人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课后复习题

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（1）求图像的对称轴方程；
（2）若存在，使得成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）．
令，解得．
故图像的对称轴方程为．
（2）因为，所以．
当，即时，取最大值，．
因为存在，使得成立，
所以，解得，
故m的取值范围为．
2．（2021·四川师范大学附属中学高一阶段练习）已知函数．
（1）请用“五点法”列表并画出函数在上的图象；
（2）若函数的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数的图象，求的单调增区间．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）列表如下：
函数在上的图象如下：
（2）函数的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到
再向右平移个单位，得到，
令，解得
所以的单调增区间为
3．（2021·天津·高一期末）已知函数
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）最小正周期；单调递减区间为；
（2）最大值为2，最小值为1；（3）.
【解析】（1）因为．
所以的最小正周期，
∵，∴，
所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知的单调递减区间为，
∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
又，
故；
另解：∵，∴，
∵在单调递增，在上单调递减，
∴当时，，
∴当时，；
（3）∵，∴，
由，得，
∴，
∴
．
4．（2020·天津·高一期末）已知函数
（1）求的值；
（2）求的最小正周期和单调递增区间；
（3）求在上的最值．
【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为；
（3）．
【解析】（1）因为，
所以
（2）
，
所以的最小正周期为，
令，解得，.
即，
所以，的单调递增区间为；
（3）由（2）知，的单调递增区间为，最小正周期为，
所以的单调递减区间为，
又，所以，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，．
5．（2021·天津·高一期末）已知函数（且），
（1）求不等式的解集.
（2）若函数过点，并且函数满足，求实数a与k的值．
（3）在（2）的条件下，判断函数在上的单调性（不必说明理由）．若时，不等式任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）
【解析】（1）当时，由得，即，
当时，由得，即，
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为；
（2），
根据题意有，，解得，；
（3）由于与在都单调递增，且，
所以在单调递增，
当时，，，
，
∴，
∴对恒成立，
令，
故有，∴
∵，∴，
令，∴，∴，
设，，
当且仅当时等号成立，则，所以，
∵，∴.
6．（2022·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高一阶段练习）已知函数的最大值为.
（1）求的最小正周期以及实数的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若，求的值.
【答案】（1），；（2）或2．
【解析】（1）
所以，解得，的最小正周期．
（2）因为，所以，
所以，
所以，解得或2．
7．（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据．
（1）求函数的解析式，并补全表中数据；
（2）将图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【答案】（1），表格见解析；（2）
【解析】（1）由表格数据知：，最小正周期，；
，，解得：；
又，，则；
补全表格如下：
（2）由题意得：，
是的一个对称中心，
，解得：；
又，.
8．（2020·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）填表见解析；（2）单调递增区间为，
（3）最小值为-2；最大值为1.
【解析】（1）根据表格可得且，∴.
由当时，，得，∴.
故函数的解析式为.
表格补充完整如下：
（2），由，，
解得，，
故函数的单调递增区间为，.
（3）因为，所以，所以.
所以当，即时，在区间上的最小值为-2.
当，即时，在区间上的最大值为1.
9．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数某一周期内的对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数的最小正周期为，求函数在区间上的值域
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由表格提供的数据知，且，解得，，，
，
把代入，得，又，解得，
；
（2），
函数的最小正周期为，
，解得，
，
，，所以，
所以，
所以函数在区间上的值域为.
10．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）下图是函数（，，）的一个周期的图像，
（1）写出的函数解析式.
（2）写出的函数解析式，使与的图像关于直线对称.
（3）指出的图像可由的图像怎样平移变换得到.
【答案】（1）；（2）
（3）函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
【解析】（1）由函数图象可知，周期，所以，
所以，
又函数的图象经过点，
代入得，解得，，
又，所以，所以；
（2）由于与的图像关于直线对称，
在的图象上任取一点，则其对称点在函数的图象上，
即，
所以的解析式为；
（3）由（2）得，
所以函数的图象可由的图象向右平移个单位得到.
11．（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，…，试确定的值，并求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，所以，
因为，所以，所以函数.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）由方程，即，即，
因为，可得，设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即，，
解得，
所以.
