第4章 章末检测卷(含答案)
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一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在正项等比数列{an}中,若a3a7a8=8,a2+a10=5,则公比q=( )
A. B. 或 C. D. 或
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a4-a2=3,则S11=( )
A. 30 B. 33 C. 36 D. 66
3. 数列中,,且求( )
A.8 B.12 C.16 D.24
4.已知数列{an},其通项公式为an=,则其前n项和Sn取最小值时n的值为( )
A. 4 B. 5或6 C. 6 D. 5
5.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中有一道“两鼠穿墙”问题,大意为:有墙厚5尺,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.问两鼠相遇在( )
A. 第2天 B. 第3天 C. 第4天 D. 第5天
6.已知数列{an}满足(n+2)an+1=(n+1)an,且a2=,则an=( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.令bn=,则数列{bn}的前50项和T50=( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足,若数列满足,则数列的前项的和为( )
A.230 B.115 C.110 D.100
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9. 设等差数列的前项和为,公差.若成等比数列,则( )
有最小值,最小值为
有最大值,最大值为
10.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列命题正确的是( )
A. 若S5=S9,则必有S14=0 B. 若S5=S9,则必有S7是{Sn}中最大的项
C. 若S6>S7,则必有S7>S8 D. 若S6>S7,则必有S5>S6
11.在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N+,p为常数),则{an}称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的为( )
A. 若{an}是等方差数列,则{}是等差数列
B. 若{an}是等方差数列,则{}是等方差数列
C. 数列{(-1)n}是等方差数列
D. 若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N+,k为常数)也是等方差数列
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2=4a1,a2是a1+1与a3的等差中项,数列{bn}满足bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则下列命题正确的是( )
A. 数列{an}的通项公式为an=2×3n-1
B. Sn=3n
C. 数列{bn}的通项公式为bn=
D. Tn的取值范围是
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n+1+λ,则a1+λ= .
14.用数学归纳法证明++…+>.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
15.已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:①{an}的第2项小于3;
②{an}为等比数列;③{an}为递减数列;④{an}中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是 .
16.已知数列满足,且,则的通项公式________.
四、解答题(本题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤)
17.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=4an+2(n∈N+),且a1=1.
(1)若cn=,求证:数列{cn}是等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
18.(12分)已知等比数列{an}的公比为2,且a3,a4+4,a5成等差数列.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设{an}的前n项和为Sn,且Sn=62,求n的值.
19. (12分)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
20. (12分)问题:设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6, .
下列三个条件:①a2,a4,a8成等比数列;②S4=5a2;③(n+1)an=nan+1.从上述三个条件中,任选一个补充在上面的问题中,并解答.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Kn,求证:Kn<.
21. (12分)是否存在a,b,c使等式+++…+=对一切n∈N+都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.
22. (12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N+),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.
第4章 章末检测卷
参考答案
1. D 2. B 3. B 4. B 5. B 6. D 7. D 8. B
9. AB 10. ABC 11. ACD 12. ABD
13. 3 14. ++…++> 15. ①③④ 16.
17. (1)证明:因为数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=4an+2(n∈N+),
则Sn=4an-1+2,所以an+1=4an4an-1,
整理得+=+=,
所以cn-1+cn+1=2cn,
所以数列{cn}是等差数列.
(2)解:因为S2=4a1+2,a1=1,所以a2=3a1+2=5.
因为数列{cn}是等差数列,且c1==,c2==,
所以公差为,所以cn=,所以an=cn·2n=·2n,
则Sn+1=4an+2=(3n-1)·2n+2,
所以Sn=(3n-4)·2n-1+2.
18. 解:(1)由题意知{an}是公比为2的等比数列,
故a3=a1q2=4a1,a4=8a1,a5=16a1.
依题意,得2(a4+4)=a3+a5,即2(8a1+4)=4a1+16a1,
整理得4a1=8,解得a1=2.
故数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)根据(1)可知Sn=a1·=2·=2n+1
故2n+1,整理得2n+1=64,解得n=5.
故n的值是5.
19. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.
联立解得
所以an=3n,bn=2n.
(2)由题意可得
Tn=()·21+()·22+()·23+…+()·2n,①
2Tn=()·22+()·23+()·24+…+[3(n)]·2n+()·2n+1,②
①②,得-Tn=2×213×223×233×2n()·2n+1
=4+3·()·=()·
∴ Tn=()·2n+1.
20. (1)解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0).
选条件①:∵ S3=6,a2,a4,a8成等比数列,
∴解得
故数列{an}的通项公式为an=n.
选条件②:∵ S3=6,S4=5a2,
∴解得
故数列{an}的通项公式为an=n.
选条件③:∵ S3=6,(n+1)an=nan+1,
∴解得
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)证明:∵ bn==,
∴ Kn=+…+ =
=<.
21. 解:存在.
取n=1,2,3,可得解得
下面用数学归纳法证明+++…+==.
即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1).
①当n=1时,左边=1,右边=1,∴ 等式成立;
②假设当n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+
1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,12+22+…+k2+(k+1)2
=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]
=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),
∴ 当n=k+1时等式成立.
由数学归纳法,综合①②知当n∈N+时等式成立,
故存在a=,b=,c=使已知等式成立.
22. 解:(1)当n=1时,4(a1+a2)=3a1,
∴ 4a2=,∴ a2=.
当n≥2时,由4Sn+1=3Sn,①
得4Sn=3Sn-1,②
①②得4an+1=3an.
a2=≠0,∴ an≠0,∴=.
又=,∴ {an}是首项为,公比为的等比数列,
∴ an=·=·.
(2)由3bn+()an=0,得bn=an=(n4),
∴ Tn=3×+0×+…+(n4)·,
Tn=+0×+…+(n5)·+(n4)·,
两式相减得Tn=-3×++++…+(n4)·
=+(n4)·
=(n4)·
=n·,
∴ Tn=.
由Tn≤λbn得4n·≤λ(n4)·恒成立,
即λ(n4)+3n≥0恒成立.
当n=4时不等式恒成立;
当n<4时,由λ≤=,得λ≤1;
当n>4时,由λ≥=,得λ≥.
所以.所以实数λ的取值范围为.