苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线精品巩固练习

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3.3 抛物线

3.3.2 抛物线的几何性质

1.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，点M为圆O：x2+y2＝12与C的一个交点，且|MF|＝3，则C的标准方程是（　）

A. y2＝2x         B. y2＝3x         C. y2＝4x         D. y2＝6x

2.[多选题]设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是(　　)

A．             B．              C．            D．

3.已知圆C： +y2＝p2（p>0），若抛物线E：y2＝2px与圆C的交点为A，B，且sin∠ABC＝，则

p＝（　）

A. 6             B. 4              C. 3               D. 2

4.已知抛物线上一点到焦点的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，.若，则( 　)

A.       B.              C.              D.

5.［多选题］设A，B是抛物线x2＝y上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的有 （　）

A.若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2

B.若OA⊥OB，则直线AB过定点（1，0）

C.若OA⊥OB，则点O到直线AB的距离不大于1

D.若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|＝，则|BF|＝1

6.［多选题］设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的是（　）

A. 准线l的方程是x＝-2               B. |ME|-|MF|的最大值为2

C. |ME|+|MF|的最小值为5           D. 以线段MF为直径的圆与y轴相切

7.线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．

8.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为　　　　.

9.过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．

10.已知抛物线y＝x2上距离点A（0，a）（）最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是　　　　.

11.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2，3)；

(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过圆x2+y2−2x+6y+9＝0的圆心.

12.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱桥拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高为0.75 m，问：水面上涨到与抛物线型拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？

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3.3 抛物线

3.3.2 抛物线的几何性质

参考答案

1.C     2.AC     3.D     4.D     5.ACD     6.ACD    

7.      8. 36     9.     10.

11.解：(1)由题意，抛物线的方程可设为y2＝mx或x2＝ny．

将点A(2，3)的坐标代入y2＝mx，得32＝2m，所以m＝；

将点A(2，3)的坐标代入x2＝ny，得22＝3n，所以n＝．

故所求的抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝．

(2)将圆x2+y2−2x+6y+9＝0的方程化为标准形式为(x−1)2+(y+3)2＝1，则圆心为(1，−3).

因为抛物线以原点为顶点，且过圆心，

所以当抛物线的焦点在y轴上时，设x2＝−2py(p>0)①，

将圆心坐标代入①，即1＝6p，解得p＝，此时抛物线的标准方程为y＝−3x2；

当抛物线的焦点在x轴上时，设y2＝2px(p>0)②，

将圆心坐标代入②，即9＝2p，解得p＝，此时抛物线的标准方程为y2＝9x.

综上，抛物线的标准方程为y＝−3x2或y2＝9x.

12.解：如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.

设抛物线的标准方程为x2＝-2py（p>0），

由题意可知，点B（4，-5）在抛物线上，故p＝，得x2＝-y.

当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航.

设此时船面宽为AA′，则A（2，yA），由22＝-yA，得yA＝-.

又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|+0.75＝2（m）.

所以水面上涨到与抛物线型拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.