积为7332．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA⊥CB，CA=CB=2，AA1=3，M为AB的中点.则A1到平面CB1M的距离为(    )A．3134 B．3105 C．31111 D．622113．如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为（    ）A．33 B．22 C．55 D．134．已知直线AB的方向向量为a，平面α的法向量为n，给出下列命题：①若a⋅n=0则直线AB∥α．②若a∥n，则直线AB⊥α．③记直线AB与平面α所成角的为θ，则sinθ=a⋅na⋅n．④若A∈α，C∈AB，则点C到平面α的距离d=AC⋅nn．其中真命题的个数是（    ）A．4 B．3 C．2 D．15．正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，点E，F分别为CC1，DD1的中点，且已知A1E与BF所成角的大小为60°，则直线A1E与平面BCF之间的距离为（    ）A．22 B．2 C．263 D．63二、多选题6．正三棱台ABC−A1B1C1中，O，O1分别是△ABC和△A1B1C1的中心，且AA1=A1B1=23BC=2，则（    ）A．直线AC与OB1所成的角为90°B．平面A1B1C1与平面AA1B1B所成的角为90°C．正三棱台ABC−A1B1C1的体积为191112D．四棱锥O−AA1B1B与O1−AA1B1B的体积之比为2:37．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别为PD，PB的中点，则（    ）A．EF⊥平面PAC B．AB//平面EFCC．点F到直线CD的距离为6 D．点A到平面EFC的距离为411118．如图，点M是正方体ABCD−A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点，则下列结论正确的是（    ）A．点M存在无数个位置满足CM⊥AD1B．若正方体的棱长为1，三棱锥B−C1MD的体积最大值为13C．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30°D．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线C1D1的距离相等三、填空题9．空间中到正方体ABCD−A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有___________个.10．我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面，若棱长为1的正方体被某平面截得的多边形为正六边形，以该正六边形为底，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是___________.11．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足BP=3PE.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体ABCD−A1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则点M到平面B1CF的距离的最小值为___________.四、解答题12．如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘,EA⊥平面ABCD,EA∥BF，AB=AE=2BF=2.(1)证明：CF//平面ADE；(2)在棱EC上有一点M（不包括端点），使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为155，求点M到平面BCF的距离.13．如图，在三棱台ABC−DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.(1)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值；(2)求点E到平面BCD的距离.14．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA1C1C为菱形，点A1在底面上的投影为AC的中点D，且AB=2．(1)求证：BD⊥CC1；(2)求点C到侧面AA1B1B的距离；(3)在线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE与侧面AA1B1B所成角的正弦值为67？若存在，请求出A1E的长；若不存在，请说明理由．题组C 培优拔尖练一、多选题1．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则（    ）A．A1C=3 B．A1C⊥BDC．∠A1CA=π4 D．点A1到平面BDD1B1的距离等于22二、解答题2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2，AB=3，E，H分别是棱AD，PB的中点.(1)证明：BC⊥平面PCE；(2)若PA=3，求点P到平面CEH的距离.3．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E，F分别是CD，BC的中点．(1)求证：EB1⊂平面D1EF；(2)点P在平面AED1上，若DP=22，求DP与B1E所成角的余弦值．4．如图所示，圆锥的高PO=2，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得BC=R，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．(1)证明：平面PDE⊥平面POD；(2)若直线PE与平面PBD所成角的正弦值为10535，求点A到平面PED的距离．课程标准重难点能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 体会向量方法在解决几何问题中的作用. 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题.难点：理解距离的向量表示及求解方法.