不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法-高一数学上学期同步讲与练(人教A版必修第一册)

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不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法 一、分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式（1）（2）（3）（4）【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 三、含绝对值不等式1、绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即2、绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．  3、两个数的差的绝对值的几何意义表示在数轴上，数和数之间的距离．4、绝对值不等式：（1）的解集是，如图1．（2）的解集是，如图2．     （3）．（4）或 题型一 解分式不等式【例1】不等式的解集为（   ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】原不等式可化为，解得．故选：D．  【变式1-1】不等式的解集为（   ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】∵，解得：或，∴不等式的解集为，故选：D.  【变式1-2】解下列分式不等式：（1）≤1；    （2）<0.【答案】（1）{或}；（2）{或}.【解析】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.∴原不等式的解集为 {或}（2）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0，解得x<－或x>1，∴原不等式的解集为或}.  【变式1-3】解不等式：【答案】 【解析】通分整理，原不等式化为：，它等价于：，得到：或且  【变式1-4】不等式的解集是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为，所以且，所以且，所以且，所以不等式的解集为，故选：C  题型二 解高次不等式【例2】不等式的解集为___________.【答案】【解析】不等式，由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为.故答案为：.  【变式2-1】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.【答案】.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为.故答案为：.  【变式2-2】不等式的解集为（    ）A．或        B．或C．或        D．或【答案】A【解析】不等式，化为：，由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.  【变式2-3】解下列分式不等式：（1）;（2）;   （3）; （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1），所以，所以，即，解得，故原不等式的解集为；（2），所以等价于，解得或或，故原不等式的解集为（3），所以，等价于，解得或，故原不等式的解集为；（4），所以，即，即,因为恒成立，所以原不等式等价于，即，解得或，故原不等式的解集为  【变式2-4】关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ）A．或         B．或C．或        D．或【答案】A【解析】因为关于x的不等式的解集为，则原式化为：所以不等式的解为或.故选：A.  题型三 解绝对值不等式【例3】解不等式：（1）；   （2）    （3）【答案】（1）  （2）   （3）  【变式3-1】解不等式：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由题意，，解得，所以原不等式的解集为．（2）由题意，或，解得或，所以原不等式的解集为．（3）由题意，，解得，所以原不等式的解集为．  【变式3-2】不等式的解集是___________【答案】【解析】不等式可化为，∴，或；解之得：或，即不等式的解集是.故答案为：.  【变式3-3】不等式的解集为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】不等式.故选：D.  【变式3-4】解不等式：【答案】【解析】方法一：（零点分段法）（1）当时，原不等式变为：，解得，所以；（2）当时，原不等式变为：，解得，所以；综上所述，原不等式的解集为．方法二：或，解得或，所以原不等式的解集为．   【变式3-5】不等式的解集为       【答案】【解析】当时，，故；当时，恒成立，故；当时，，故综上：故不等式的解集为：