12．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称；
（1）求出的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围.
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，
所以，即周期，所以，
所以，
又因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，，即，，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以，
当时，，,
当时，有最小值且关于对称，
因为方程在上有两根，，
所以，
，即的取值范围.
13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数m的取值范围；
（3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）因函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，
所以．
（2）由（1）知，，当时，，则，
令，则．存在，使成立，
即存在，使成立，则存在，成立，
而函数在上递减，在上递增，
当时，，当或2时，
所以实数m的取值范围为．
（3）由（1）知，不等式，
当时，，，
若，因，即恒成立，则，
若，因在上单调递增，
则当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即
因此，若，当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，
因此，所以a的取值范围是．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，______．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域．
请在①函数的图象关于直线对称，②函数的图象关于原点对称，③函数在上单调递减，在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若选①，函数的图象关于直线对称，
则，，即，．
又因为，所以，所以．
若选②，函数的图象关于原点对称，
则，，即，，
又因为，所以，所以．
若选③，函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在处取得最小值，则，
则，，即，．
又因为，所以，所以．
（2）由（1）可得函数，
因为，所以，
所以当时，；
当时，．
所以函数在上的值域为．
15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，），最小正周期，．
（1）求函数的解析式及函数的单调递增区间；
（2）函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1）由题意，函数，最小正周期，且，
可得，且，可得，
又由，所以，所以．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）作出函数在上的图象，
列表如下：
函数在上的图象，如图所示，
因为函数在上有两个不同的零点，
即直线与函数的图象在上有两个交点，
结合图象可得．
16．（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．
（1）请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；
（2）若，求函数图象的对称中心及对称轴；
（3）若，求函数的单调区间．
【答案】（1）表格见解析，
（2），，，
（3）增区间为，，减区间为，
【解析】（1）根据表中已知数据可得．
由得，所以．
数据补全如下表：
（2）．
由，，得，，
所以图象的对称中心为，．
由，，得，，
所以图象的对称轴方程为，．
（3）因为，
所以．
由，，得，．
由，，得，．
综上，函数的增区间为，，
减区间为，．
17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
（1）求函数图象的对称轴；
（2）将函数图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数k的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）因为，所以.
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴为直线，.
（2）依题意，将函数的图象向左平移1个单位长度后，
得到的图象对应函数的解析式为.
函数在上有两个零点，
即函数的图象与直线在上有两个交点，如图所示，
所以，即，
所以实数k的取值范围为.
18．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数的图象与y轴交于点，最小正周期是.
（1）求函数的解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
（2）已知点，点P是函数图象上一点，点是PA的中点，且，求的值.
【答案】（1），对称轴方程为，
对称中心为；（2）或
【解析】（1）由题意，得.
由的图象与y轴交于点，得，可得，
∵，∴.
∴函数.
由，可得对称轴方程为，
由，可得对称中心为.
（2）点是PA的中点，∴点P的坐标为.
又∵点P是函数图象上一点，∴，
整理可得.
∵，∴，∴或，
解得或
19．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知函数.
（1）若函数是偶函数，求的最小值；
（2）若，求的值；
（3）求函数在上的最大值．
【答案】（1）的最小值为；（2）的值为
（3）函数在上的最大值
【解析】（1）由题意得，，
所以，
又因为是偶函数，所以，即，
当时，最小，最小值为.
（2），即，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以.
所以的值为.
（3）令，因为，所以，
所以即求在上的最大值，
当，即时，，
当，即时，.
所以函数在上的最大值.
20．（2022·广东省阳山县阳山中学高一阶段练习）如图为函数的部分图像.
（1）求函数解析式；
（2）函数在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围及的值.
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）由题中的图像知:，，所以，，
因为图像过点，所以，，
解得，
，，函数解析式为；
（2）列表得：
作出函数在上图像:
函数零点即函数与图像交点横坐标，
如图可得：，
当时，，则=
当时，，则=
21．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度后，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是偶函数，，
，，．
（2）由（1）知，，由题意，，
，，即.
有两个不同的根，
与的图象在上有两个交点，
画出在上的图象，如图所示：
由图可知，，解得，的取值范围是.
