高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数课时训练

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一、复合函数的概念
如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，
则当时，函数为与在上的复合函数，
其中叫做内层函数，叫做外层函数
二、复合函数的单调性
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；
若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数
2、具体判断步骤
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论.
三、指数型复合函数值域的求法
1、形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，
但要注意“新元”的范围
2、形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，
再利用的单调性求出的值域。
四、对数型复合函数值域的求法
1、形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，
再利用在上的单调性，再求出的值域。
2、形如（，且）的函数的值域
借助换元法：令，先求出的值域，
再利用的单调性求出的值域。
题型一 复合函数的单调性判断
【例1】（多选）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意，函数在上单调递减，
又由函数在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
结合选项，可得选项符合题意.
故选：ACD.
【变式1-1】求函数的单调区间___________.
【答案】增区间为，减区间为
【解析】设t＝>0，
又在上单调递减，在上单调递增.
令≤4，得x≥－2，令>4，得x0，
即，解得．
故答案为：
【变式2-3】若函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在单调递减，
所以，函数在单调递减，且函数值非负，
所以函数在是单调递增且，
故 ，解得，故选：C
【变式2-4】已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为对任意且，不等式恒成立，
所以在上单调递减，
因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，
又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，
可得，解得，
综上可得；，所以实数的取值范围为.
【变式2-5】已知函数，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
则，
令，由，所以，
令，
因为在区间上是增函数，
所以在也是增函数，
所以，
则，即故选：A.
题型三 复合函数的值域求解
【例3】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
因为在R上单调递减，所以，
故函数的值域为，故选：C
【变式3-1】函数在上的值域为___________.
【答案】
【解析】
∵则令，在递增
∴
【变式3-2】已知函数，则其值域为___________.
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，
即时，函数取得最小值，即，
即时，函数取得最大值，即，
,.
【变式3-3】已知函数，求的单调区间及最大值．
【答案】单调递增区间为，单调递减区间为；
【解析】由得：，的定义域为；
，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
由单调性可知：.
【变式3-4】已知．
（1）设，求t的最大值与最小值；
（2）求的值域．
【答案】（1），；（2）[3，4].
【解析】（1）因为函数在区间[2，4]上是单调递增的，
所以当时，，
当时，．
（2）令，则，
由（1）得，因为函数在上是单调增函数，
所以当，即时，；当，即时，，
故的值域为.
【变式3-5】已知函数，求函数在上的最小值．
【答案】
【解析】设，由得，
，，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上．
【变式3-6】已知函数，若，求在区间上的最大值．
【答案】.
【解析】令，即求在区间上的最大值．
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，
函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，
则；
③当时，即当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，.
题型四 根据复合函数的值域求解
【例4】若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由在定义域上递减，
要使有最大值，则在定义域上先减后增，
当，则的最小值为，
所以，可得.故选：A
【变式4-1】已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，
当时，函数显然不存在最大值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有最大值，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数无最大值，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得函数在上单调递增，所以，即，
综上可得，即实数的取值范围是.故选：A.
【变式4-2】已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是偶函数，
所以，即，
所以，
其中，
所以，解得，所以，
所以，
故函数的最小值为．
令，则，
故函数的最小值为
等价于的最小值为，
等价于或，
解得．故A，C，D错误.故选：B．
【变式4-3】函数没有最小值， 则的取值范围是______．
【答案】
【解析】令，则外函数为，
因为在定义域上单调递增，
要使函数没有最小值，
即的值域能够取到，且不恒小于等于，
当时，符合题意，
当时开口向下，
只需，解得，即；
当时开口向上，
只需，解得，即；
综上可得，即.
【变式4-4】已知函数，若的值域为R，求实数m的取值范围.
【答案】
【解析】由的值域为R，可得能取内的一切值，
故函数的图象与x轴有公共点，
所以，解得或．
故实数m的取值范围为．