高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列习题

第8章 概率

8.2.4超几何分布

知识点01  超几何分布

定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件（M<N），从所有物品中随机取出n 件（n≤N），则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数（即n≤N-M）时取0，否则t取n减乙类物品件数之差（即t=n-（N-M）），而且P（X=k）=,k=t,t+1,...s,X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X~H（N，n，M）.

注意：对超几何分布的理解

（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）超几何分布中的参数是M，N，n；

（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.

注意:超几何分布与二项分布的区别∶

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.

超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H（N，n，M），则E（X）=

【即学即练1】（2021·全国·）（多选）关于超几何分布下列说法正确的是（    ）

A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以只有一类物品

C．超几何分布中的参数是，， D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成

【即学即练2】（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（       ）

A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为

B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为

C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为

D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为

◆考点01 超几何分布的分布列

【典例1】（2022·湖北孝感·高二期末）已知某批产品共20件，其中二等品有8件.从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于的分布列.

【典例2】（2022·全国·高二课时练习）某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．

【典例3】（2022·北京延庆·高二期末）袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．

(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到个黑球的概率；

(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列．

◆考点02 超几何分布的概率

【典例4】（辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【典例5】（2022·全国·高三专题练习）把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．

◆考点03 超几何分布的均值

【典例6】（2022·河南南阳·）袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（    ）

A． B． C． D．

【典例7】（2022·湖北·十堰东风高级中学）一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的均值___________．

◆考点04 超几何分布的方差

【典例8】（2022·吉林油田第十一中学）冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差.

【典例9】（2022·北京·）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；

(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；

(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）

题组A  基础过关练

一、单选题

1．某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（       ）

A．5 B．3 C．2 D．1

2．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（    ）

A． B． C． D．

5．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是

A． B．

C． D．

6．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于

A． B． C． D．

二、多选题

7．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（    ）

A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布

C． D．

8．下列说法正确的有（    ）

A．若随机变量X的数学期望，则

B．若随机变量Y的方差

C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为，则服从二项分布

D．从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布

9．在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是（    ）

A．随机变量服从超几何分布

B．随机变量服从二项分布

C．

D．

10．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（    ）

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为

B．答对1题的概率为

C．答对2题的概率为

D．合格的概率为

三、填空题

11．已知口袋中装有n(n>1)个红球和2个黄球，从中任取2个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则X的数学期望为_________．

12．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.

13．若一个随机变量的分布列为，其中则称服从超几何分布，记为，并将记为，则___________.

四、解答题

14．某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：

(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；

(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量的分布列和数学期望.

15．北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.

(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？

(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有人，求随机变量的分布列与数学期望.

五、双空题

16．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________.

17．袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中任意不放回地取出2球，至少取到1个红球的概率为，则红球有______________个，在此情况下，若从袋中任意不放回地取出3球，记取到黑球的个数为，则随机变量的数学期望____________

题组B  能力提升练

一、单选题

1．某班级要从名男生，名女生中随机选取人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为，则（    ）

A． B． C． D．

2．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）

A． B．随机变量服从二项分布

C．随机变量服从几何分布 D．

3．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ）

A．二项分布，且 B．两点分布，且

C．超几何分布，且 D．超几何分布，且

4．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　）

A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）

C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）

6．某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（    ）

A．至少有个深度贫困村 B．有个或个深度贫困村

C．有个或个深度贫困村 D．恰有个深度贫困村

二、多选题

7．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的可能取值为0，1，2，3 B．

C． D．

8．已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（    ）

A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件

C． D．

9．下列结论正确的有（    ）

A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种．

B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是

C．若随机变量服从二项分布，则

D．10个产品有3个次品，从中抽出2个，抽出次品个数的期望0.6个

三、填空题

10．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：

①，；②；③；④.

其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)

11．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.

四、解答题

12．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：

(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)已知样本中竞赛成绩在的男生有人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取人进行调查，记抽取的男生人数为，求的分布列及期望.

13．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值.

(1)求该网店询单转化率的平均值；

(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；

(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？

五、双空题

14．袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望___________；第二次取到个白球个红球的概率为___________.

题组C  培优拔尖练

1．设随机变量（且），最大时，（    ）

A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01

2．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.

(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；

(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；

(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.