22．（2022·江苏省如皋中学高一期末）数学家研究发现，音叉发出的声音（音叉附近空气分子的振动）可以用数学模型来刻画．1807年，法国数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了任何周期性声音的公式是形如的简单正弦函数之和．若某种声音的模型是函数 ，.
（1）求函数在上的值域；
（2）若，试研究函数在上的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）因为，所以，
所以，即，
所以函数在上的值域为．
（2）因为，所以．
①当时，，因为，所以，解得，
所以在上只有一个零点．
②当时，或．令，则
ⅰ若，记则在上单调递减，且，
所以，由①得，所以在上只有一个零点．
ⅱ若，则在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，由①得；，因为，所以，解得；
所以在上有两个零点．
ⅲ若，则在上单调递减，在上单调递增，且，
，由①得；，当时，令，
则，根据零点存在定理，
所以连续函数在上存在零点，
因为在上单调递减，所以连续函数在上只有一个零点．
同理，连续函数在上只有一个零点．
所以在上有三个零点．
综上，当或时，在上只有一个零点；
当时，在上有两个零点；
当时，在上有三个零点．
23．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数，．
（1）求的最小值；
（2）若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．
【答案】（1）（a）；（2），所有零点之和为
【解析】（1）函数，
，，，，
当时，即时，则时，取得最小值（a）；
当时，即时，则时，取得最小值（a）；
当时，即时，则时，取得最小值（a）．
综上可得，（a）．
（2），，，，
由，可得，
当时，此等式不成立．
故有，，
令，，则，
令，则，
由对勾函数的性质得：函数在上单调递减，
故当m=1，即时，；当m趋于0，即趋于1时，趋于正无穷大，
所以，所有零点之和为．
24．（2022·全国·高一专题练习）已知
（1）求的值域；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
．
即，所以.
（2）由得对任意的恒成立，
因为，所以，
即对任意的恒成立，只需要，
又，
令，当时，，所以，
其中，即，
则或（舍去），，
又函数在上单调递减，
所以在上单调递减，
当时，，所以．
25．（2022·陕西渭南·高一期末）设函数，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为，且为偶函数.
（1）求和的值；
（2）已知角，，为的三个内角，若，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为的图象上相邻两个最高点间的距离为，
可得，解得，所以，
又因为为偶函数，可得，，
因为，所以.
（2）因为，
可得，所以，
又因为，且，所以，所以，
因为，所以，则，即，
由（1）知，函数，
所以
，
因为，可得，所以，
则，即的取值范围为.
26．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象．
（1）求函数的解析式和值域并求取得最值时x的集合．
（2）对恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再向上平移个单位长度得到函数，
因为，所以，所以，
当，即，解得，
即时取最大值，；
当，即，解得，
即时取最小值，；
故函数的解析式为，值域为，
，此时； ，此时．
（2）由（1）可得，
，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
因为，所以，所以，
所以对恒成立，
令则，则问题转化为对恒成立，
因为在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以在上的最大值为，
所以，即.
27．（2022·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
（1）设，求函数的单调递增区间；
（2）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
因为直线是函数的图象的一条对称轴，
所以，则，
又，所以，所以，
则，
令，则，
所以函数的单调递增区间为；
（2）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得，
再向左平移个单位长度得，
即，，即，
又，则，所以，
所以.
28．（2022·云南红河·高一期末）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若方程的解为，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
∴的最小正周期为.
（2），则， ，
则与的交点的横坐标为
如图：
不妨设
由对称关系得：解得,
解得 ，
29．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求方程在内的所有实数根之和．
【答案】（1）最小正周期为，增区间为；（2）
【解析】（1）
，
所以，函数的最小正周期为，
由得，
所以，函数的单调递增区间为.
（2）当时，，令，
作出函数与函数在上的图象如下图所示：
可知函数与函数在上的图象有个交点，
设这四个交点的横坐标由小到大依次为、、、，设，
故方程在内有四个不等的实根、、、，
由图知，点、关于直线对称，点、关于直线称，
所以，，
解得.0
0
0
0
x
0
2
0
0
0
x
0
2
0
-2
0
0
2
0
0
0
5
0
0
0
5
0
0
x
0
2
0
﹣2
﹣1